第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形单元，融合中考真题与创新题型，覆盖性质判定、折叠动点及新定义探究，适配单元复习提升，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|正方形对称轴、矩形性质、菱形判定|结合2024武汉中考真题（题3），基础概念辨析| |填空题|8/32|菱形对角线计算、矩形折叠作图|含尺规作图应用（题13），空间观念考查| |解答题|8/78|菱形证明、新定义“神奇四边形”、动点最值|新定义探究（题22）与折叠实践（题24），体现应用意识与创新思维|

第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B．两组对角分别相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【详解】解：正方形是轴对称图形，它有4条对称轴，故A错误； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，不是矩形，故B错误； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确； 四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故D错误，故选：C． 2．（2025·成都·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形，∴，，， ∵O为中点，∴，故选项A、B、C正确，不符合题意； 无法得出，故选项D错误，符合题意；故选：D． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作图可得∴四边形是菱形，∴ ∵，∴，∴，故选：C． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，，， ∴，，∴， ∴，∴． 5．（2025·成都·二模）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作法知，是的平分线，∴； ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∴，∴，即四边形为菱形，∴， 但不一定成立，即选项A、B、C正确，故选：D． 6．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图：∵，，，∴，， ∴，∴是直角三角形，即， ∵，，∴四边形是矩形，∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵，∴，即的最小值为． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形中，，，∴， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度，当点从运动到处需要秒，则， 根据图像：当时，点运动到点，的面积为，∴，∴， 根据图像：当点运动到点时，面积为，∴，∴， ∴，∴四边形是梯形，又∵，∴四边形是直角梯形， ∵，点的速度是每秒个单位长度，∴运动时间为秒，∴， 设当时，函数解析式为， ∴，解得：，∴当时，函数解析式为， 如图，过点作于点，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 在中，， ∴当运动到的中点时的时间，∴， ∴当运动到的中点时，的面积为．故选：A．         8．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形，，， 由沿折叠得到，，，， ，，，， 是等边三角形，，，， ，，即，解得，故． 9．（2025·成都·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（      ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，过点E作于H，于N， ∵菱形的面积为48，，∴，∴， ∵，，，∴，，， ∴，∴，∴， ∵是菱形，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵， ， ，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，故选：C 10．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：正方形，， ，分别是，的中点，，， 在和中，，，故①正确； ，，，， ，即，设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ，，， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确；如图， 根据题意可知：， ，，四边形是菱形， ，，菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H，在和中，， ，，， ，，，， ，，故④正确；综上所述，说法正确的有． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形，故答案为：②． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【详解】解：设，∵，∴， 在菱形中，，∴， ∵，∴，在中，， ∴，解得，则 ． 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，，，以为圆心长为半径画弧交于点．再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，直线与交于点，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵以为圆心长为半径画弧交于点，∴， ∵矩形中，，，∴， 在中，根据勾股定理得，， 根据题意可知为的垂直平分线，连接，如图， ∴，设，则，∴， 在中，根据勾股定理， ∴，整理得，解得，∴的长为． 14．（2026·安徽中考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为 【答案】 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=． 15．（25-26八年级下·江苏·期中）如图所示，以的斜边为边，在的同侧作正方形交于点，连接．若，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，∴， ∵四边形为正方形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，由勾股定理得， ∴，由勾股定理得，故答案为：． 16．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形中，，点E，F分别是边和上的点，且满足，于点M，于点N．若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：连接交于点，过点E作于点G， 四边形是菱形，，，， 在中，由勾股定理得， ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴，∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴． 17．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 在矩形中，，，， ，，， 当三点共线（点与点）时，的值最大，即， ，，， 在中，， 的最大值为，故答案为：． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②③ 【详解】解： 是等边三角形，正方形 的边长为 ， ，，， ，故①正确 ； ， ，， 是正方形 的对角线， ， ， ，故②正确； 如图，过点 作 于点 ， 在 中，， ，，∴， ， ，，故③正确； ，又 ， ， ， ④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接． (1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明:∵四边形是矩形∴ ，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，∴，， ∵，，∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，∴ 20．（25-26八年级下·吉林延边·期末）如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形；(2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)∴四边形是平行四边形 四边形是菱形，即∴四边形是矩形 （2）解：在菱形中，， 在矩形中，，， 在中，． 21．（24-25八年级下·江苏南京·月考）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)菱形的中点四边形的形状是_______；(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_____． 【答案】(1)矩形(2)四边形为菱形；证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，，∴， 同理可得，∴为平行四边形， 又∵是菱形，∴，则，∴为矩形．故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下：连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形，，，，， 在和中，，，， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，，四边形是平行四边形； ，，四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值，由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点，∴，， ∴，∴的最小值， ∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵N，F分别是的中点，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 22．（25-26八年级下·河南·期末）【概念生成】新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】(2)如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【详解】（1）解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义； (2)证明：∵四边形是正方形，，， ，，，， 在与中，，，， 又，∴四边形是“神奇四边形”； （3）解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ，， ∵正方形边长为7，，， 由（2）可知：，，，． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】(2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，， ，当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形，，点在的延长线上， 过点作于点，则，四边形为矩形， ，，， 在中，由勾股定理，得，的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称可得，，， ，， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．四边形是矩形，， 点、都在直线上，且． ，四边形为矩形，，，， 在中，由勾股定理，得，四边形周长的最小值为． 24．（25-26八年级下·山西临汾·期末）实践与探索 数学活动课上，老师带领同学们利用纸片开展活动． (1)如图1，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探索】如图2，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，连接并延长，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，请直接写出线段的长_________． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下 ∵四边形是矩形，∴ 由折叠的性质得：，∴四边形是矩形， 又∵∴矩形是正方形 (2)四边形是平行四边形，理由如下：∵点E是的中点，∴ 由折叠的性质可得，∴，∴ 由折叠的性质可得 ∵∴，∴ 在矩形中，∴四边形是平行四边形； （3）解：连接，由题意得，，， 又，∴，∴，设， 在中，解得，则． 25．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在矩形中，点、分别是边、上的点，，连接、，． (1)求证：；(2)如图2，对角线、交于点，点、分别是线段、上的点，，连接、．求证：是直角； (3)在（2）的条件下：①若点是边的中点，且，求面积的最小值；②如图3，连接、，交于点，若，设，，请用含有，的式子表示边的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形，，， ，，， 在与中，，． (2)证明：由（1）可知，在矩形中，，四边形是正方形， 点为正方形的对角线交点，， 由（1）知：，， ，即， 在与中，，，， ，，即，是直角． （3）解：①由（2）可知，，，由（2）可知，是直角， ∴，当取得最小值时，最小， 当时，最小，如图，连接，，点是边的中点，， 在中，， 点分别是的中点，是的中位线，， ，，， ，，，即的最小值为， 最小值． ②如图，连接，点是的中点，，即点是的中点， 是的中位线，，， 由（1）知：，， 在与中，，，， 在等腰直角三角形中，，即， 在中，，四边形是正方形，∴， ，． 26．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点．(1)请直接写出线段的长及点坐标；(2)求出直线的解析式；(3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒．①用含的式子表示；②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，∴， ∵点，，∴，，∴， ∵四边形是菱形，∴，， ∴，，∴点坐标为； （2）解：点，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴直线的解析式为； （3）解：①如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒，∴， 设，则，∵， ∴，整理得：， ∵，∴，则，∴； ②∵点，由①得，又，， ∴，， 当时，即，，解得； 当时，即，，解得（负值已舍）； 当时，即，，解得（舍去）或； ∵，∴的最小值为． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正方形是轴对称图形，它有两条对称轴 B．两组对角分别相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 2．（2025·成都·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·二模）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（　　）      A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 9．（2025·成都·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，为锐角，E是边上一点，过点E作与边交于点F，与边交于点G，且，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（      ） A．6 B．8 C． D． 10．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，，，以为圆心长为半径画弧交于点．再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，直线与交于点，则的长为________． 14．（2026·安徽中考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为 15．（25-26八年级下·江苏·期中）如图所示，以的斜边为边，在的同侧作正方形交于点，连接．若，，则__________． 16．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形中，，点E，F分别是边和上的点，且满足，于点M，于点N．若，则的值为________． 17．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在矩形中，，为对角线，为的中点，过点作，与交于点，与交于点，为上一点（包含顶点，），则的最大值为________． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求AB的长． 20．（25-26八年级下·吉林延边·期末）如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形；(2)连接，若，，求的长． 21．（24-25八年级下·江苏南京·月考）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．(1)菱形的中点四边形的形状是_______；(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明．(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_____． 22．（25-26八年级下·河南·期末）【概念生成】新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）． 【基础探究】(2)如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】(2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 24．（25-26八年级下·山西临汾·期末）实践与探索 数学活动课上，老师带领同学们利用纸片开展活动． (1)如图1，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探索】如图2，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，连接并延长，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】如图3，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，请直接写出线段的长_________． 25．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在矩形中，点、分别是边、上的点，，连接、，． (1)求证：；(2)如图2，对角线、交于点，点、分别是线段、上的点，，连接、．求证：是直角； (3)在（2）的条件下：①若点是边的中点，且，求面积的最小值；②如图3，连接、，交于点，若，设，，请用含有，的式子表示边的长． 26．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点为平面直角坐标系的原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于点．(1)请直接写出线段的长及点坐标；(2)求出直线的解析式；(3)若点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度/秒，连接，过点作，垂足为，设点的运动时间为秒．①用含的式子表示；②请直接写出当为等腰三角形时，的最小值． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C A D B A B C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．② 12． 67 13． 14． 15． 16． 17． 18．①②③ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明:∵四边形是矩形∴ ，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，∴，， ∵，，∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，∴ 20． 【答案】(1)∴四边形是平行四边形 四边形是菱形，即∴四边形是矩形 （2）解：在菱形中，， 在矩形中，，， 在中，． 21． 【答案】(1)矩形(2)四边形为菱形；证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，，∴， 同理可得，∴为平行四边形， 又∵是菱形，∴，则，∴为矩形．故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下：连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形，，，，， 在和中，，，， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，，四边形是平行四边形； ，，四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值，由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点，∴，， ∴，∴的最小值， ∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵N，F分别是的中点，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 22． 【详解】（1）解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义； (2)证明：∵四边形是正方形，，， ，，，， 在与中，，，， 又，∴四边形是“神奇四边形”； （3）解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ，， ∵正方形边长为7，，， 由（2）可知：，，，． 23． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，， ，当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形，，点在的延长线上， 过点作于点，则，四边形为矩形， ，，， 在中，由勾股定理，得，的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称可得，，， ，， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．四边形是矩形，， 点、都在直线上，且． ，四边形为矩形，，，， 在中，由勾股定理，得，四边形周长的最小值为． 24． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下 ∵四边形是矩形，∴ 由折叠的性质得：，∴四边形是矩形， 又∵∴矩形是正方形 (2)四边形是平行四边形，理由如下：∵点E是的中点，∴ 由折叠的性质可得，∴，∴ 由折叠的性质可得 ∵∴，∴ 在矩形中，∴四边形是平行四边形； （3）解：连接，由题意得，，， 又，∴，∴，设， 在中，解得，则． 25． 【答案】(1)证明：四边形是矩形，，， ，，， 在与中，，． (2)证明：由（1）可知，在矩形中，，四边形是正方形， 点为正方形的对角线交点，， 由（1）知：，， ，即， 在与中，，，， ，，即，是直角． （3）解：①由（2）可知，，，由（2）可知，是直角， ∴，当取得最小值时，最小， 当时，最小，如图，连接，，点是边的中点，， 在中，， 点分别是的中点，是的中位线，， ，，， ，，，即的最小值为， 最小值． ②如图，连接，点是的中点，，即点是的中点， 是的中位线，，， 由（1）知：，， 在与中，，，， 在等腰直角三角形中，，即， 在中，，四边形是正方形，∴， ，． 26． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，∴， ∵点，，∴，，∴， ∵四边形是菱形，∴，， ∴，，∴点坐标为； （2）解：点，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴直线的解析式为； （3）解：①如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒，∴， 设，则，∵， ∴，整理得：， ∵，∴，则，∴； ②∵点，由①得，又，， ∴，， 当时，即，，解得； 当时，即，，解得（负值已舍）； 当时，即，，解得（舍去）或； ∵，∴的最小值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $