5.5 三元一次方程组 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册5.5三元一次方程组同步练，以“概念理解-方法应用-综合创新”分层设计，覆盖定义辨析、解法训练及实际应用，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三元一次方程(组)定义、基本解法|单选1考查定义，填空10-11巩固概念，解答题14训练消元法，夯实抽象能力| |中档|解法优化、简单应用|单选2-4辨析消元策略，填空12结合方案问题，解答题15-16用整体思想解决实际问题，提升推理意识| |拔高|综合应用与数学文化|单选5-8融合几何、古代算法，填空13关联经济作物问题，解答题17-18渗透整体代换思想，发展模型观念与创新意识|

5.5 三元一次方程组 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 3．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 4．解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 5．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 6．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 二、填空题 9．三元一次方程组，则________ 10．含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20 11．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 12．某校的学生座椅由靠背、座垫及铁架组成（如图①）．靠背、座垫的尺寸如图②．已知用于切靠背和座垫的板材长为，宽为（裁切时不计损耗），若要不造成板材浪费，该板材有_________种裁切方案．现学校有铁架500个，20张靠背和74张座垫，为有效利用已有资源，学校准备制作500张学生座椅，则需要购买上述规格的板材_________张（板材恰好全部用完）． 13．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为__________． 三、解答题 14．解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 15．小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 16．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 17．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则=______，=______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 18．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D B B D A 1．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 2．【答案】B 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组， 以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y． 故选：D． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 6．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答． 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元， 根据题意可得， 由②①得，， 由②①得，， 由⑤④③得，， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用三元一次不定方程组解实际问题的运用，熟练三元一次方程组的解法是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、解一元一次方程（二）——去括号、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解． 【详解】解： 由②×3，得 6x+9y+3z=102④， 由④-①，得 3x+7y+2z=63⑤， 由⑤-①，得 5y+z=24， ∴a=24， 由③×3，得 3x+6y+9z=78⑥， 由⑥-①，得 4y+8z=39， ∴b=4， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 9．【答案】14 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 10．【答案】 三 1 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【解析】略 11．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 12．【答案】 3 101 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据靠背、座垫的尺寸以及板材长为，宽为，进行列式，结合均为非负整数，进行讨论得出该板材有3种裁切方案；再设张板材切靠背张，切座垫0张；张板材切靠背张，切座垫3张；张板材切靠背0张，切座垫6张；列出三元一次方程组，运用整体思想法进行解答即可． 【详解】解：依题意，设切靠背为张，座垫张， 则， 则 ∵均为非负整数， ∴为非负整数，为非负整数， 即或3，， 则当时，得； 则当时，得； 则当时，则； ∴该板材有3种裁切方案； 设张板材切靠背张，切座垫0张；张板材切靠背张，切座垫3张；张板材切靠背0张，切座垫6张； 则 整理得 两式子相加得， ∴， ∴则需要购买上述规格的板材101张（板材恰好全部用完）． 故答案为： 13．【答案】90：271 【知识点】列代数式、三元一次方程组的应用 【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为1.5b．可得助农后，A作物的亩产量为2b，B作物的亩产量为b，C作物的亩产量为b．设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），列出方程组，可得到助农前A作物的产量为，助农后A作物的产量为ab，即可求解． 【详解】解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b． ∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量， ∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）＝2b， B作物的亩产量为：b（1+）＝b， C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）＝b． 设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y， 则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y）， ∴ 解得： ∴助农前A作物的产量为：2a×b＝， 助农后A作物的产量为：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝ab． ∴助农前后A作物的产量之比为：90：271． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，依据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 14．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）把消去x，得出关于y，z的二元一次方程组求解，然后把代入①求出x的值； （2）把消去y，得出关于x，z的二元一次方程组求解，然后把x，z代入③求出y的值； （3），得，用④分别与①，②，③相减即可求解； （4），得，，得，联立④⑤，得出关于x，y的二元一次方程组求解，然后把x，y代入③求出z的值； 【详解】（1） ，得 联立②④，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立①④，得 ，解得 把代入③，得 ∴ ∴ （3） ，得 用④分别与①，②，③相减，得 ∴ （4） ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入③，得 ∴ ∴ 15．【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 16．【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 17．【答案】(1)2，6 (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元 (3)-12 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）将两方程相减可求x﹣y的值，将两方程相加可求x+y的值，； （2）设每只铅笔m元，每块橡皮n元，每本日记p元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①﹣②可得：x﹣y＝2， 由（①+②）可得：x+y＝6． 故答案为：2，6； （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元． （3）解：依题意得：， 由可得：， 即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $