精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗第六中学2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

杭六中2025-2026八年级数学下册暑期学情质量检测卷 考试时间：120分钟 满分：100分 考生须知： 1．本试卷分为四大题型，满分100分，考试时长120分钟； 2．答题请用黑色、蓝色钢笔或签字笔书写，字迹工整、卷面整洁； 3．所有答案均需写在对应答题区域，超出区域作答无效． 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式； B选项：，不是最简二次根式； D选项：，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数， ∴可得不等式， 解得． 3. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答． 【详解】解：根据题意得：． 即线段长为的是． 故选：D． 5. 如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的判定得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 一次函数的图象与y轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入一次函数解析式，即可求得纵坐标，得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上的点的横坐标都为， ∴将代入， 得， ∴一次函数的图象与y轴交点坐标是． 8. 数据2、3、5、7的中位数是________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：原数据已经按从小到大排列，为，，，， ∵数据的总个数是，为偶数， ∴根据中位数的定义，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数， 中位数是． 9. 甲、乙两支合唱队的平均身高均为，方差分别为，，则这两支合唱队队员身高更整齐的是______队．填“甲”或“乙” 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这两支合唱队队员身高更整齐的是乙队， 故答案为：乙． 10. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是AE的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 11. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题． 【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF． ∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD， ∴OM＝AD＝2， ∵AB∥CD， ∴∠GCF＝∠B＝60°， ∴∠DGO＝∠CGE＝30°， ∵AD＝BC， ∴∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝120°， ∴∠DOG＝30°＝∠DGO， ∴DG＝DO＝2， ∵CD＝4， ∴CG＝2， ∴OG＝2，GF＝，OF＝3， ∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2， ∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2． 【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 12. 如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理．先根据已知条件求出，再根据勾股定理求出，从而求出，然后根据两点间的距离公式列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：数轴上点B、C分别表示0和2， ， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 或不合题意舍去， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共64分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）求不等式组：的非负整数解． 【答案】（1） （2）、1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴非负整数解为、1． 14. 分式化简 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当时，原式． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验，逐一进行求解即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 16. 已知关于的一次函数： （1）若随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该一次函数与正比例函数的图象交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、一次函数与正比例函数图象交点问题等，熟练掌握一次函数图象与性质及一次函数相关题型的解法是解决问题的关键． （1）由一次函数中随的增大而增大，得到，求不等式的解集即可得到答案； （2）由一次函数与正比例函数的图象交于点，先由待定系数法求出，再将坐标代入一次函数解方程求出的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一次函数中，随的增大而增大， ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：正比例函数的图象过点， ∴，即， ∵一次函数与正比例函数的图象交于点， ∴， 解得． 17. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． （1）求k的值． （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式．（不要求写出自变量范围） （3）探究：当点P运动到什么位置时，的面积为9，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P运动线段的中点， 理由如下： 当时，， 解得：， ， 点P的坐标为， 当时，， 点F的坐标为， 又点F的坐标为， 点是线段的中点， 点P运动线段的中点时，的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k的值；（2）根据各数量之间的关系，找出S与x的函数关系式；（3）代入，求出点P的横坐标． （1）由点E的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点P的纵坐标，结合三角形的面积公式，即可找出的面积S与x的函数关系式； （3）代入，可求出x的值，结合一次函数图象上点的坐标特征，可求出此时点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点F的坐标，再结合点E的坐标，即可得出点P运动线段的中点时，的面积为． 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点， ， 解得：， 的值为； 【小问2详解】 解：点是第一象限内的直线上的一个动点，且点E的坐标为， 的面积S与x的函数关系式为； 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理得到，结合平行四边形的性质、勾股定理求出，进而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 点是的中点，，，， ，， 由可知：四边形为平行四边形， ，， 在中，， 则． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理． 19. 每一年的4.23为世界读书日，2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．为了引导 学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如下不完整的图表． （1）扇形统计图中的a＝ ， b＝ ； （2）求被调查学生课外阅读的平均本数； （3）若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数． 【答案】（1）20,28 （2）6.4 （3）528 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体的思想，平均数， 对于（1），先求出样本的总数，再求出阅读5本的人数，即可求出a，b； 对于（2），根据加权平均数的定义解答即可； 对于（3），用总人数乘以阅读7和8本所占的百分比可得答案. 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴. 故答案为：20,28； 【小问2详解】 解：， 所以被调查学生课外阅读的平均本数是6.4本； 【小问3详解】 解：， 所以该校八年级学生课外阅读至少7本的人数为528人. 20. 如图是小宇测量某教学楼高度的示意图，控制一架无人机，使其停留在空中点处，用测距仪测得米，米，米，已知，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据测量数据，计算教学楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，过点作于点，可得四边形为矩形，即得，，再利用勾股定理分别求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ，， 米，米， 米， 米， 米， 米， ∴米， 答：教学楼的高度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭六中2025-2026八年级数学下册暑期学情质量检测卷 考试时间：120分钟 满分：100分 考生须知： 1．本试卷分为四大题型，满分100分，考试时长120分钟； 2．答题请用黑色、蓝色钢笔或签字笔书写，字迹工整、卷面整洁； 3．所有答案均需写在对应答题区域，超出区域作答无效． 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 一次函数的图象与y轴交点坐标是________． 8. 数据2、3、5、7的中位数是________． 9. 甲、乙两支合唱队的平均身高均为，方差分别为，，则这两支合唱队队员身高更整齐的是______队．填“甲”或“乙” 10. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 11. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____． 12. 如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则______． 三、解答题（共8小题，共64分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）求不等式组：的非负整数解． 14. 分式化简 （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 已知关于的一次函数： （1）若随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该一次函数与正比例函数的图象交于点，求的值． 17. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． （1）求k的值． （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式．（不要求写出自变量范围） （3）探究：当点P运动到什么位置时，的面积为9，并说明理由． 18. 如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 19. 每一年的4.23为世界读书日，2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．为了引导 学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如下不完整的图表． （1）扇形统计图中的a＝ ， b＝ ； （2）求被调查学生课外阅读的平均本数； （3）若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数． 20. 如图是小宇测量某教学楼高度的示意图，控制一架无人机，使其停留在空中点处，用测距仪测得米，米，米，已知，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据测量数据，计算教学楼的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $