第一章空间向量与立体几何单元测试卷(三）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题与探究性问题结合，培养空间观念与推理能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量性质（第1题）、共线共面（第2题）、基底判断（第3题）|基础巩固与概念辨析结合，多选题（9-11题）考查综合应用| |填空题|3题15分|四点共面（第12题）、动点问题（第13题）|动态几何情境，培养空间想象与创新意识| |解答题|5题77分|翻折问题（第19题）、线面角与二面角计算（第17、18题）|综合考查运算能力与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

空间向量与立体几何单元测试卷(三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 2．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（   ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若 且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-13 6．已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（   ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法命题正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知，，则在上的投影向量为 D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且， 则 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（   ） A．存在点P，使得 B．的最小值为有 C．面积的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则___________. 13．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是___________. 14．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 16．如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 19．在中，，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将翻折至的位置，使得平面平面ABE． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在λ，使得DF与平面所成角的正弦值是?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何单元测试卷(三）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【解】对于A，若，，则不一定成立，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 2．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得，所以. 3．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 4．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ，又，所以 . 5．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若 且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以，所以. 6．已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】设，异面直线与所成的角为， 因为，，所以. 因为， 所以 ， 所以，即，解得，所以，所以. 7．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（   ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【解】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解】设平面的法向量为，则，则， 则点到平面的距离为，又，，则点到直线的距离为，则，故三棱锥的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法命题正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知，，则在上的投影向量为 D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】CD 【解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误； 对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误； 对于C，在上的投影向量为，即C正确； 对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确. 10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，， . 所以，故D正确. 11．如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（    ） A．存在点P，使得 B．的最小值为有 C．面积的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】ACD 【解】由题意得，，即， 又在直三棱柱中，底面，平面，平面， ，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，，，，则，， 设（），则，解得，，， 所以， 对于A选项，，， 要使，即，解得， 当，即在中点时，，故A选项正确； 对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示， 连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值， 由题意得，，，，，， 所以，，，， 则， 在中，由余弦定理得， ，则， 所以的最小值为，故B选项错误； 对于C选项，，，设（）， 则，即， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确； 对于D选项， ，故D选项正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则___________. 【答案】 【解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 13．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①④ 【解】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得，解得， 对于①，，，因此，①正确； 对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 14．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 【答案】 【解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则，取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则，则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)(2)(3). 【解】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 16．如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)(2) 【解】（1） . （2） ， ，， 即. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2). 【解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1），，又， 则到直线的距离为：. 18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)略 (2) 【解】（1）在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，， 所以，所以， ，，面， 所以面， 又面，所以面面． （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， ，，， 设是平面的法向量， 则，取， 设，其中． 则， 连接，因平面，平面，平面平面， 故， 取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则，取， 由平面平面，知，有，解得． 此时， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 综上所述平面与平面的夹角余弦值为． 19．在中，，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将翻折至的位置，使得平面平面ABE． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在λ，使得DF与平面所成角的正弦值是?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在 【解】（1）证明  在中，，即， 则，取BF的中点N，连接CN交BE于点M，如图， 当时，F是AN的中点，而E是AC的中点， ∴EF是的中位线，∴． 在中，N是BF的中点， ∴M是BE的中点， 在中，， ∴，则． 又平面平面ABE，平面平面平面ABE， ∴平面DEB．又平面DEB， ∴．而， 平面DEF，∴平面DEF． （2）假设存在λ，使得DF与平面ADE所成角的正弦值是． 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， ∴， 取BE的中点G，连接DG，则，而平面平面ABC， 且平面平面， ∴平面ABC，则，则． 由，可得，则． 设平面ADE的法向量为， 则即 则，令， 所以， 设DF与平面ADE所成的角为θ，则 ， 解得或(舍去)． 综上，存在，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $