广东省深圳市坪山区两校联考2026-2027学年九年级上学期开学收心练习数学试卷

**基本信息** 2026-2027学年深圳坪山区九年级上开学收心练习数学试卷，以黄金分割与汉字结构、折叠问题、利润模型及相似综合题为载体，梯度覆盖代数几何核心知识，强化数学眼光与思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|平行四边形判定（第4题）、成比例线段（第2题）|结合汉字结构考黄金分割（第7题）| |填空题|5/15|中点四边形性质（第11题）、一元二次方程根（第10题）|矩形折叠与勾股综合（第13题）| |计算题|1/8|二次函数利润模型（第14题）|含公益捐款的实际应用（第14题）| |解答题|6/53|相似三角形综合（第20题）、新定义“伴根方程”（第19题）|三问递进的问题探究（第20题）|

2026-2027学年广东省深圳市坪山区两校联考九年级（上）开学收心练习数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.要使式子有意义，则(    ) A. B. C. D. 2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为(    ) A. 2cm B. 18cm C. 24cm D. 17cm 3.如图，在▱ABCD中，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.下列命题中，是真命题的是(    ) A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.已知，且关于x的方程有两个相等的实数根，那么(    ) A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 6.  如图，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 7.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且若，则AC的长为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 8.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F是边AB，CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点，连接DG交EF于点H，若，则EH的长为(    ) A. B. 3 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为12，面积为5，则       ． 10.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于        . 11.如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点．以下结论： ①当时，四边形MNPQ为正方形； ②当时，四边形MNPQ为菱形； ③当时，四边形MNPQ为矩形； ④四边形MNPQ一定为平行四边形． 其中正确的序号是       ． 12.如图，在中，，，CD为中线，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若，则BC的长为       ． 13.如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，，连接DE，F是BC上一点，且，，则      . 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 14.某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为x元为正整数，每月的销售量为y件 直接写出y与x的函数关系式 设该网店每月获得的利润为w元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ 该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 解决下列问题： 解分式方程：； 解方程： 16.本小题7分 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且 求证：≌； 当时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由． 17.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点 求证：四边形ABCD是平行四边形； 若，，求四边形ABCD的周长． 18.本小题10分 如图，AC是菱形ABCD的对角线. 在线段AC上确定一点F，使得尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在的条件下，连接FB，若，求的度数. 19.本小题10分 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”. 判断方程是否为“伴根方程”； 已知关于x的方程是常数是“伴根方程”，求m的值. 20.本小题12分 【问题提出】 如图①，在中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，连接BE，CD交于点F，若，求的值. 猜想证明：小明想过点E作交CD于点请你根据他的思路，写出解答过程. 【问题探究】 如图②，在中，点D是边AB上的点，点E是边CA延长线上的点，连接BE，CD，BE交CD的延长线于点若，且的面积为2，求四边形ADFE的面积. 【问题解决】 如图③，某市区需要改造一个矩形公园ABCD，其中两个门的位置点E，F分别在边BC，CD上，千米，千米，根据改造要求，需要增加步行通道DE，且DE与原步行通道AF，BF交于点P，Q，将PQ改造为休息长廊，由设计图知，，求休息长廊PQ的长. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 利用分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 2.【答案】B  【解析】解：根据最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积分情况讨论可得： 当是最长线段时，则有， ，舍去； 当d是最长线段时，则有， ，符合题意； 故选： 根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解． 本题考查了线段成比例的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， 又， ， 故选： 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故A选项不合题意； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故B选项不合题意； C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故C选项不合题意； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，故D选项符合题意． 故选： 根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 本题主要考查了命题与定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定和正方形的判定，熟记以上知识点是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得或3， ， 故选： 若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值． 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【解答】解：， ，故A正确； ， ，， ，故B错误； ， ，故C错误； ， ，故D错误， 故选 7.【答案】C  【解析】解：由题意可知，， “远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且， ， ， 故选： 根据黄金分割的定义求出BC的长，即可解决问题． 本题主要考查了黄金分割以及平行线的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：过点E作于点P，如图所示： ， 四边形ABCD是正方形，且边长为6， ，， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， 将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上， 是DH的垂直平分线，， ，， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 四边形EPCB是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故选： 过点E作于点P，设，则，先由勾股定理求出，由折叠性质得，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，证明四边形EPCB是矩形得，再证明和全等得，据此可得 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 9.【答案】30  【解析】解：一个长方形的长、宽分别为a、b，周长为12，面积为5， ，， ，， ， 故答案为： 根据一个长方形的长、宽分别为a、b，周长为12，面积为5，可以得到的值和ab的值，从而可以得到的值． 本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，求出的值和ab的值． 10.【答案】  【解析】解：若关于x的一元二次方程有一个根为0， 则， 因式分解得：， 解得：，， ， ， ， 故答案为： 将已知解代入原方程，解方程并根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可． 本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 11.【答案】②③④  【解析】解：连接AC、BD交于点O， ，N，P，Q是各边中点， ，，，， ，， 四边MNPQ一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形MNPQ不一定为正方形，①说法错误； 时，， 四边形MNPQ为菱形，②说法正确； 时，， 四边形MNPQ为矩形，③说法正确； 故答案为：②③④． 连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ， ，， ， ， 故答案为： 利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可． 本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出AB的长，再利用勾股定理求解． 13.【答案】  【解析】解：过F作交DE于G，延长DE、CB交于点M， ， 设，，， ， 设，， ， ， ， ， ， 矩形ABCD， ，， ， ， ，， ， ，， ∽， 整理得，， ， 故答案为： 根据，设，，过F作交DE于G，根据，设，，根据可得，，再延长DE、CB交于点M，即可得到，求出MB，ME，然后根据∽得到，可以求出，最后求出即可． 本题考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，难度比较大，解题的关键是设未知数表示线段并求出不同未知数的关系． 14.【答案】【小题1】每件商品的售价提高部分为，每月销量减少部分件， 每月的销售量为， 与x的函数关系式为 【小题2】由题意，得， 由题意可得：， 解得：， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线，， 此时函数图象在对称轴的左侧，w随x的增大而增大， 时，w取得最大值，， 答：当销售单价x为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元 【小题3】由题意可得， 即， 整理得， 解得， ， ，即商品的销售单价范围为   【解析】解：每件商品的售价提高部分为，每月销量减少部分件， 每月的销售量为， 与x的函数关系式为； 由题意，得， 由题意可得：， 解得：， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线，， 此时函数图象在对称轴的左侧，w随x的增大而增大， 时，w取得最大值，， 答：当销售单价x为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元； 由题意可得， 即， 整理得， 解得， ， ，即商品的销售单价范围为 每件商品的售价提高部分为，每月销量减少部分件，每月的销售量为即可； 利用每件利润销售件数可列出利润解析式，由销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于，列不等式组，求出售价范围，求出抛物线对称轴为直线，，由，抛物线开口向下，函数图象在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，取最大值时，w取得最大值，w最大； 由题意可得，进而求解即可． 本题考查销量与售价的一次函数关系，销售利润与售价二次函数关系式，利用抛物线解决获取最大利润的售价范围问题，掌握销售单价每提高1元，则每月少销售5件的关系，利润=每件利润销量是解题关键． 15.【答案】解：， ， ， ， ， ， 经检验：是原方程的解； ， ，，， ， ， 则原方程的解为，  【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 方程整理后，求出的值，再代入公式进行计算，即可求出方程的解． 本题考查了解分式方程与一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法与公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 16.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ，，，， 在和中，， ； 解：当时，四边形AECF是菱形，理由如下： ≌， ， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形， 又， 四边形AECF是菱形．  【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定； 由矩形的性质得出，，，，由HL证明即可； 由全等三角形的性质得出，得出，由，证出四边形AECF是平行四边形，再由，即可得出四边形AECF是菱形． 17.【答案】证明：， ， ，， ≌， 又， 四边形ABCD是平行四边形． 四边形ABCD是平行四边形， 又， 四边形ABCD是菱形， 四边形ABCD的周长  【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长． 本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】解：如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点F， 则点F即为所求． 四边形ABCD为菱形，， ，，， ， ， ，   【解析】结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，交AC于点F，则点F即为所求． 结合菱形的性质以及等腰三角形的性质可得，，再根据可得答案． 本题考查作图-复杂作图、菱形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 19.【答案】解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； ， ， 或， ，， 方程是常数是“伴根方程”， ， 或  【解析】先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； 先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于m的方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了解一元二次方程． 20.【答案】解：如图1，过点E作交CD于点G， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ； 如图2，连接AF， ，的面积为2， 的面积为4， 的面积为， ， 的面积为3， 设的面积为x，则的面积为， ， 的面积为3x， ， 的面积为， ， 解得：， ， 四边形ADFE的面积为； 延长AF，BC交于点M，如图3， 四边形ABCD是矩形，千米，千米， 千米，千米， ，， 千米，千米，千米，千米， 千米， ， ∽， ， 千米， 千米， ， ∽， ， 千米， 延长AB，DE交于点N， 同理∽， ， 千米，千米， 千米， ， ∽， ， 千米， 千米， 即休息长廊PQ的长为千米．  【解析】过点E作交CD于点G，可得∽，∽，根据相似三角形的性质解答即可； 连接AF，根据等高三角形计算面积得出的面积为4，面积为3，设的面积为x，则的面积为，结合图形列出方程求解即可； 延长AF，BC交于点M，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出∽，，千米，千米，继续利用相似三角形的判定和性质确定千米，延长AB，DE交于点N，同理∽，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，矩形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $