5.3 一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按配套、工程、销售盈亏三大模块系统分类，通过典例提炼等量关系构建方法，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配套问题|6题|根据部件配套比例设未知数，建立“总量=单量×数量”方程|从具体配套情境（如瓶身瓶底、桌面桌腿）抽象比例关系，培养数学抽象与模型意识| |工程问题|6题|设工作总量为1，利用“工作量=效率×时间”列方程，涉及合作与单独工作|通过工程效率、时间关系推导等量关系，发展运算能力与推理意识| |销售盈亏|6题|围绕进价、售价、利润构建方程，结合不等式解决最值与方案问题|从经济情境中提取数量关系，提升数据意识与应用意识|

5.3一元一次方程的应用  题型分类解答题专题训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册 一、配套问题 1．某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成，现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个．已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个． （1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？ （2）这些铝片一共有多少张？ （3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？ 2．家具厂制作一张桌子需要一个桌面和3条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作360条桌腿，现有7立方米木材，应该用多少立方米木材生产桌面，才能使所有木材生产出的桌面与桌腿正好配套？ 3．某车间有工人100名，平均每人每天加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），如果你是生产厂长应怎样安排人员生产？ 4．一套仪器由2个A部件和3个B部件构成，用2立方米钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用10立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套 5．机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 6．某车间共有75名工人生产A、B两种工件，已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20件，但要安装一台机械时，同时需A种工件1件，B种工件2件，才能配套．问车间如何分配工人生产，才能保证一天连续安装机械时，两种工件恰好配套？ 二、工程问题 7．铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 8．一项工程，甲单独做需要9天完成，乙单独做需要12天完成．甲、乙两人合做3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成．那么，乙还需要几天才能完成全部工程？ 9．已知某水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管，可以将空水池注满；单独开放乙管，可以将空水池注满．如果先打开甲管对空水池注水，再打开乙管同时注水，那么注满水池还需多少小时？ 10．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 11．2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务；共用9小时至少完成66TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 12．一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要36天，丙单独完成需要48天．现在甲、乙、丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为，乙、丙工作的天数比为，完成这项工作一共用了几天？ 三、销售盈亏 13．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 14．某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． (1)若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ (2)若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 15．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售价为45元/个． (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值． 16．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出A，B两种哪吒纪念挂件．已知B种挂件的进货单价比A种挂件进货单价多6元，若购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元． (1)求每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是多少元？ (2)若该商家计划用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个，那么至少购买A种挂件多少个？ 17．某超市实行优惠促销活动：如果一次购物不超过100元不给优惠；超过100元，而不超过300元时，按该次购物全额的九折优惠；如果超过300元，则其中300元按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠． (1)如果小红购买物品标价是360元，则小红实际付款多少元？ (2)如果小美两次购物分别实际付款117元和318元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样物品，那么小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了百分之几？（结果精确到） 18．学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，购买甲种工具3件，乙种工具2件共需95元． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共60件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）80个（2）15张（3）6张；9张 【分析】（1）列方程求解即可得到结果； （2）用总量除以（1）的结果即可； （3）设从这15张铝片中取a张做瓶身，取张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多，代入值计算即可； 【详解】解：（1）设一张这样的铝片可做x个瓶底． 根据题意，得． 解得．． 答：一张这样的铝片可做80个瓶底． （2）（张） 答：这些铝片一共有15张． （3）设从这15张铝片中取a张做瓶身，取张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多． 根据题意，得． 解得．则． 答：从这些铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． 2．用6立方米木材生产桌面 【分析】先找相等关系：桌面总数×3=桌腿总数、作桌面的木材体积+作桌腿的木材体积=7，再设用立方米木材生产桌面，由得生产桌腿的木材为（7-x）立方米，最后用x表示出相等关系中的未知量就可列出方程，再解方程就可得到答案． 【详解】解：设用立方米木材生产桌面 答：用6立方米木材生产桌面． 【点晴】本题考查列一元一次方程解决实际问题中的配套问题．此类问题的关键是理解题意，从中抽象出相等关系；对于配套问题往往有＂各种部件有题目特有地固定的比例关系＂这样的相等关系． 3．安排40名工人加工螺栓，安排60名工人加工螺母. 【详解】试题分析：先设分配x人加工螺栓，则分配（100-x）人加工螺母，根据加工的螺母数是螺栓数的2倍，建立方程求出其解即可． 试题解析：设分配x人加工螺栓，则分配(100−x)人加工螺母， 由题意，得2×18x=24(100−x)， 解得：x=40， 则加工螺母的人数为：100−40=60(人). 答：分配40人加工螺栓，分配60人加工螺母． 4．8立方米的钢材做A部件，2立方米的钢材做B部件，恰好配成这种仪器80套； 【分析】设应用x立方米钢材做A部件，立方米钢材做B部件，根据共有10立方米钢材，2个A部件和3个B部件刚好配成套，列方程求解． 【详解】用2立方米钢材可做40个A部件或240个B部件， 用1立方米钢材可做20个A部件或120个B部件， 设应用x立方米钢材做A部件，立方米钢材做B部件， 解得， ， ，， ，． 答：应用8立方米的钢材做A部件，2立方米的钢材做B部件，恰好配成这种仪器80套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 5．生产大齿轮20人，生产小齿轮48人 【分析】设生产大齿轮的人数为人，则生产小齿轮的人数为() 人，再由2个大齿轮与3个小齿轮配成一套列出比例式，求出的值即可． 【详解】设生产大齿轮的人数为人，则生产小齿轮的人数为() 人， 因为平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个， 所以人生产大齿轮的个数为个，()人生产小齿轮的个数为10×个 又两个大齿轮与三个小齿轮酿成一套，可得： 10×， 解得：， （人）， 答：生产大齿轮的人数为20人，生产小齿轮的人数为48人． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 6．30名工人生产A种工件，45名工人生产B种工件 【分析】首先设分配x名工人生产A种工件，然后根据A种工件数量的2倍等于B种工件的数量列出方程进行求解，得出答案． 【详解】设分配x名工人生产A种工件， 根据题意，得：2×15x=20（75－x） 解得：x＝30   ∴75－x=75－30=45 答：分配30名工人生产A种工件，45名工人生产B种工件． 7．(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 8．乙还需要5天才能完成全部工程 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1，根据“甲、乙合作3天的工作量乙单独完成的工作量工作总量”建立方程求解． 【详解】解：设乙还需要x天完成全部工程，工作总量为单位1， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意，得方程：， 解得． 答：乙还需要5天才能完成全部工程． 9．8小时 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设水池总容量为1，甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时，设注满剩余水池还需小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设水池总容量为1， 甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时， 设注满剩余水池还需小时， 则， 解得：， 答：注满水池还需8小时． 10．(1) 10个零件 (2) 180个零件 【分析】（1）以甲、乙加工零件的时间相等为等量关系，设未知数列方程求解； （2）结合第一问的加工效率，根据合格率的定义列方程求解总加工数. 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 11．(1)甲数据中心的数据迁移速度为小时，乙数据中心的数据迁移速度为小时． (2)甲数据中心至少需要工作小时． 【分析】（1）根据题意，先设定未知数，寻找等量关系，然后解方程，检验并得出结论． （2）先设定未知数，寻找不等关系，建立不等式，解不等式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时． 根据题意，得 得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲数据中心的数据迁移速度为小时， 乙数据中心的数据迁移速度为小时． （2）解：设甲数据中心需要工作小时， 则乙数据中心工作小时， 根据题意，得 得． 答：甲数据中心至少需要工作小时． 12．38天 【分析】把工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙、丙的工作效率，根据比的性质得出甲、乙、丙工作的天数比是，设每份天数是天，根据题意列出关于x的一元一次方程，求出x的值，再根据天数的比值计算即可． 【详解】解：，，， ， 则甲、乙、丙工作的天数比是 设每份天数是天， （天） 答：完成这项工作一共用了38天． 13．(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． (2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解； （2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元． 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得， 解得， ∴； 答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 14．(1)购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件 (2)三种方案 【分析】（1）设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件，根据题意得，然后解方程即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得，​ 解不等式①得； 解不等式②得， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：共有三种购买方案． 15．(1)购进品牌保温杯个，品牌保温杯个 (2)的最大值为元 【分析】（1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，列出一元一次方程计算即可求解； （2）设购进A品牌保温杯个，则购进B品牌保温杯个，根据B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，列出一元一次不等式求出的范围，由题意得，总利润，结合为整数，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 解得， 则（个）， 答：购进品牌保温杯个，品牌保温杯个； （2）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， 总利润， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元． 16．(1)6元 (2)67个 【分析】（1）设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元，根据“购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元”列方程求解即可； （2）设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个，根据“用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个”列不等式求出的范围即可 【详解】（1）解：设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是6元； （2）解：设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为67． 答：至少购买A种挂件67个． 17．(1)小红实际共付款318元； (2)小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了约． 【分析】（1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设小美付款为318元的商品总价是元，根据题意列出方程，解方程求出，得出付款为318元的总价，然后求出另外一种商品的原价，最后列式求出结果即可． 【详解】（1）解：， 答：小红实际共付款318元； （2）解：设小美付款为318元的商品总价是元， ， 解得：， （元）， （元）， 小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了约． 18．(1)甲种工具的单价为15元，乙种工具的单价为25元 (2)1050元 【分析】（1）设甲种工具的单价为x元，乙种工具的单价为元．根据“购买甲种工具3件，乙种工具2件共需95元”列方程求解； （2）设购买甲种工具m件，则乙种工具件，此时所需费用为w元，根据“甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍”列不等式得到，然后根据题意表示出w，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲种工具的单价为x元，乙种工具的单价为元 根据题意得 解得 答：甲种工具的单价为15元，乙种工具的单价为25元； （2）解：设购买甲种工具m件，则乙种工具件，此时所需费用为w元 根据题意得， ， 根据题意得， ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取最小值，最小值为（元） 答：购买这批劳动工具所需的最低费用为1050元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $