专题01 绝对值压轴题分类训练（7种类型56道）2026-2027学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 以7类56道题构建绝对值压轴题训练体系，从非负性到综合应用，融合数形结合与分类讨论，系统覆盖核心考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非负性求值|8题|非负数和为0则各数为0|基于绝对值非负性概念| |求最值|8题|绝对值非负性与几何意义|从代数到几何意义过渡| |含绝对值方程|8题|分类讨论去绝对值符号|方程解法与绝对值性质结合| |数轴去绝对值|8题|数轴位置判断符号|数形结合化简绝对值| |几何意义|8题|数轴两点距离模型|绝对值几何意义直接应用| |综合性问题|8题|多性质综合辨析|概念辨析与性质综合应用| |数轴综合压轴题|8题|阅读理解+问题解决|知识整合与高阶思维训练|

专题01 绝对值压轴题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用绝对值非负性求值】 1 【类型2 利用绝对值求最值】 4 【类型3 含绝对值的方程】 7 【类型4 利用数轴去绝对值】 9 【类型5 绝对值的几何意义】 13 【类型6 绝对值相关综合性问题】 17 【类型7 绝对值与数轴综合压轴题】 23 【类型1 利用绝对值非负性求值】 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可得，， 求出、的值，进而得解． 【详解】解：， ，， ，， ． 故选：A ． 2．，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 3．若．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值得非负性，代入求值，根据绝对值得非负性得到，，然后求出x，y的值，代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选C． 4．若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 5．如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 6．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 8．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 【类型2 利用绝对值求最值】 9．若有最大值，这个最大值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的非负性得出的最小值是0，从而得出式子的最大值． 【详解】解： ， 的最小值是0． 的最大值是3． 故答案为：3． 10．当______时，有最大值，最大值为______． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查绝对值的非负性质，由，可得到，进而即可求解． 【详解】由，则， 所以， 故当时，有最大值，最大值为10． 故答案为：1，10． 11．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是 __． 【答案】2020 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0， ∴的最大值为2020． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键． 12．当5-||取最大值时，=________；这时的最大值是________． 【答案】 -1 5 【分析】结合题意，根据绝对值的性质，得当时，5-||取最大值；通过求解绝对值方程得的值，结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】当取最小值，即时，5-||取最大值； ∴ ∴ 故答案为：-1，5． 【点睛】本题考查了绝对值、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值和代数式的性质，从而完成求解． 13．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 14．当_____时， 会有最小值， 且最小值是_______ 【答案】 1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握任意一个数的绝对值大于等于0． 由绝对值的非负性可知，即最小是0即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即时有最小值6， 此时． 故答案为：1；6． 15．当_______时，有最小值，最小值是___________． 【答案】 【分析】根据，可得结论． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键． 16．若式子有最小值，则该最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为： 【类型3 含绝对值的方程】 17．若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 18．若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴. 19．若，则__________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或． ， 解得：； ， 解得：， 故答案为：或． 20．已知，，且则式子的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性可知，，，且，因此，，解得，，由，得或，即或，又因为，且，所以，故，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 又， 或， 解得或， ，且， ， ， ． 故答案为：． 21．若，则________；若，则________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的概念．根据绝对值的定义，可得x、y的值． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：，． 22．若，______． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的定义，由绝对值的定义可得或，分别求解即可． 【详解】解：由绝对值的定义可得或， 解得或． 23．如果，那么__________． 【答案】5或1 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：可看作是数轴上表示点a的数与表示3的数之间的距离为2， 所以或； 故答案为：5或1． 24．若，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，由题意可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型4 利用数轴去绝对值】 25．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，，， ，，， 26．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 27．有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 28．有理数表示的点在数轴上的位置如图所示，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，根据数轴上右边的点大于左边的点，判断绝对值内各项式子的正负，去掉绝对值后化简即可． 【详解】解：，， ， ． 29．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边小于右边，以及绝对值的意义．根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 30．已知a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴比较大小，绝对值的性质，以及绝对值的化简计算，解决本题的关键是比较出a，b，c的大小． 根据数轴可得，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 31．有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：________ 【答案】 【分析】根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，，， ∴ ． 32．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简与数轴上数的大小关系，解题的关键是根据数轴判断出、、的符号及大小关系，进而确定绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后进行化简． 由数轴可知，因此，，；根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到，合并同类项后得到结果． 【详解】解：由数轴可知，， ，，． ． 故答案为：． 【类型5 绝对值的几何意义】 33．当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 34．的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据绝对值的几何意义判断出当时，的值最小，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 35．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 36．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 37．的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 38．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 39．数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】 0或 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，理解题意，掌握绝对值方程的计算是关键． 从数的角度，通过分类讨论绝对值内表达式的正负性求解；从形的角度，利用数轴上两点距离的意义理解方程． 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 40．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与4所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想．根据绝对值的几何意义，表示x到的距离，表示x到5的距离，代数式表示x到和5的距离之和，当x在与5之间时，该距离之和最小，为与5之间的距离． 【详解】解：的几何意义是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离， 的几何意义是数轴上x所对应的点与5所对应的点之间的距离， 因此，表示x到和5的距离之和， 当x在与5之间（包括端点）时，该距离之和等于； 当x在左侧或5右侧时，距离之和大于8， 故代数式的最小值为8． 故答案为：8． 【类型6 绝对值相关综合性问题】 41．已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的性质、绝对值运算及逻辑判断，注意绝对值不等式的解集及代数条件的完备性，避免忽略特殊值（如零）导致错误． 需逐一分析各说法的正确性：①考虑相反数定义及分母不为零；②解绝对值不等式；③通过代数变换分析条件；④利用绝对值比较推导不等式． 【详解】解：∵ ①若互为相反数，则，但当时，无意义， ∴①错误；   ∵ ②或，∴不一定成立， ∴②错误； ∵ ③设，则，即，但结论要求（严格不等）， 当时条件成立但结论不成立， ∴③错误；   ∵ ④，故，且，∴恒成立， ∴④正确． 综上，只有④正确，正确结论有1个． 故选：B． 42．有理数在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出，，然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】根据数轴上的点的位置判断出，， ①，正确； ②，此时应该是，故错误； ③，正确； ④，此时，故错误； ⑤，此时，故正确． 正确的有三个， 故选：B． 43．下列说法：①若，则 ；②若，且 ，则；③若，则； ④若，，，则 ．其中正确的有（    ）． A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查代数式的性质与绝对值的意义．说法①忽略分母为零的情况；说法②由条件判断a、b同负，进而化简绝对值；说法③利用平方差公式和绝对值不等式推导；说法④由条件判断a、b同负，c为正，代入化简求值． 【详解】解：∵， ∴， 但当时，无意义，即①错误； ∵且， ∴a、b同号且均为负数， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴a、b同号， 又∵且， ∴， ∴a、b均为负数， ∴，，， ∴，④正确， 综上，正确说法为②③④， 故选：A． 44．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号．由数轴可得，，且，进而根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，a在和之间，b在0与1之间， c在2与3之间， ，①正确； ，②正确； ，，，③正确； ，④错误； ，⑤正确； ，，⑥错误； 综上可知，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 45．已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子：；；；．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴知：，且， ，，， 正确， 故选：D． 46．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，解题的关键是理解相反数，绝对值的定义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若是有理数，则，原说法正确，符合题意； ④若时，，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵、、均为非零有理数，若， ∴负数个数可能为1或2或3个： 1个负数时，， 2个负数时，， 3个负数时， 综上，，则的值为 2 或，原说法正确，符合题意； 故选：B． 47．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 48．如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，绝对值的性质，数轴上的点表示有理数， 根据题意可知，且，结合有理数的加法和乘法法则判断①②③；再根据题意可知，结合有理数的乘法法则判断④；然后根据数轴上点的位置可知，即可判断⑤；最后根据可知，可解答⑥． 【详解】解：根据题意可知，且， ∴， 所以①不正确，②不正确，③正确； ∵，， ∴， 所以④正确； ∵， ∴， 所以⑤正确； ∵， ∴， ∴， 所以⑥正确． 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 【类型7 绝对值与数轴综合压轴题】 49．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 50．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 51．阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数、点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，表示数轴上表示数的点与原点的距离，那么，数轴上两点表示的数分别为时，点与点之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 已知数在数轴上表示的点分别是点且满足． (1)求a、b、c的值；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)_____个单位长度，若数m在数轴上表示点M； ①若M在A、C之间，求的值． ②若，求的值． 【答案】(1)，，， 在数轴上表示如下： (2)5；①5；②或 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，绝对值和完全平方公式的非负性，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简，解一元一次方程， 对于（1），根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，c，进而求出b，然后在数轴上表示出来即可； 对于（2），①，先求出，再根据，去掉绝对值计算即可； ②分两种情况讨论得出两个方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：①结合（1）可得：， ∵点M在A、C之间， ∴， 则； ②解：∵， ∴结合（2）得：或， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：，     综上：的值为：或． 52．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 【答案】(1)；；或； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离公式以及绝对值的意义． （1）利用绝对值的意义进行计算和求解； （2）根据数的取值范围去绝对值计算； （3）将绝对值的和理解为点到点的距离之和，通过分析确定使值最小的点． 【详解】（1）解：；；，则，解得或； 故答案为；；或； （2）数轴上表示数的点位于和之间， （3）根据表示数到，，三点的距离之和， 则当时，， 故当时，的值最小，最小值为， 故答案为． 53．数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【答案】(1)5或1 (2)11；5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可； （3）以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法解答即可． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 54．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 55．阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)或1 (3)①2 ②当时，的最小值为6 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据表示x的点与表示的点之间的距离解答； 对于（2），分两种情况表示x的点与表示的点之间的距离是2解答即可； 对于（3），①分三种情况讨论表示x的点与表示和1的点之间的距离最小解答； ②分五种情况讨论表示x的点与表示，2，3的点之间的距离和最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：若，可知表示x的点与表示的点之间的距离为2， ∴x的值是或1； 故答案为：或1； （3）解：①当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在1的右边时，； 当表示x的数在和1之间时，， 所以最小值为2； ②当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在3的右边时，； 当表示x的数在和2之间时，， 当表示x的数在3和2之间时，， 当表示x的数是2时，， 所以最小值为6． 56．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值压轴题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用绝对值非负性求值】 1 【类型2 利用绝对值求最值】 2 【类型3 含绝对值的方程】 2 【类型4 利用数轴去绝对值】 2 【类型5 绝对值的几何意义】 3 【类型6 绝对值相关综合性问题】 4 【类型7 绝对值与数轴综合压轴题】 5 【类型1 利用绝对值非负性求值】 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．，则（　　） A．3 B． C． D．2 3．若．则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 5．如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 6．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 7．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 8．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【类型2 利用绝对值求最值】 9．若有最大值，这个最大值是______． 10．当______时，有最大值，最大值为______． 11．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是 __． 12．当5-||取最大值时，=________；这时的最大值是________． 13．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 14．当_____时， 会有最小值， 且最小值是_______ 15．当_______时，有最小值，最小值是___________． 16．若式子有最小值，则该最小值为__________． 【类型3 含绝对值的方程】 17．若，则______________． 18．若，则_________． 19．若，则__________． 20．已知，，且则式子的值为_____． 21．若，则________；若，则________． 22．若，______． 23．如果，那么__________． 24．若，且，则______． 【类型4 利用数轴去绝对值】 25．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 26．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 27．有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 28．有理数表示的点在数轴上的位置如图所示，则_____． 29．有理数在数轴上的位置如图所示，化简：___________ 30．已知a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 31．有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：________ 32．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【类型5 绝对值的几何意义】 33．当______时，的最小值是______． 34．的最小值为______． 35．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 36．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 37．的最小值为______ 38．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 39．数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 40．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与4所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为______． 【类型6 绝对值相关综合性问题】 41．已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 42．有理数在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 43．下列说法：①若，则 ；②若，且 ，则；③若，则； ④若，，，则 ．其中正确的有（    ）． A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 44．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 45．已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子：；；；．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 46．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 47．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，数轴上、两点分别对应实数、，有以下结论： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型7 绝对值与数轴综合压轴题】 49．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 50．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 51．阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数、点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，表示数轴上表示数的点与原点的距离，那么，数轴上两点表示的数分别为时，点与点之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题： 已知数在数轴上表示的点分别是点且满足． (1)求a、b、c的值；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)_____个单位长度，若数m在数轴上表示点M； ①若M在A、C之间，求的值． ②若，求的值． 52．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 53．数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 54．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 55．阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 56．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $