精品解析：山西省太原市志达中学校2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试题

太原市志达中学校2025-2026学年暑假反馈数学 注意事项： 1．本试卷为笔试．全卷共6页，满分100分，考试时间60分钟． 2．考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【详解】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 任意两个等腰直角三角形都相似 C. 各角分别相等的两个多边形相似 D. 各边成比例的两个多边形相似 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形，熟知相似图形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意； B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意； D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 4. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知直线，分别交直线于点．若，；则的长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得：， 故选：A． 6. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 7. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，先证明，结合，利用相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，故选项A错误，符合题意； 与的周长比是，故选项B正确，不符合题意； 与的面积比是，故选项C正确，不符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 8. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 图象分别位于第一、第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，把代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，由此得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，故D选项错误，不符合题意； ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，；当时，；故B选项错误，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点对称， ∴当，则，故C选项正确，符合题意； 故选：C ． 9. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 10. 如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形的性质、三角形内角和及等腰三角形性质得到相关角度及线段长度，再由相似三角形的判定和性质得到，设，代入可得，化为一元二次方程求解即可得到结论． 【详解】解：是正五边形， ，， 则， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即 解得或（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似图形对应点的坐标比相等是银题的关键． 根据关于原点位似图形对应点的坐标比相等求解即可． 【详解】解：设， ∵与关于原点位似，若的对应点的坐标是， 点的对应点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 13. 如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用翻折变换的性质以及勾股定理得出的长，进而得出，可得出相似比即可得出答案． 【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上 ∴， ∴在中，设，则， ， ∴， 解得： ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折边换的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形的性质得出相似比是解题关键． 14. 如图，点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，点在轴上，连接，．若轴，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据反比例函数系数的几何意义可得，，由平行线的性质可得，，从而得到，最后进行计算即可． 【详解】解：连接、， 点是函数图象上一点，点是函数图象上一点， ，， 又轴， ，， ， ， 解得：， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线的性质，反比例函数系数的几何意义：反比例函数上任意一点作轴或轴的垂线，与坐标原点构成的三角形的面积等于的绝对值的一半，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 三、解答题（本大题共 5 个小题， 16 题 10 分， 17 题 7 分， 18 题 10 分， 19 题 9 分， 20 题 19 分， 共 55 分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据配方法法即可求出答案； （2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【小问1详解】 解： ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解： ， ， ． 17. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）与之间的函数表达式为____________． （2）当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 【答案】（1） （2）托盘与点之间的距离是 （3） 应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【解析】 【分析】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． 【小问3详解】 略 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 19. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： （1）思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； （2）请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 【答案】（1）平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 （2）思路1： 思路2： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 思路2：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； （3）如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 【小问1详解】 解：思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是： 平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； 【小问2详解】 解：思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 理由：∵， ∴，而，， ∴， ∴； 思路2：如图，取格点，且，连接，将向左平移4个单位长度至，则，此时与的交点即为，满足； 理由：由平移可得：，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 理由：由平移可得：，， 而，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是格点作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键. 20. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形． 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 或． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】略 略 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市志达中学校2025-2026学年暑假反馈数学 注意事项： 1．本试卷为笔试．全卷共6页，满分100分，考试时间60分钟． 2．考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形都相似 B. 任意两个等腰直角三角形都相似 C. 各角分别相等的两个多边形相似 D. 各边成比例的两个多边形相似 4. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，分别交直线于点．若，；则的长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 0 D. 6. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 8. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 图象分别位于第一、第三象限 9. 如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______． 12. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 13. 如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为________． 14. 如图，点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，点在轴上，连接，．若轴，，则_______． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共 5 个小题， 16 题 10 分， 17 题 7 分， 18 题 10 分， 19 题 9 分， 20 题 19 分， 共 55 分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）与之间的函数表达式为____________． （2）当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 19. 阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： （1）思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； （2）请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 20. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $