第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章“特殊平行四边形”单元测试卷，分A、B卷（150分），覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，通过基础辨析、综合证明及动态探究题，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|定义辨析（如菱形判定）、性质应用（如矩形对角线）|结合图形辨析概念，第8题多结论判断体现推理能力| |填空题|10题40分|菱形较短对角线计算、矩形阴影面积、正方形边长规律|第21题正方形边长递推培养抽象能力，第23题最短路径问题体现空间观念| |解答题|8题78分|矩形判定（14题）、正方形证明（15题）、菱形旋转探究（25题）|18题综合矩形性质与全等证明，26题从正方形拓展到菱形，培养迁移能力|

第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（　　） A．4 B．3 C．5 D．5 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　） A． B．2 C．2 D． 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点DE、BF相交于点G，连接BD、CG．有下列结论：①∠FGE＝120° ②BG+DG＝CG ③△BDF≌△CGB ④S四边形AEGF＝S△BDG，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是　　 ． 10．已知：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为　　 ． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为____． 12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形． 15．（8分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF正方形． 16．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 18．（12分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）求证：△BOF≌△BCF； （3）若BC＝2，求AB的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　　 cm． 20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 　　 度． 21．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为________． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为 　　 ． 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是_______. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长． 25．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF． （1）求证：BE＝CF． （2）在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由． 26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F． （1）证明：PC＝PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 参考答案 第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能是等腰梯形，不符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 【解答】解：∵∠BCD＝120°， ∴∠B＝60°， 又∵ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形， 故可得△ABC的周长＝3AB＝15． 故选：B． 3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8． 故选：C． 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 【解答】解：∵ABCD是正方形 ∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC ∵BF＝CE ∴△ABF≌△BCE ∴AF＝BE（第一个正确） ∠BAF＝∠CBE，∠BFA＝∠BEC（第三个错误） ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠BAF+∠BFA＝90° ∴∠DAF＝∠BEC（第二个正确） ∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90° ∴∠CBE+∠AFB＝90° ∴AG⊥BE（第四个正确） 所以不正确的是C，故选C． 5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 【解答】解：由四边形的内角和是360°，可知，∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠BAD＝50°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB， ∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECB+∠ECD）＝100°， ∴， 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（　　） A．4 B．3 C．5 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB＝3， ∴BD＝2OB＝6， ∴AD3； 故选：B． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　） A． B．2 C．2 D． 【解答】解：设EF＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴BDAB＝2，EF＝BF＝x， ∴BEx， ∵∠BAE＝22.5°， ∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴BD＝BE+EDx+2＝2， 解得：x＝2， 即EF＝2； 故选：B． 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点DE、BF相交于点G，连接BD、CG．有下列结论：①∠FGE＝120° ②BG+DG＝CG ③△BDF≌△CGB ④S四边形AEGF＝S△BDG，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD．∠A＝∠BCD． ∵∠A＝60°， ∴∠BCD＝60°，△ABD是等边三角形， ∴△BDC是等边三角形．∠ADB＝∠ABD＝60°， ∴∠CDB＝∠CBD＝60°． ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD＝∠DEB＝90°， ∴∠GDB＝∠GBD＝30°， ∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG， ∴∠FGE＝∠BGD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故①正确； 在△CDG和△CBG中，， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC＝∠BGC＝60°． ∴∠GCD＝30°， ∴CG＝2GD＝GD+GD， ∴CG＝DG+BG．故②正确． ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等．故③错误； ∵△ABC是等边三角形，E、F分别是AB、AD的中点， ∴△ADE的面积＝△BDE的面积＝△ABF的面积， ∴△DFG的面积＝△BEG的面积， ∴S四边形AEGF＝S△BDG，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是　6　 ． 【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6． ∴菱形较短的对角线长是6． 故答案为6． 10．已知：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为　16　 ． 【解答】解：∵B＝60°，AB＝BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC＝AB＝4 ∴正方形ACEF的周长＝4×4＝16． 16故答案为16． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为　8cm ． 【解答】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝4cm， ∴AC＝AO+CO＝4+4＝8cm． 故答案为：8cm． 12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　1　 ． 【解答】解：由题意可知 △DEO≌△BFO， ∴S△DEO＝S△BFO， 阴影面积＝三角形BOC面积2×1＝1． 故答案为：1． 13．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为　5　 ． 【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OAAC＝3，ODBD＝4， ∴∠AOD＝90°， ∴AD5＝CD ∵DE∥AC，CE∥BD ∴四边形OCED为平行四边形， 又∵AC⊥BD ∴四边形OCED为矩形 ∴CD＝OE＝5 故答案为：5 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形． 15．（8分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF正方形． 【解答】证明：如图： 过D作DG⊥AB，交AB于点G， ∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG； ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝DG， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF为正方形． 16．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝60°， ∵CD＝AD＝6， ∴CFCD＝3， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE＝CD＝6， ∴EF＝3． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）四边形AFCE是菱形，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴AC⊥BD， ∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴▱AFCE是菱形． 18．（12分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）求证：△BOF≌△BCF； （3）若BC＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）证明：连接OB，如图所示： ∵BF＝BE，OE＝OF， ∴BO⊥EF，∠EBO＝∠FBO， ∴∠BOF＝90° ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCF＝90°， ∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC+∠EOA， ∴∠BAC＝∠EOA， ∴AE＝OE， ∵AE＝CF，OE＝OF， ∴OF＝CF， 在Rt△BOF和Rt△BCF中， ， ∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）； （3）解：∵BF＝BE，OE＝OF， ∴BO⊥EF， 由（1）知，△AOE≌△COF， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴BOAC＝OA， ∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠BEF＝2∠BAC， ∴∠BEF＝2∠OBE， 在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∴AC＝2BC＝4， ∴AB6． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　48　 cm． 【解答】解：∵OA＝OC，EF⊥AC， ∴AE＝CE， ∵矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）， ∵DE+CD+CE＝24，∴矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）＝48cm． 20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于 　65　 度． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE， 在△ABE与△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE， ∵∠CBF＝20°， ∴∠ABE＝70°， ∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故答案为：65 21．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　（）n﹣1 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝1，∠B＝90°， ∴AC2＝12+12，AC； 同理可求：AE＝（）2，HE＝（）3…， ∴第n个正方形的边长an＝（）n﹣1． 故答案为（）n﹣1． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为 　　 ． 【解答】解：连接EF，如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°， ∵点E为AD中点， ∴AE＝DE＝1， ∴BE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝CE， ∵△BCE的面积＝△BEF的面积+△CEF的面积， ∴BC×ABBE×FGCE×FH， 即BE（FG+FH）＝BC×AB， 即（FG+FH）＝2×3， 解得FG+FH． 故答案为：． 23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是____5____. 【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小， ∴PN＝PE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∵E为AB的中点， ∴N在AD上，且N为AD的中点， ∵AD∥CB， ∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP， ∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点， ∴AN＝CF， 在△ANP和△CFP中 ∵， ∴△ANP≌△CFP（ASA）， ∴AP＝CP， 即P为AC中点， ∵O为AC中点， ∴P、O重合， 即NF过O点， ∵AN∥BF，AN＝BF， ∴四边形ANFB是平行四边形， ∴NF＝AB， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OAAC＝4，BOBD＝3， 由勾股定理得：AB5， 故答案为：5． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， 根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠BDF， ∴BE＝DE， 在△DCE和△BFE中， ， ∴△DCE≌△BFE（AAS）； （2）在Rt△BCD中， ∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴BC＝2， 在Rt△ECD中， ∵CD＝2，∠EDC＝30°， ∴DE＝2EC， ∴（2EC）2﹣EC2＝CD2， ∴CE， ∴BE＝BC﹣EC． 25．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF． （1）求证：BE＝CF． （2）在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴∠ABE＝∠ACF＝60°， ∠BAE+∠EAC＝60°． ∵∠FAC+∠EAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF． ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴AB＝AC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF； （2）解：四边形AECF的面积不变． 由（1）知△ABE≌△ACF， 则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC． 如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2， ∴AM2． ∴S△ABCBC•AM4×24． 故S四边形AECF＝4． 26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F． （1）证明：PC＝PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC， ∠ABP＝∠CBP＝45°， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE； （2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP＝∠BCP， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵PA＝PE， ∴∠DAP＝∠E， ∴∠DCP＝∠E， ∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF＝∠EDF＝90°； （3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵PA＝PC， ∴∠DAP＝∠AEP， ∴∠DCP＝∠AEP ∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP， 即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC＝CE， ∴AP＝CE． 学科网（北京）股份有限公司 $