专题03 数轴动点问题专题训练2（折线多动点存在性求时间4类32道）2026-2027学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦数轴动点四大核心类型，以32道题构建从折线运动到多动点存在性的递进训练体系，强化分类讨论与动态建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折线数轴动点|8道|含变速分段运动，涉及“友好距离”计算|基于数轴距离公式，拓展折线分段速度与时间关系，培养几何直观| |动点存在性|8道|探究满足距离倍数关系的点|从单点静态存在到动态存在性判断，发展推理意识与抽象能力| |多动点问题|8道|双动点相向/折返运动，含中点及距离关系|整合多变量运动模型，强化符号意识与运算能力| |求动点时间|8道|相遇、距离相等情境下的时间计算|综合速度路程公式与分类讨论，提升模型意识与问题解决能力|

专题03 数轴动点问题专题训练2 （折线存在性多动点求时间4类32道） 专题目录 【类型1 折线数轴动点问题】 1 【类型2 数轴动点存在性问题】 5 【类型7 多动点问题】 7 【类型4 求动点时间】 11 【类型1 折线数轴动点问题】 1．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 2．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 4．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 5．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 6．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 7．如图，点，分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为，，，知，．若动点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，，求的值； (3)若，现将，两点之间变为点的“变速区”，规定为：点从点运动到点期间速度变为原来的两倍，从点到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点从原点出发，仍以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动．请问，是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 8．如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【类型2 数轴动点存在性问题】 9．在数轴上有三个点A，B，C它们表示的有理数分别为a，b，c，已知a是最大的负整数，且． (1)______，______，______； (2)①如果数轴上点D到A、B两点的距离相等，则点D表示的数为______； ②如果数轴上点E到点A的距离是5，则点E表示的数为______； (3)在数轴上是否存在一点F，使点F到点C的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请求出点F表示的数；若不存在，请说明理由． 10．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 11．如图，数轴上两点对应的有理数分别为和12，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______；此时，、两点间的距离为______；、两点间的距离______ (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间，使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请直接写出此时的值，若不存在，请说明理由． 12．如图，已知两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的4倍． (1)求数轴上点表示的数； (2)若点到点、点的距离相等，求点表示的数； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，试探究在数轴上是否存在点，使得．若存在，请求出点表示的数是多少？若不存在，请说明理由． 13．在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点为数轴上三个点，点表示的数是 ①___________ ②比较的大小___________（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻，使得此刻？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 14．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______； (2)若点C到点A、点B的距离相等，求点C表示的数，点C表示的数在数轴的正半轴上还是负半轴上； (3)若点A与点D之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 16．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【类型7 多动点问题】 17．如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．    (1)点表示的数为__________，点对应的数为__________． (2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数． 18．在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、3、x，解答下列问题： ①______； ②若，求x的值； (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、3、12．动点P沿数轴从点D开始向右以每秒1个单位长度的速度运动到点E，然后提速，以每秒3个单位长度的速度运动到达F点后立刻以每秒2个单位长度的速度返回，回到D点时停止运动．在整个运动过程中，若，求点P的运动时间t的值． 19．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 20．如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 21．如图，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，并且．    (1)求A、B两点之间距离． (2)若两动点P、Q同时从原点出发，点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左移运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点P到点A的距离是点O到点B距离的2倍？    (3)点C是数轴上A、B之间一点，P、Q两点同时从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为a秒时，P、Q两点恰好分别到达点A、B，又运动a秒时，P、Q两点分别到达点E、F，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点R从点E出发沿数轴向右运动，当点R运动3秒时，点R与点Q在M点相遇，此时点P和点M的距离为5个单位长度，点M和点C的距离为2个单位长度，求点R的速度．    22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 23．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 24．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【类型4 求动点时间】 25．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 26．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点与点之间的距离记为． (1)求点与点之间的距离； (2)点在点，点之间的数轴上，点在数轴上，且，，求点与点之间的距离； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点到达点后，立即调转方向沿数轴按原速向左运动．在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点的运动时间为（秒）． ①当点与点相遇时，求的值； ②当点与点之间的距离时，求的值． 27．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 28．如图，在数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足．点A与点B之间的距离记为． (1)______，______，点A与点B之间的距离______； (2)点C在点A，点B之间的数轴上，点D在数轴上，且，，求点C与点D之间的距离； (3)点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点P的运动时间为t（秒）．求当点P与点Q之间的距离时，求t的值． 29．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． (1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度； (2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数； (3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 30．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 31．如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 32．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数轴动点问题专题训练2 （折线存在性多动点求时间4类32道） 专题目录 【类型1 折线数轴动点问题】 1 【类型2 数轴动点存在性问题】 14 【类型7 多动点问题】 24 【类型4 求动点时间】 36 【类型1 折线数轴动点问题】 1．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 2．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 【答案】(1)，； (2)，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，分别求出动点在、、段的时间即可； （2）根据题意得出两点在段相遇，分别表示出点运动到上时表示的数即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：、、， ∴动点从点运动至点需要：（秒）， 动点从点运动至点需要：（秒）， 故答案为：，； （2）解：∵点到点需要：（秒）， 点到点需要：（秒）， ∴两点在段相遇 点运动到上时表示的数为：； 点运动到上时表示的数为：； ∴ 解得：； 此时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题．掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数的关键． 3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 4．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 5．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间； （3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 6．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． 7．如图，点，分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为，，，知，．若动点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，，求的值； (3)若，现将，两点之间变为点的“变速区”，规定为：点从点运动到点期间速度变为原来的两倍，从点到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点从原点出发，仍以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动．请问，是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出的长，即可得出点表示的数，根据点的平移规则，求出点表示的数即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为8， 由题意，点表示的数为； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴或， 解得或； （3）解：存在； 点从点运动到点的速度为每秒个单位长度，点从点运动到点的速度为每秒个单位长度， 故从点运动到点的时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 点从点运动到点所用时间为， 由题意，当时，，解得； 当时，，解得； 综上：或． 8．如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，线段中点的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 【类型2 数轴动点存在性问题】 9．在数轴上有三个点A，B，C它们表示的有理数分别为a，b，c，已知a是最大的负整数，且． (1)______，______，______； (2)①如果数轴上点D到A、B两点的距离相等，则点D表示的数为______； ②如果数轴上点E到点A的距离是5，则点E表示的数为______； (3)在数轴上是否存在一点F，使点F到点C的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请求出点F表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；2 (2)①；②或4 (3)存在，点F表示的数为或 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，且，， ∴，，解得， 故答案为：；；； （2）①解：设点表示的数为， ∵到点、距离相等，则， ∴． 故答案为：； ②解：设点表示的数为， ∵到的距离是5， ∴，即， 则或，解得或 故答案为：或； （3）解：存在，设点表示的数为， ∵到的距离是到距离的2倍，且，， ∴ 分三种情况讨论： 情况一：当时，则， 解得，与矛盾，舍去； 情况二：当时，则， 解得； 情况三：当时，则， 解得 综上，点表示的数为或． 10．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)2；正； (2)或 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键； （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知以，再根据点和点的位置关系，分两种情况讨论，利用数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，点A，B在数轴上表示的数分别为，10， 所以， ， 所以点C表示的数为， 所以点C在数轴正半轴， 故答案为：2；正； （2）解：存在； 因为点A、B间的距离为：，点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的， 所以， ①当点C在点A的左边时，点C表示的数为：， ②当点C在点A的右边时，点C表示的数为：； 综上所述，x的值为：或 . 11．如图，数轴上两点对应的有理数分别为和12，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______；此时，、两点间的距离为______；、两点间的距离______ (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间，使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请直接写出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)21 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，数轴上两点间距离公式，绝对值方程，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）先表示出、表示的数，再由两点间距离公式求解； （3）由题意得、两点间的距离为，、两点间的距离为，则建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得表示的数为，表示的数为 ∴当时，表示的数为，表示的数为， 此时，、两点间的距离为；、两点间的距离为， 故答案为：；；；； （2）解：当时，，， ∴、表示的数分别为，， ∴、两点间的距离为； （3）解：存在， 由题意可得表示的数为，表示的数为 ∴、两点间的距离为 与、两点间的距离为， 则由题意得， 解得或． 12．如图，已知两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的4倍． (1)求数轴上点表示的数； (2)若点到点、点的距离相等，求点表示的数； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，试探究在数轴上是否存在点，使得．若存在，请求出点表示的数是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到原点的距离为2， ∵点到原点的距离是点到原点的距离的4倍， ∴点到原点的距离为8， ∵点在点的左侧， ∴数轴上点表示的数为8； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点、点的距离为， 又∵点到点、点的距离相等， ∴点到点、点的距离都等于， ∴点表示的数为； （3）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 当点在点的左侧时， 则点表示的数为； 当点在点的右侧时： 则点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 13．在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点为数轴上三个点，点表示的数是 ①___________ ②比较的大小___________（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻，使得此刻？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）根据相反数的性质和新定义计算即可； （2）根据新定义计算即可； （3）用代数式表示运动的长度，代入求值即可； 【详解】（1）解：①表示的数是， ∴与互为相反数 表示的数是， ②同理， 由图可知： ； （2）解： 或 或； （3）解：存在，当或时， 点以每秒个单位的速度沿着数轴向右运动 运动的距离为： 或 解得：或； 14．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变 【详解】（1）解：， ，， 即，． ， ． 故答案为：，，； （2）解：，，， ， 解得或； （3）解：存在，理由如下： 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 由题意得，解得． 答：时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变． 15．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______； (2)若点C到点A、点B的距离相等，求点C表示的数，点C表示的数在数轴的正半轴上还是负半轴上； (3)若点A与点D之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)3 (2)点C表示的数为1；点C表示的数在数轴的正半轴上 (3)存在点D，点D表示的数是或7 【详解】（1）解：由题意知，点A表示的数为，则点A到原点O的距离是1，点B到原点O的距离是3，点B可能是或，但由于点A位于点B的左侧，故点B对应的数是3． （2）解：∵点C到点A、点B的距离相等， ∴点C表示的数为：， ∴点C表示的数在数轴的正半轴上； （3）解：存在，理由如下： ∵的距离为：， ∴， 考虑到点D可能位于点A的左右两侧，分两种情况讨论： 当点D位于点A的左侧时，点D表示的数为：； 当点D位于点A的右侧时，点D表示的数为：； 答：存在点D，点D表示的数是或7． 【点睛】本题考查了如何表示数轴的点、点与点之间的距离等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 16．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 【类型7 多动点问题】 17．如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．    (1)点表示的数为__________，点对应的数为__________． (2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数． 【答案】(1) (2)点M表示的数是，点N表示的数是 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式解答； （2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2，根据点运动的速度及方向得到，，即可得到、点所表示的数． 【详解】（1）∵点表示的数为， ∴点B表示的数是，点A表示的数是， 故答案为：； （2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2， ∵动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动． ∴， ∵点为线段的中点， ∴，即点M表示的数是， ∵点在线段上，且， ∴ ∴点N表示的数是． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，正确理解点运动的方向及速度与路程、时间的关系是解题的关键． 18．在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、3、x，解答下列问题： ①______； ②若，求x的值； (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、3、12．动点P沿数轴从点D开始向右以每秒1个单位长度的速度运动到点E，然后提速，以每秒3个单位长度的速度运动到达F点后立刻以每秒2个单位长度的速度返回，回到D点时停止运动．在整个运动过程中，若，求点P的运动时间t的值． 【答案】(1)①4；②x的值为1或5 (2)，点P的运动时间t的值为或14 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值． （1）①由两点距离公式可求解；②由两点距离公式列出方程求解即可； （2）分两种情况讨论，由两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得：； 故答案为：①4； ②由题意得：，即， 或； x的值为1或5； （2）解：由题意得：，， 点P从点D开始向右运动时， 当时，点P从点D向点E运动， 此时； 当时，点P从点E向点F运动， 此时；即， 解得：； 当时，点P从点F向点E运动， 此时，即， 解得：； ，点P的运动时间t的值为或14． 19．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 20．如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)点的速度为或 【分析】（1）根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，再根据两点之间的距离的计算方法即可求解； （2）根据点，点的运动，设运动时间为秒，用含的式子表示点到点的距离，点到点距离，根据题意列式求解即可； （3）根据点的运动关系可以求出点对应的数字，及的值，根据动点运动的规律分别求出点所对应的数字，并表示它们的距离，根据行程问题的数量关系的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：中，，， ∴，解得，；，解得，， ∴、两点之间距离为． （2）解：点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，点对应的数是，点对应的数是， ∴点到点的距离为，点到点距离为， ∴①时，则， ∴，解得，； ②，且，即时， ∴，解得， ③，时， ∴，解得，； 综上所述，点到点的距离是点到点距离的倍时，运动时间为秒或秒． （3）解：点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，设点对应的数是， ∴①点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动， ∴，解得，， ∴点到点的距离为，点到点的距离为， ∵点从点到点的速度为个单位长度/秒， ∴， ∵、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、， ∴点对应的数字是，点对应的数字是， 此时，点从点向右运动，点从点向左运动，且点从点向右运动， ∴①当点运动秒时，点运动的路程为，则此时点对应的数字为， ∵此时点和点的距离为个单位长度， ∴，则或（不符合题意，舍去）， ∴点与点的距离为， ∴点的速度为； ②当点运动秒时，点运动的路程为，则点对应的点的数字是， ∴点从点运动到的路程为， ∴点的速度为； 综上所述，点的速度为或． 【点睛】本题主要考查数轴上动点与距离的综合，掌握数轴上两点之间的距离的表示，动点的运动与数字的对应关系，行程问题的数量关系是解题的关键． 21．如图，数轴上点A、B对应的数分别是a、b，并且．    (1)求A、B两点之间距离． (2)若两动点P、Q同时从原点出发，点P以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左移运动，点Q以2个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点P到点A的距离是点O到点B距离的2倍？    (3)点C是数轴上A、B之间一点，P、Q两点同时从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为a秒时，P、Q两点恰好分别到达点A、B，又运动a秒时，P、Q两点分别到达点E、F，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点R从点E出发沿数轴向右运动，当点R运动3秒时，点R与点Q在M点相遇，此时点P和点M的距离为5个单位长度，点M和点C的距离为2个单位长度，求点R的速度．    【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据平方、绝对值的非负性求出a，b的值，在根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）设运动时间为t秒，P点对应的数为，Q点对应的数为，根据题意及数轴两点之间的距离公式建立方程求解即可； （3）根据题意求出点C，可知a秒后，P点运动的路程为，Q点运动的路程为，再运动a秒后，E点对应的数为，F点对应的数为，根据题意求出a值，从而的得到M的值，计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ， A、B两点之间距离为：5； （2）（2）设运动时间为t秒，P点对应的数为，Q点对应的数为， 的长度为，的长度为； 当时，的长度是的2倍， ， ， （舍），与相矛盾； 当时， 同上可解得：，，符合题意； 当时，同上可解得：，，符合题意； 运动秒或秒时点P到点A的距离是点O到点B距离的2倍； （3）设C点对应的数为c， 根据题意可得：， 解得， 此时可知a秒后，P点运动的路程为，Q点运动的路程为， 再运动a秒后，E点对应的数为，F点对应的数为， 当调转方向再运动3秒后，P ，Q未相遇，Q与R相遇，且P与R相距5个单位长度，则可知，3秒后P、Q相距5个单位长度， 则3秒内，P ，Q共运动5个单位长度， 所以， 根据题意，点R和点Q在M点相遇，点M与点C相距2个单位长度， 可知点M对应的点为， 则R点3秒运动的距离为， 则R点的速度为单位长度/秒． 【点睛】本题考查了平方和绝对值的非负性、数轴上的两点间的距离的计算方法、及数轴上点的运动情况和两点间的距离公式，熟记数轴两点之间的距离公式及绝对值的几何意义是解题的关键． 22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5 (2)2．C，12 (3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或5． 故答案为：；或5． （2）①当时，则有： ， ∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为， 当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，， ∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 23．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 24．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【详解】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 【类型4 求动点时间】 25．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 26．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点与点之间的距离记为． (1)求点与点之间的距离； (2)点在点，点之间的数轴上，点在数轴上，且，，求点与点之间的距离； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点到达点后，立即调转方向沿数轴按原速向左运动．在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点的运动时间为（秒）． ①当点与点相遇时，求的值； ②当点与点之间的距离时，求的值． 【答案】(1)18 (2)12或16 (3)①3或9；②，，8或10 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，数轴上两点间的距离． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，进而计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离求出点对应的数、点对应的数，进而计算即可； （3）①分点到达点前、后两种情况作答即可； ②分点到达点前、后两种情况，分别计算点在点左、右侧时的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， 点与点之间的距离； （2）解：点在点，点之间的数轴上，且， 则点在点的左侧4个单位长度， 点对应的数为， 点在数轴上，，若点在点右侧，则点对应的数为； 若点在点的左侧，则点对应的数为． ，或． 综上所述，点与点之间的距离为12或16； （3）解：①当点到达点前与点相遇，则（秒）； 点由点到达点，需要（秒）， 此时点由点向左运动了个单位长度， （秒），（秒）． 综上所述，当点与点相遇时，的值为3或9； ②在点到达点之前， 当点在点左侧时，（秒）； 当点在点的右侧时，（秒）． 在点到达点之后，由①得，点到达点时，（秒）， 此时点在点左侧9个单位长度． 当点在点右侧时，（秒）； 当点在点左侧时，（秒）． 综上所述，当时，的值为，，8或10． 27．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）根据点的运动方向列代数式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （3）根据两点间的距离公式列方程求解； （4）根据的取值范围，分类讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）， 当时，， 当时，； （3）由题意得：， 解得：或； （4）当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． 28．如图，在数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足．点A与点B之间的距离记为． (1)______，______，点A与点B之间的距离______； (2)点C在点A，点B之间的数轴上，点D在数轴上，且，，求点C与点D之间的距离； (3)点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点P的运动时间为t（秒）．求当点P与点Q之间的距离时，求t的值． 【答案】(1)，10，13 (2)5或11 (3)或 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，数轴上两点间的距离． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，进而计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离求出点对应的数、点对应的数，进而计算即可； （3）分相遇前、后两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵点B对应的数为10，点C在点A，点B之间的数轴上，且， ∴点C对应的数为5， ∵点A对应的数为，点D在数轴上，， ∴点D对应的数为0或， ∴点C与点D之间的距离或； （3）解：运动时间为t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ， ， ， 或， 或． 29．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒． (1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度； (2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数； (3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；2 (2)当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20； (3)在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或 【分析】（1）分别求出当t＝2及t＝12时，P、Q对应的数，再利用数轴上两点距离公式求解即可； （2）分别求出运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，然后根据数轴上两点距离公式列出方程求解即可； （3）分当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，两种情况同（2）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当t=2时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：， ∴； 当t=12时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为， ∵PQ=5， ∴， ∴， ∴t-10=5或t-10=-5， ∴t=15或t=5， 当t=5时，-10+2t=0， 当t=15时，-10+2t=20， ∴点Q对应的数为0或20， ∴当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20； （3）解：由题意得， ∵， ∴点Q从A运动到B需要15秒，从B运动到A也需要15秒 ∴当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为， 当时， ∵PQ=8， ∴， ∴， ∴t-10=8或t-10=-8， ∴t=2或t=18（舍去）； 当时， ∵PQ=8， ∴， ∴， ∴3t-50=8或3t-50=-8， ∴或t=14舍去）； 综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程，熟知数轴上两点距离的表示方法是解题的关键． 30．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 31．如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 32．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． ． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $