精品解析：山西太原师范学院附属中学2026-2027学年第一学期9月初三数学学情导航

太原师院附中2026―2027第一学期9月 初三年级数学学情导航 一、选择题．（共10小题） 1. 已知a是b的相反数，且，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：a是b的相反数， ，故A正确， ， ,即，故B错误； ，故C错误； ，故D错误． 2. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 4. 下列运算中，计算错误的是（） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式计算各选项，找出计算错误的选项即可． 【详解】解：A、，本选项计算正确； B、，本选项计算正确； C、，本选项计算正确； D、，本选项计算错误． 5. 如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据中位线的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，本角形内角和定理，根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 邻边相等 【答案】A 【解析】 【详解】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后求出时甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度，本题得以解决． 【详解】由图可得， 甲无人机的速度为 乙无人机的速度为， ∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米， 乙无人机所在的位置距离地面的高度， ∴时，两架无人机的高度差为， 故选：C． 10. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据平移的性质得，，因此在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，由此可对结论①进行判断； ②先计算出，，则当平移后，则，进而得，，然后根据得为直角三角形，则四边形是矩形，由此可对结论②进行判断； ③当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，则，，且，此时四边形是菱形，由此可对结论③进行判断； ④由①②③可知平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形，而四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，由此得在平移的过程中，不可能出现正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，图形的平移变换及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，理解全等三角形的性质，图形的平移变换及性质熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定是解决问题的关键． 二、填空题．（共5小题） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方， ∴关于的不等式的解集为． 13. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质 ，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分, 先证推出的长，再利用勾股定理求出的长, 最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长. 【详解】解：设与交于点M， 在正方形中, ， 在中,， ∵由折叠的性质可得 ， ∴垂直平分, ， ∵， 所以， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故答案为： 三、解答题．（共8小题） 16. （1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】（1） （2）①完全平方公式； ②第二步； ③正确的计算过程如下， ． 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，负指数幂，分式的混合运算，掌握以上知识及计算方法是关键． （1）先算乘方，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）①，运用的是完全平方公式； ②， ∴第二步开始出错； ③ 略 17. 解方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解． 18. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，在（1）的条件下，的长为 ． 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，超过这两点线段长度的一半为半径画弧，得到两个交点，连接这两个交点交于点即可； （2）根据等腰三角形的判定与性质可证明，根据勾股定理求出，证明，得出，，则，结合求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴. 19. 如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形． 理由： 如图，连接交于点． 四边形是菱形， ，，． ，． 又， ． ，， ． ． 四边形是平行四边形 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】连结，根据菱形的性质得到，，即，，继而证明，得到，，所以，即，证明出四边形是平行四边形，又，即证四边形是菱形． 【详解】略． 20. 第二十届中国（深圳）国际文化产业博览交易会上，山西展区的文化非遗展品与文化创意产品精彩亮相，赢得众多参观者赞誉．游客小李计划购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型两款文创产品．已知购买2个“长治堆锦”版画比购买1个“应县木塔”模型多60元，购买3个“长治堆锦”版画和2个“应县木塔”模型共花费1000元． （1）求“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型的单价分别为多少元． （2）游客小王计划用不超过2000元购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型共10个送给亲友，则小王最多可以购买“应县木塔”模型多少个？ 【答案】（1）“长治堆锦”版画的单价为160元，“应县木塔”模型的单价为260元 （2）小王最多可以购买“应县木塔”模型4个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设“长治堆锦”版画的单价为元，“应县木塔”模型的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设小王购买“应县木塔”模型个，则购买“长治堆锦”版画个，根据费用不超过2000元建立不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设“长治堆锦”版画的单价为元，“应县木塔”模型的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：“长治堆锦”版画的单价为160元，“应县木塔”模型的单价为260元． 【小问2详解】 解：设小王购买“应县木塔”模型个，则购买“长治堆锦”版画个， 由题意得：， 解得， 答：小王最多可以购买“应县木塔”模型4个． 21. 某学校为了改进全校师生的饮水质量．需要安装A型净水器与B型净水器，已知每台A型净水器比B型净水器售价贵2000元，且安装A型净水器的数量是B型净水器数量的，学校分别购买A型与B型净水器的费用都是20万元．求每台A型净水器和每台B型净水器的售价分别为多少元？ 【答案】每台A型净水器的售价为10000元，每台B型净水器的售价为8000元 【解析】 【分析】设每台B型净水器的售价为x元，则每台A型净水器的售价为（x+2000）元，由题意,列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台B型净水器的售价为x元，每台A型净水器的售价为元， 根据题意，得， 解，得． 经检验是原方程的根，此时：． 答：每台A型净水器的售价为10000元，每台B型净水器的售价为8000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 22. 阅读与理解 下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线． 任务： （1）问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______． （2）请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分； （2）如图，点M即为所求； （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质求解； （2）取格点D，E，连接交于点M即可； （3）延长到格点D，取格点E，连接，，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图略； 证明：连接，，， 根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∴点M即为线段中点； 【小问3详解】 作图略； 证明：由网格得， ∴四边形是菱形 ∴平分． 23. 综合与实践 问题情境：如图，在等腰直角三角形中，，．以为边，在外部作等边三角形．将绕点逆时针旋转，得到，设旋转角为，点的对应点是点，点的对应点是点． 初步分析： （1）如图，当时，证明：垂直平分； 操作探究： （2）将绕点逆时针旋转过程中，线段交线段于点，且点不与点重合，如图，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，直线交直线于点．问：是否存在某个旋转角，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分； （2） ，理由如下： 如图，连接， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （3）存在，或或 【解析】 【分析】（）延长交于点，利用平行线的性质可证，利用旋转的性质可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，可证，，即得，即可求证； （）分，和三种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 当时，如图，此时点和点重合， ∴，即； 综上，存在某个旋转角，使得为等腰三角形，满足条件的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2026―2027第一学期9月 初三年级数学学情导航 一、选择题．（共10小题） 1. 已知a是b的相反数，且，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 4. 下列运算中，计算错误的是（） A. 2 B. C. D. 5. 如图，在中，，与是的两条高，点F是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角相等 D. 邻边相等 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（共5小题） 11. 分解因式：__________． 12. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 13. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为______． 三、解答题．（共8小题） 16. （1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，在（1）的条件下，的长为 ． 19. 如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 20. 第二十届中国（深圳）国际文化产业博览交易会上，山西展区的文化非遗展品与文化创意产品精彩亮相，赢得众多参观者赞誉．游客小李计划购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型两款文创产品．已知购买2个“长治堆锦”版画比购买1个“应县木塔”模型多60元，购买3个“长治堆锦”版画和2个“应县木塔”模型共花费1000元． （1）求“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型的单价分别为多少元． （2）游客小王计划用不超过2000元购买“长治堆锦”版画和“应县木塔”模型共10个送给亲友，则小王最多可以购买“应县木塔”模型多少个？ 21. 某学校为了改进全校师生的饮水质量．需要安装A型净水器与B型净水器，已知每台A型净水器比B型净水器售价贵2000元，且安装A型净水器的数量是B型净水器数量的，学校分别购买A型与B型净水器的费用都是20万元．求每台A型净水器和每台B型净水器的售价分别为多少元？ 22. 阅读与理解 下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图2，第一步：延长到E； 第二步：利用网格构造线段，满足且； 第三步：连接、、．与相交于点F． 则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2） 类型二：构造角平分线 问题2：求作的平分线． 思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线． 任务： （1）问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______． （2）请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）． 23. 综合与实践 问题情境：如图，在等腰直角三角形中，，．以为边，在外部作等边三角形．将绕点逆时针旋转，得到，设旋转角为，点的对应点是点，点的对应点是点． 初步分析： （1）如图，当时，证明：垂直平分； 操作探究： （2）将绕点逆时针旋转过程中，线段交线段于点，且点不与点重合，如图，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）将绕点逆时针旋转，直线交直线于点．问：是否存在某个旋转角，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $