7.3.1 平行线的判定 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦平行线判定，通过基础辨析、综合推理与实践应用三层设计，构建从单一角关系识别到多知识点融合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-8、填空11-14）|同位角/内错角/同旁内角判定及命题辨析|以图形辨析为主，直接应用判定公理（如单选1内错角识别）| |提升层（单选9-10、填空15-16）|角平分线/对顶角等与判定结合|需二次转化角关系（如填空15添加条件证平行）| |综合层（解答17-24）|判定与全等/作图/三角板操作融合|含逻辑推理（如解答20角平分线与同旁内角互补证平行）及实践应用（如解答24三角板叠放找平行）|

7.3.1 平行线的判定 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在下面的四个图形中，已知∠1=∠2，那么能判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，能判定EC∥AB的条件是（　　） A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE 3．如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠4=∠6 D．∠2＋∠5=180° 6．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（　　） A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢 7．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（） ①∠1=∠4②∠2=∠3③∠5=∠B④∠DCB+∠B=180° A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 8．下列命题错误的是（　　） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 9．如图，平分，平分，下列选项能判断∥的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，给出下列条件： ①∠1＝∠3；②∠3＝∠5；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°． 能判断a∥b的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①② 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件有 　 　． 12．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是　 　． 13．如图，小明在两块按如图所示的方式摆放的含30°角的直角三角板的边缘画直线AB、CD，得到，这是根据　 　， 两直线平行． 14．如图，如果　 　，那么． 15．如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为：　 　． 16．如图，直线AB，CD被直线CE所截，，请写出能判定AB∥CD的一个条件： 　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．已知：如图，点E，F是BD上的点，∠AED=∠CFB，AE=CF，BE=DF． 求证：AB∥CD，AB=CD． 18．如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ． 请完成下列推理过程： 证明：∵CD 平分∠ECF ∴∠ECD= ▲ （　　） ∵∠ACB=∠FCD( ） ∴∠ECD=∠ACB( ） ∵∠B=∠ACB ∴∠B=∠▲（　　） ∴ （　　）． 19．如图，点E、F分别是直线AB、CD上的点，分别连接AD、EC，交点为G，连接BF，与AD交于点H，若∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D． 请根据题意将下面的解答过程补充完整： 解：∵∠1=∠CGD（　　），∠1=∠2， ∴∠2=∠CGD， ∴ ▲ （　　）， ∴∠B=∠AEG（　　） ∵∠B=∠C， ∴∠AEG=∠C， ∴ ▲ （　　）， ∴∠A=∠D（　　）． 20．完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD． 完成推理过程： BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝2∠α（　　）． ∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠β（　　） ∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（　　） ∵∠α+∠β＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（　　）． ∴AB∥CD（　　）． 21．如图，已知点在上，平分平分. （1）试说明：； （2）若，试判断与平行吗?为什么? 22．下面是小明完成“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得//．（不写作法，保留作图痕迹） 如图，直线PQ就是所求直线． （1）根据作图痕迹，填空： ①AC是的 ▲ ，② ▲ ； （2）根据作图痕迹，说明直线PQ与l为什么平行？ 23．如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°． （1）求证：AB∥CD； （2）试猜想∠2与∠3的数量关系，并说明理由． 24．三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°） （1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB； ②若∠ACB=140°，求∠DCE ； （2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； （3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？ 若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：A、∠1和∠2是内错角，根据内错角相等，两直线平行能够判定AB∥CD； B、∠1和∠2不是内错角，也不是同旁内角，不能够判定AB∥CD； C、∠1和∠2不是内错角，也不是同旁内角，不能够判定AB∥CD； D、∠1和∠2是内错角，能够判定AD∥CB，不能够判定AB∥CD； 故答案为：A ． 【分析】根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行逐一判断即可. 2．【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：∵EC∥AB， ∴∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，故A，B，C错误，D正确. 故答案为：D. 【分析】要使EC∥AB，反过来只需利用平行线的性质，由EC∥AB，可证得∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，即可求解. 3．【答案】B 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 所以A选项不符合题意； ∵∠3=∠4， ∴AD∥CD， 所以B选项符合题意； ∵∠EAD=∠ADC， ∴AB∥CD， 所以C选项不符合题意； ∵∠C+∠ABC=180°， ∴AB∥CD， 所以D选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。 4．【答案】B 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意； ②当∠EFD＋∠B＝180°时， ∵∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC＋∠B＝180°， ∴根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB∥CD，故②符合题意； ③∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意； ④当∠E＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥DE，但无法判断AB∥CD，故④不符合题意； ⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个. 故答案为：B. 【分析】平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断. 5．【答案】C 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， ∴l1l2， 故A不符合题意； ∵∠3=∠4 ∴l1l2， 故B不符合题意； ∠4与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使∠4=∠6，也不能判定l1l2， 故C符合题意； ∵∠2＋∠5=180°， ∴l1l2， 故D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】平行线的判定：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行，据此一一判断得出答案. 6．【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：贝贝做法的依据是：内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行； 晶晶做法的依据是：同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行； 欢欢做法的依据是：内错角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行. 故答案为：D. 【分析】本题考查的是平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟记判定定理是解题的关键. 7．【答案】C 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①符合题意； 因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②不符合题意； 因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③符合题意； 因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据平行线的判定逐一分析即可. 8．【答案】D 【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平行公理及推论；平行线的判定 【解析】【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据平行公理、垂线的性质、平行线的判定分别判断即可. 9．【答案】D 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：平分， ． 平分， ， ， 当时， ， 同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：D． 【分析】先根据角平分线的定义得出，，再根据平行线的判定定理得出当时，，从而得出结论。 10．【答案】B 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解： ①∵∠2=∠3，∠1＝∠3，∴∠1=∠2，∴a∥b ，正确； ②∵∠2=∠3，∠5＝∠3，∴∠5=∠2，不能判断a∥b ，正确； ③∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b ，正确； ④∵∠2=∠3，∠5+∠3＝180°，∴∠5+∠2＝180°，正确． 故答案为： ①③④ . 【分析】平行线的判定定理有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行线；同旁内角互补，两直线平行；根据判定定理，结合条件分别判断即可. 11．【答案】①③④ 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故①符合题意； ②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故②不符合题意； ③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故③符合题意； ④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故④符合题意； 故答案为：①③④. 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断，即可得出答案. 12．【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：根据题意，图中的两个三角尺全等， ∴∠1=∠2 ， ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行). 【分析】利用平行线的判定方法求解即可。 13．【答案】内错角相等 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：由图可知∠ABC=∠BCD=30°， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：内错角相等． 【分析】利用平行线的判定方法求解即可。 14．【答案】或∠ABC或∠CBA 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：， ． 故答案为． 【分析】利用平行线的判定方法求解即可。 15．【答案】或，（答案不唯一） 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：添加，根据同位角相等，两直线平行，可得CDBE， 添加，根据内错角相等，两直线平行，可得CDBE， 添加，根据同旁内角互补，两直线平行，可得CDBE， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行添加条件即可（答案不唯一）． 16．【答案】∠1=100°（答案不唯一） 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：∠1=100°，理由如下： ∵，∠1=100°， ∴∠1=∠C， ∴AB∥CD． 故答案为：∠1=100°（答案不唯一） 【分析】利用同位角相等两直线平行. 17．【答案】证明：∵∠AED=∠CFB， ∴∠AEB=∠CFD， ∵AE=CF，BE=DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB=CD，∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD． 【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】先利用“SAS”证明△ABE≌△CDF可得AB=CD，∠ABD=∠CDB，即可得到AB∥CD。 18．【答案】证明：∵CD平分∠ECF ∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义) ∵∠ACB∠FCD(对顶角相等) ∴∠ECD∠ACB(等量代换) ∵∠B=∠ACB ∴∠B=∠ECD( 等量代换) ∴(同位角相等，两直线平行) ． 【知识点】平行线的判定 【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法证明即可。 19．【答案】解：∵∠1=∠CGD（对顶角相等），∠1=∠2， ∴∠2=∠CGD， ∴，（同位角相等，两直线平行）， ∴∠B=∠AEG（两直线平行，同位角相等）． ∵∠B=∠C， ∴∠AEG=∠C， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【知识点】平行线的判定；平行线的性质 【解析】【分析】由对顶角相等可知∠1=∠CGD，结合已知得∠2=∠CGD，则可用“同位角相等，两直线平行”判定BF∥CE，再用平行线的性质（两直线平行，同位角相等）证出∠B=∠AEG，通过等量代换则有∠AEG=∠C ，即可通过“ 内错角相等，两直线平行 ”证明AB∥CD，最后利用平行线的性质 （两直线平行，内错角相等）证明 ∠A=∠D . 20．【答案】解： BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）． ∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义） ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换） ∵∠α+∠β=90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）． ∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）． 故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行． 【知识点】平行线的判定；角平分线的概念 【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，则∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β)，结合已知条件可得∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，进行证明. 21．【答案】（1）证明：∵AE平分∠BEF，CE平分∠DEF， ∴∠BEF=2∠2，∠DEF=2∠3， ∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴2∠2+2∠3=180°， ∴∠2+∠3=90°， ∴AE⊥CE. （2）解：AB与CD 平行. 理由：∵AE平分∠BEF，CE平分∠DEF， ∴∠BEF=2∠1，∠DEF=2∠4， ∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴2∠1+2∠4=180°， ∴∠1+∠4=90°， ∵∠1=∠A，∠4=∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C=180°； ∵∠1+∠A+∠4+∠C+∠B+∠D=360°， ∴∠B+∠D=180°， ∴AB∥CD. 【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠BEF=2∠2，∠DEF=2∠3；再利用平角的定义去证明∠2+∠3=90°，然后利用垂直的定义可证得结论. （2）利用角平分线的定义可证得∠BEF=2∠1，∠DEF=2∠4，由此可推出∠1+∠4=90°，结合已知条件可得到∠1+∠A+∠4+∠C=180°；然后利用三角形的内角和定理可推出∠B+∠D=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论. 22．【答案】（1）①角平分线； ②PQ （2）解：∵AC是的角平分线 ∴∠PAC=∠BAC ∵PA=PQ ∴∠PAC=∠PCA ∴∠PCA=∠BAC ∴PQ//l（内错角相等，两直线平行）． 【知识点】平行线的判定；作图-平行线 【解析】【解答】（1）解：①由作图过程可知AC是的角平分线 故答案为：角平分线． ②由作图过程可知PA=PQ 故答案为：PQ． 【分析】（1）利用角平分线的定义求解即可； （2）先求出 ∠PAC=∠BAC ，再求出 ∠PCA=∠BAC ，最后证明求解即可。 23．【答案】（1）证明：、平分、， ，； ， ； ；（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：平分， ； ， ； ； ． 【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）由角平分线定义可得∠1=∠ABD，∠2=∠BDC，结合已知条件∠1+∠2=90°可得∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，然后根据“ 同旁内角互补，两直线平行 ”可得AB∥CD； （2）由角平分线定义可得∠2=∠FDE，结合已知条件∠1+∠2=90°并根据三角形内角和定理可求得∠BED的度数，然后在△DEF中，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=90°. 24．【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°， ∴∠ACE=45°， ∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°； ②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°， ∴∠ACE=140°－90°=50°， ∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°； （2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下： ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°－∠DCE， 又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE， ∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°； （3）解：存在一组边互相平行． 当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°， 此时AC∥BE， 当∠ACE=30°时，∠ACB=120°， 此时∠A+∠ACB=180°， 此时AD∥BC． 【知识点】角的大小比较；平行线的判定 【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解； ②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解； （2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解； （3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解. 1 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