5.5三元一次方程组 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以分层设计构建三元一次方程组知识巩固路径，基础层夯实消元解法，提升层强化模型应用，拓展层培养综合推理，适配新授课"理解-应用-迁移"教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三元一次方程组基本解法（消元选择、步骤正误、直接求解）|单选题1-6聚焦解法步骤，解答题17直接解方程，强化运算能力与推理意识| |提升层|间接求解（整体思想）、简单实际应用（购物、天平平衡）|单选题7-10结合生活情境，填空题13-14建立方程模型，发展模型意识与应用意识| |拓展层|复杂情境综合应用（多变量、参数讨论）|填空题15-16涉及整数解与不等式限制，解答题24模仿推理方法，培养抽象能力与创新意识|

5.5三元一次方程组 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 2．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③ 3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去z，先将（1）+（2），再将（1）×2+（3） B．要消去z，先将（1）+（2），再将（1）×3-（3） C．要消去y，先将（1）-（3）×2，再将（2）-（3） D．要消去y，先将（1）-（2）×2，再将（2）+（3） 5．解三元一次方程组 具体过程如下： （ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以 ；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 6．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 7．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 8．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 10．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 二、填空题（每空2分，共14分） 11．若，则代数式x+y+z的值为 　 　． 12．小华和小盘到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付　 　元钱. 13．下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同． 体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间单位： 1班 4 6 5 11.5 2班 4 6 4 11 3班 4 7 4 11 4班 　 6 　 13 说明：活动次数为正整数 科技小组每次活动时间为　 　h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是　 　次． 14．如图，在正方形 的每个顶点上写一个数，然后把它的每条边的两个端点上的数加起来，将结果写在这条边上，若 边上的数字是3， 边上的数字是7， 边上的数字是10，则 边上的数字是　 　. 15．春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋　 　元. 16．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗.某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了A，B，C三类礼品盒进行包装.A类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B类礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽.已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒.如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m=　 　 三、解答题（共8题，共56分） 17．解方程组. （1） （2） 18．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 19．甲乙两人共有30本文艺书，乙丙两人共有50本文艺书，甲、丙两人共有40本文艺书，甲乙丙三人各有文艺书多少本? 20．已知a、b、c是三角形的三边长 （1）化简： ； （2）若 ， ， ，求这个三角形的周长. 21．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 22．对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 ，那么称这个数 为“幸福数”．例如： ， ， 是“幸福数”； ， ， 不是“幸福数”． （1）判断845，734是否为“幸福数”？并说明理由； （2）若将一个“幸福数” 的个位数的2倍放到十位，原来的百位数变成个位数，原来的十位数变成百位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“幸福数”，求满足条件的所有 的值． 23．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 小丽 小华 月销售件数（件） 200 150 月总收入（元） 1400 1250 假设营业员的月基本工资为 元，销售每件服装奖励 元： （1）求 的值； （2）若营业员小丽某月的总收入不低于1800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件? （3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件，共需285元，某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 24．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的． 解：由①得：③，由②得：④． ③＋④得：⑤． 当时， 即，解得． ∴①②，得． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： （1）若有理数a、b满足，求a、b的值； （2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？ 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1， ∴用消元的方法先y比较简便. 故答案为：B. 【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可. 2．【答案】A 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数， ∴①+② 消去z， 得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易. 故答案为：A. 【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易. 3．【答案】A 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解： ， ②-①得： ， 化简可得： ④， ①③得： ， 化简可得： ⑤， 联立④与⑤： ， 故答案为：A． 【分析】利用加减消元法求解三元一次方程组即可。 4．【答案】A 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】要消去z，先将（1）+（2），再将（1）×2+（3），故A符合题意，B不符合题意； 要消去y，先将（1）+（2）×2，再将（2）+（3），故C，D不符合题意， 故答案为：A. 【分析】按照用加减法解方程组的方法逐项分析即可。 5．【答案】B 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7， ∴（2） 错误 . 故答案为：B. 【分析】根据解三元一次方程组的原理分步检查，即可作答. 6．【答案】D 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解 令①+②得x-z=2④， ③+④得2x=8，解得x=4 把x=4代入①解得y=3， 把x=4代入③解得z=2， ∴原方程组的解为 故答案为：D. 【分析】此题方法灵活，可先用加减消元法求出方程组的解，也可将四个选项逐一代入到方程组中去验证。 7．【答案】B 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】方程组， ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5， 整理得：3(x﹣z)＝﹣5， 把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得： ﹣5+1＝﹣4， 即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4， 故答案为：B． 【分析】利用加减消元法求解方程组即可。 8．【答案】C 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设“■▲●”的质量分别为，由图可知 解得 则“？”处应该放3个“●” 故答案为：C 【分析】设“■▲●”的质量分别为，由图1和图2可得，解出x=y=z，据此可得结论. 9．【答案】B 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元， 由题意可得方程组， ①+②可得， ∴， 故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元； 故答案为：B． 【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意列出方程组求解即可。 10．【答案】C 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：根据题意得： ， 解得. 故答案为：C. 【分析】 根据加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，结合接收到的密文，建立三元一次方程组求解即可. 11．【答案】45 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝90， 整理得：x+y+z＝45. 故答案为：45. 【分析】将方程组中的三个方程相加并化简可得x+y+z的值. 12．【答案】7 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设每支铅笔x元，每本练习本y元，每支圆珠笔z元，根据题意得 由①+②得 3x+6y+3z=21 ∴x+2y+z=7. ∴ 购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付7元. 故答案为：7. 【分析】设每支铅笔x元，每本练习本y元，每支圆珠笔z元，利用已知条件：小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，可得到关于x，y，z的三元一次方程组，将（①+②）÷3，可求出x+2y+z的值. 13．【答案】1；8 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设体育活动每次活动时间为，科技小组活动时间为，文艺活动时间为． 则有 ， 解得 ， 设4班体育活动的次数为m次，文艺活动的次数为n次，则 ， 解得， ， 或 ， 或 ， 或 ， ． ∴该年级4班这个月体育小组活动次数最多可能是8， 故答案为：1，8． 【分析】设体育活动每次活动时间为xh，科技小组活动时间为yh，文艺活动时间为zh，根据题意列出方程组 ，再求解即可。 14．【答案】6 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7-y，D点为：z， 根据题意可得：x+y=3①， C点为：7-y， 故z+7-y=10②， 故①+②得： x+y+z+7-y=10+3， 故x+z=6， 即AD上的数是：6. 故答案为：6. 【分析】设A端点数为x，B点为y，D点为z，可得C点为7-y，从而求出x+y=3①，z+7-y=10②， 利用①+②可求出x+z，即得结论. 15．【答案】50 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋 元， 元， 元， 元， 则 由①②得： 由②③得： 则 把 代入①可得： 都为正整数，且 当 时， 则 或 当 时， 不合题意，舍去， 当 时， 符合题意， 此时 ， 所以：腊排骨每袋50元. 故答案为：50. 【分析】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋a元，b元，c元，d元，根据“ 甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元 ”可得关于a、b、c、d的方程组，化简可得d=a-10，b=83-a，根据a、b、c、d均为正整数结合a>b≥30可得a、b的值，进而得到c的值. 16．【答案】640 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【解答】解：设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个， 根据题意得 . 由①-②，得 ④， 由①×3-③×2，得 ⑤， 则 ，则 ， 由 得 ，解得 . 根据题意可知，x，y，z，m都是正整数，且根据③可知m为偶数， 经代入验算可知，只有当 时，满足题意. 故答案为：640. 【分析】设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，利用已知条件可得到关于x，y，z，m的四元一次方程组，利用含m的代数式分别表示出x，y，再根据A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数，并且A类礼品盒少于44盒，B类礼品盒少于49盒，建立关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到符合题意的m的值. 17．【答案】（1）解：+②得：2x=-2， ∴x=-1， ②-③得：-2z=-10， ∴z=5， 把x、z的值代入①得-y=-2， ∴y=2， ∴原方程组的解是. （2）解：①-③得2x-2y=-2，④ ①+②得5x+2y=16，⑤ ④+⑤得7x=14，∴x=2， 把x=2代入④中，得4-2y=-2， ∴y=3 把x=2，y=3代入③中，得2+3+z=6， ∴z=1 所以原方程组的解是 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【分析】(1)直接利用加减消元法解三元一次方程组即可； (2)先利用加减消元法消去未知数z，得出关于x、y的方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可解答. 18．【答案】这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.由题意列方程组 ②－③得y＝14－y，即y＝7， 由①得x－z＝1，⑤ 将y＝7代入③得x＋z＝7，⑥ ⑤＋⑥得2x＝8， 即x＝4，那么z＝3. 答：这个三位数是473. 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组 通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定． 19．【答案】解：设甲有文艺书x本，乙有文艺书x本，丙有文艺书x本， 依题意得 解得x=10，y=20，z=30, 答甲有文艺书10本，乙有文艺书20本，丙有文艺书30本. 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【分析】设甲有文艺书x本，乙有文艺书x本，丙有文艺书x本，根据题意列出三元一次方程组即可求解. 20．【答案】（1）解：∵a，b，c是三角形的边，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，∴原式 （2）解：由题意可列方程组为： ①+②+③，得：a+b+c=15. 故这个三角形的周长 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三元一次方程组解法及应用；三角形三边关系 【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0 ，利用绝对值的性质将原式化简即可. （2）利用等式的性质将三个等式相加，可得a+b+c=15，据此求出结论. 21．【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得 ，解得 . 答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷. 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可. 22．【答案】（1）解：845是“幸福数”，734不是“幸福数” ， 是“幸福数”； ， 不是“幸福数” 是“幸福数”，734不是“幸福数”． （2）解：设这个“幸福数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 根据题意得： 解得： ，且 为整数， 或 满足条件的所有 的值为：362，654． 【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算 【解析】【分析】(1)根据“幸福数”的定义分别判断即可解答； (2)设这个“幸福数” ，则 ，然后根据“幸福数”的定义列出方程组，把a、b分别用含c的代数式表示，结合c的范围分别取值可得答案. 23．【答案】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元. 由题意得 解得 即x的值为800，y的值为3. （2）解：设小丽当月要卖服装z件，由题意得： 800+3z=1800 解得，z=333.3 由题意得，z为正整数，在z＞333中最小正整数是334. 答：小丽当月至少要卖334件. （3）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元. 则可列 将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150 答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元. 【知识点】三元一次方程组解法及应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设营业员的基本工资为x元，卖一件的奖励为y元，根据小丽的月总收入为1400元可得x+200y=1400；根据小华的月总工资为1250元可得x+150y=1250，联立求解即可； （2）设小丽当月要卖服装z件，根据基本工资+奖金=1800可得关于z的方程，求出z的值，结合z为正整数进行解答； （3）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元，根据购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元可得方程3x+2y+z=315；根据购买甲1件，乙2件，丙3件，共需285元可得方程x+2y+3z=285，将两个方程相加并化简可得x+y+z的值，据此解答. 24．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得； （2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元， 由题意得，求的值． 设①得：③ ②得：④ ③＋④得：⑤ 当时， 即，解得， ∴， 答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元． 【知识点】三元一次方程组解法及应用 【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可； （2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $