第二十五章 一元二次方程 单元检测基础卷 2026-2027学年人教版九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程基础卷，立足单元核心知识，通过云南地域情境与实际问题设计，考查方程解法、根的判别式及应用，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|一元二次方程定义、解法、根的判别式|结合“滇超联赛”单循环赛制考查方程建模，培养抽象能力| |填空题|4/8|根的判别式、增长率问题|云南茶农产量增长情境，体现数据意识| |解答题|8/62|解方程、几何面积、利润问题、新定义“理想方程”|斗南花卉利润问题考查应用意识，新定义题型发展创新思维|

人教版九年级上册数学第二十五章单元检测卷 一元二次方程（基础卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A.   B.   C.   D. 1. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）A.，   B.，   C.，   D.， 1. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A.   B.   C.   D. 1. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根   B.有两个相等的实数根 C.没有实数根   D.无法确定 1. 方程的解是（ ） A.   B.   C.，   D.， 1. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A.   B.   C.   D. 1. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A.   B.   C.   D. 1. 一元二次方程用公式法求解，代入求根公式后正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 1. 某商品原价为元，经过两次降价后为元，若每次降价的百分率相同，设为，则列出的方程正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 1. 2025—2026赛季"滇超联赛"（云南省城市足球联赛）采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛.已知该阶段共进行场比赛，设参赛球队有支，则可列方程为（ ） A.   B.   C.   D. 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A.   B.且   C.   D.且 1. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A.   B.   C.   D. 1. 一元二次方程的两个根分别是一个等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ） A.   B.   C.或   D. 1. 定义新运算：对于任意实数，，规定，例如.若7，则的值为（ ） A.4或1   B.   C.或   D.或 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 15. 方程的解为______________． 16. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 17. 云南某茶农2024年的普洱茶产量为千克，在技术改良和科学管理下，2026年的产量达到千克，设年平均增长率为，则列方程为________________． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若=10，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 19. （本题8分）解下列方程： （1）； （2）2． （本题8分）解下列方程： （1）； （2）． （本题6分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽． （本题7分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根． （2）若该方程的一个根为，求的值和另一个根． 20. （本题7分）云南昆明斗南花卉市场是亚洲最大的鲜切花交易市场.某花店销售一种玫瑰花，每束成本价为元.经市场调研发现：当售价定为每束元时，每天可售出束；若售价每降低元，则每天可多售出束.该花店希望每天销售这种玫瑰花获利元，且为了吸引更多顾客，售价要尽可能低，则每束玫瑰花应降价多少元？ 21. （本题8分）定义：若关于的一元二次方程（）的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为“理想方程”. （1）判断方程是否为“理想方程”？请说明理由． （2）若关于的方程是“理想方程”，求的值． 22. （本题8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 23. （本题10分）阅读下列材料，解答问题： 对于实数，，定义一种新运算“”：.例如：． 问题：（1）计算：； （2）若，求的值； （3）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，求的值． 答案与解析 一、选择题（每小题2分，共30分） 1.C 解析：一元二次方程必须满足：①含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程.A选项分母含未知数，是分式方程；B选项化简后为，是一元一次方程；D选项未说明；C选项符合定义. 2.B 解析：将移项得，一次项为，系数为，常数项为. 3.C 解析：将代入方程得，即，解得. 4.A 解析：，移项得，两边加得，即. 5.C 解析：，判别式，故方程无实数根. 6.C 解析：，移项得，因式分解得，解得. 7.C 解析：方程有两个相等的实数根，，即，，解得. 8.B 解析：由韦达定理，. 9.A 解析：，，代入求根公式. 10.B 解析：原价200元，降价一次后为，两次降价后为. 11.A 解析：单循环赛制，支球队总比赛场数为. 12.B 解析：①一元二次方程要求二次项系数，即；②有实数根则，即.综上且. 13.C 解析：是方程的根，则，即.所以. 14.C 解析：解得，.三角形三边需满足两边之和大于第三边，当腰为3、底为2时，，周长为；当腰为2、底为3时，，周长为.两种情况均满足三角形三边关系，故周长为7或8. 15.B 解析：由定义，令其等于7，得，即，因式分解得，解得或. 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 解析：，，开平方得. 17. 解析：方程有两个不相等的实数根，，解得. 18. 解析：2024年500千克，年增长率为，则2025年为，2026年为. 19.或 解析：由韦达定理，，.，即，解得或.经检验，两者均满足判别式，故或. 三、解答题（共62分） 20.（本题8分） （1） 解法一（因式分解法）：，解得. 解法二（配方法）：，，，，解得. （2） 解：，， ， 即. 21.（本题8分） （1） 解：去括号得，，， ， 即. （2） 解：移项得，因式分解得， 解得. 22.（本题6分） 解：设小路宽为米. 矩形荒地面积为（）， 花园面积应为荒地面积的一半，即（）. 花园的长为米，宽为米. 由题意得， 展开得， 即， 两边同除以4得， 因式分解得， 解得. 当时，，不合题意，舍去. 答：小路的宽为2米. 23.（本题7分） （1）证明：， 无论取何值，该方程总有两个实数根. （2）解：将代入方程得， 即，解得. 原方程为，因式分解得，解得. 另一个根为2. 24.（本题7分） 解：设每束玫瑰花降价元，则售价为元，每束利润为元，每天的销售量为束. 由题意得， 展开得， 即， 两边同除以得， 因式分解得，解得. 为吸引更多顾客，售价要尽可能低，故取. 答：每束玫瑰花应降价2元. 25.（本题8分） （1）解：方程是“理想方程”. 理由：常数项，解方程得，， 常数项2是该方程的一个根，该方程是“理想方程”. （2）解：方程是“理想方程”， 常数项是该方程的一个根，即满足， ，，解得. 当时，方程为，根为，常数项0是根，符合； 当时，方程为，根为，常数项是根，符合. 的值为0或. 26.（本题8分） （1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得. （2）解：由韦达定理，，. 由得， 即，因式分解得， 解得. 由（1）知，不合题意，舍去. . 27.（本题10分） （1）解：由定义， . （2）解：， 即，，解得. （3）解：， 即. 方程有两个相等的实数根，， ， 解得，. 第页 共页 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $