广东省潮州市潮安区启成学校2025-2026学年九年级上学期周测数学试卷

**基本信息** 本试卷覆盖九年级上册数学核心知识，以周测为定位，通过旅游人次增长、茶叶销售利润、矩形花坛设计等真实情境，考查一元二次方程、二次函数、旋转等知识，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决实际问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、一元二次方程根的判别式、二次函数顶点坐标|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/18|方程求解、函数图像平移、旋转坐标变换|注重运算与空间观念| |解答题|9/72|含项目式花坛设计（23题）、配方法求最值（24题）、二次函数综合（25题）|综合应用与创新，如23题用比例尺和方程解决实际设计问题，25题结合几何与函数探究定点|

2025-2026学年广东省潮州市潮安区启成学校九年级（上）周测数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 4．（3分）二次函数y＝2x2﹣4图象的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（2，﹣4） C．（1，4） D．（2，4） 5．（3分）要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 6．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（　　） A．（x﹣3）2＝0 B．（x+3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18 7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．过点（0，3） 8．（3分）如图，已知∠A＝∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝2，AD＝1，点E为AB所在直线上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，EC，CF．给出下列结论：①∠DEF＝45°；②EC最小值是2；③FC最小值为；④EC﹣ED的最大值是．其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 9．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（　　） A．旋转中心是O，旋转角是90° B．旋转中心是O，旋转角是45° C．旋转中心是C，旋转角是90° D．旋转中心是C，旋转角是45° 10．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根为　 　 ． 12．（3分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：　 　 ． 13．（3分）如图，点A（﹣2，2），B（2，1），将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB'，则点B'的坐标为 　 　 ． 14．（3分）已知二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 　 　 ． 15．（3分）已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝8，则x2+y2的值是 　 　 ． 16．（3分）已知实数x、y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y+x的最大值为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 17．（6分）解方程：2x2﹣6x+4＝0． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0． （1）已知方程的其中一个根x1＝﹣1，求k的值． （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出A1，C1的坐标； （2）求出△ABC的面积． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 21．（8分）某开发区人口和人均住房面积近三年来增长情况如图所示，据此回答下列问题： （1）这个区2020年和2021年哪一年增加的住房面积多？ （2）由于开发区建设需要，预计到2023年该区人口将比2021年增加2万，若要使到时人均住房面积达到60m2，则这两年的住房平均年增长率应达到多少？（精确到0.1%） 22．（8分）某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023﹣2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：　 　 ； ②求该茶商每天的最大利润． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照1：100的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，在AD边上确定中点H，则AH的长应为　 　 ； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 24．（10分）有教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：∵2x2+4x﹣6 ＝2（x2+2x）﹣6 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6 ＝2（x+1）2﹣8． ∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料解决下列问题： （1）当m＝　 　 时，代数式﹣2（m﹣1）2+3有最大值，这个值为　 　 ； （2）当a为何值时，多项式﹣a2+5a+1有最大值，并求出这个最大值； （3）当a，b为何值时，多项式a2+3b2+4a﹣3b+7有最小值，并求出这个最小值． 25．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标及的最大值； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2．试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2025-2026学年广东省潮州市潮安区启成学校九年级（上）周测数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 【分析】关于原点成中心对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（﹣1，﹣3）， 故选：A． 【点评】此题考查了关于原点成中心对称的点的坐标．平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）． 4．（3分）二次函数y＝2x2﹣4图象的顶点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（2，﹣4） C．（1，4） D．（2，4） 【分析】根据y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k）解答即可． 【解答】解：二次函数y＝2x2﹣4图象的顶点坐标是（0，﹣4）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 5．（3分）要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝4×7 D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 6．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣9＝0配方后得到（　　） A．（x﹣3）2＝0 B．（x+3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18 【分析】先把常数项移项，再配方． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣9＝0， ∴x2﹣6x＝9． ∴x2﹣6x+9＝9+9． ∴（x﹣3）2＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了配方法，掌握解一元二次方程配方法的一般步骤是解决本题的关键． 7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+3的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．过点（0，3） 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及最小值，则可得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3， ∴a＝1＞0，开口向上，故A不符合题意； 图象对称轴是直线x＝1，故B不符合题意； 图象顶点坐标为（1，3），故C符合题意； 当x＝0时，y＝1+3＝4≠3，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h． 8．（3分）如图，已知∠A＝∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝2，AD＝1，点E为AB所在直线上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，EC，CF．给出下列结论：①∠DEF＝45°；②EC最小值是2；③FC最小值为；④EC﹣ED的最大值是．其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】根据旋转的性质 得到△DEF是等腰直角三角形，可知∠DEF＝45°；根据“垂线段最短”可知EC的最小值为2；当点E和点A重合时，，可知FC存在比小的值；当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，EC﹣ED＜DC，当E在CD的延长线上时，． 【解答】解：根据题意，线段DF是由线段DE绕点D逆时针旋转90°得到的． ∴DE＝DF， ∵∠EDF＝90°． ∴△DEF是一个等腰直角三角形． 在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且都等于（180°﹣90°）/2＝45°． ∴∠DEF＝45°． ∴①是正确的． 由题意，BC⊥AB，根据“垂线段最短”，当点E与点B重合时，EC＝BC＝2，即EC的最小值为2，②正确． 当点E和点A重合时，由勾股定理得，，③错误． 当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，EC﹣ED＜DC，当E在CD的延长线上时，，④正确； 综上正确的有①②④． 故选：C． 【点评】题目考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称、最短路线，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 9．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（　　） A．旋转中心是O，旋转角是90° B．旋转中心是O，旋转角是45° C．旋转中心是C，旋转角是90° D．旋转中心是C，旋转角是45° 【分析】观察图形，根据网格的特征可得答案． 【解答】解：由图可知，B绕O逆时针旋转90°可得C，A绕O逆时针旋转90°可得D， ∴旋转中心是O，旋转角是90°； 故选：A． 【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质． 10．（3分）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根为x1＝3，x2＝2　 ． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， （x﹣2）2＝x﹣2， （x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝3，x2＝2． 故答案为：x1＝3，x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12．（3分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：y＝x2﹣2x+3　 ． 【分析】先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为y＝x2﹣2x+3． 故答案为：y＝x2﹣2x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 13．（3分）如图，点A（﹣2，2），B（2，1），将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AB'，则点B'的坐标为 　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】根据所给点的坐标，构建平面直角坐标系，画出旋转后的线段即可解决问题． 【解答】解：根据A，B两点坐标，画出平面直角坐标系， 如图所示，点B′的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，能根据所给A，B两点坐标画出平面直角坐标系并画出线段AB旋转后的对应线段是解题的关键． 14．（3分）已知二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 m＜1　 ． 【分析】当y＝0时，x2+2x+m＝0，则方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数解时，二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点，根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：当y＝0时，x2+2x+m＝0， ∵方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数解时，二次函数y＝x2+2x+m与x轴有两个公共点， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0， 解得m＜1， 即实数m的取值范围为m＜1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 15．（3分）已知（x2+y2﹣2）（x2+y2）＝8，则x2+y2的值是 　4　 ． 【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝8，解方程即可． 【解答】解：设x2+y2＝a，原方程可化为a（a﹣2）＝8， 整理得（a﹣1）2＝9， 解得a＝4或﹣2（舍去） ∴x2+y2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 16．（3分）已知实数x、y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y+x的最大值为　4　 ． 【分析】由x2+3x+y﹣3＝0，则y＝﹣x2﹣3x+3，故x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，然后利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵x2+3x+y﹣3＝0， ∴y＝﹣x2﹣3x+3． ∴x+y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4． ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，x+y的最大值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 17．（6分）解方程：2x2﹣6x+4＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：a＝2，b＝﹣6，c＝4， b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×4＝4＞0， x， ∴x1＝2，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0． （1）已知方程的其中一个根x1＝﹣1，求k的值． （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将x1＝﹣1代入原方程，可得出（﹣1）2﹣（2k﹣1）﹣k﹣2＝0，解之即可得出k的值； （2）根据Δ＝4k2+9＞0，即可判断． 【解答】（1）解：将x1＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣（2k﹣1）﹣k﹣2＝0， 解得：k＝0， ∴k的值为0； （2）证明：Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2） ＝4k2﹣4k+1+4k+8 ＝4k2+8， ∵k2≥0， ∴4k2+8＞8，即Δ＞0， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x1＝﹣1，求出k的值：（2）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出A1，C1的坐标； （2）求出△ABC的面积． 【分析】（1）先作出A（﹣1，2）、B（﹣3，3）、C（﹣4，0）关于原点对称的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标； （2）利用割补法求面积即可． 【解答】解：（1）作出A、B、C关于原点对称的坐标特征写出A1（1，﹣2）、B1（3，﹣3）、C1（4，0），连接A1B1，B1C1，A1C1， ， 如图，△A1B1C1即为所求，点A1（1，﹣2），C1（4，0）； （2）S△ABC＝3×31×31×22×3＝3.5． 【点评】本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）把x＝3代入x2+（m+4）x+m+3＝0即可求得m的值； （2）根据题意只需要证明Δ＝（m+4）2﹣4（m+3）≥0即可． 【解答】（1）解：∵方程有一实数根为3， ∴32+3（m+4）+m+3＝0， ∴m＝﹣6； （2）证明：由题意得，Δ＝（m+4）2﹣4（m+3） ＝m2+8m+16﹣4m﹣12 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21．（8分）某开发区人口和人均住房面积近三年来增长情况如图所示，据此回答下列问题： （1）这个区2020年和2021年哪一年增加的住房面积多？ （2）由于开发区建设需要，预计到2023年该区人口将比2021年增加2万，若要使到时人均住房面积达到60m2，则这两年的住房平均年增长率应达到多少？（精确到0.1%） 【分析】（1）分别用2020年和2021年的人数乘对应的住房面积减去对应的上一年的人数乘对应的住房面积，对比计算的结果即可得出结论； （2）设这两年的住房平均年增长率为x，分别算得2021年和2023年的人数乘对应的住房面积，利用面积的变化得出方程解答即可． 【解答】解：（1）2020年增加的住房面积：18×48﹣17×45＝99（万m2） 2021年增加的住房面积：20×50﹣18×48＝200﹣172.8＝136（万m2） ∵136＞99 ∴2021年增加的住房面积多． （2）设这两年的住房平均年增长率为x，由题意得 20×50（1+x）2＝（20+2）×60 解得：x1＝0.149，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去） 答：这两年的住房平均年增长率应达到14.9%． 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，正确计算住房面积，利用住房面积的变化得出数量关系解决问题． 22．（8分）某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023﹣2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：y＝60﹣2x ； ②求该茶商每天的最大利润． 【分析】（1）设平均增长率，根据2023和2025年游客人次列一元二次方程求解； （2）①根据单价增加量与销量减少的关系，列出销量y与x的函数式；②根据利润公式建立二次函数，配方求最大值． 【解答】解：（1）由题意，设平均增长率为r， ∴7（1+r）2＝8.47． ∴r＝0.1（舍去负根）， ∴平均增长率为10%． （2）①∵单价每增加x元， ∴销量减少斤， ∴y＝60﹣2x． 故答案为：y＝60﹣2x． ②由题意，设每天利润为W元，每斤利润为（20+x）元， ∴y＝60﹣2x， ∴W＝（20+x）（60﹣2x） ＝﹣2x2+20x+1200 ＝﹣2（x﹣5）2+1250 ∴当x＝5时，W取得最大值1250元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）、二次函数的实际应用（利润最值），解题的关键是根据数量关系建立方程或函数模型． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照1：100的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，在AD边上确定中点H，则AH的长应为　4cm ； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【分析】（1）根据比例尺求出AD的长，结合中点求出AH的长即可； （2）设小路的宽为xcm时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接AC，BD，交于点O，阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 【解答】解：（1）由题意得：图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故AD＝8（cm）， ∵H为AD边的中点， ∴AH， 故答案为：4cm． （2）设小路的宽为xcm时符合设计要求，根据题意，得 ， 解得x1＝2，x2＝12（舍去）， 答：当小路的宽为2cm时符合设计要求； （3）连接AC，BD，交于点O， 则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得AC＝BD10（cm）， 故OA＝OB＝OC＝OD＝5（cm）， 故S△COD＝S△AOB＝S△AOD矩形ABCD的面积， 故S△COB+S△AOD矩形ABCD的面积，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 【点评】本题考查矩形的性质，比例尺，一元二次方程的实际应用，轴对称图形设计，熟练掌握矩形的性质，轴对称图形的设计，解方程是解题的关键． 24．（10分）有教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：∵2x2+4x﹣6 ＝2（x2+2x）﹣6 ＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6 ＝2（x+1）2﹣8． ∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料解决下列问题： （1）当m＝　1　 时，代数式﹣2（m﹣1）2+3有最大值，这个值为　3　 ； （2）当a为何值时，多项式﹣a2+5a+1有最大值，并求出这个最大值； （3）当a，b为何值时，多项式a2+3b2+4a﹣3b+7有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （3）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答． 【解答】解：（1）当m＝1时，代数式﹣2（m﹣1）2+3有最大值，这个值为3， 故答案为：1；3； （2）﹣a2+5a+1＝﹣（a2﹣5a）+1＝﹣（a）2， ∵（a）2≥0， ∴﹣（a）2， ∴当a时，多项式﹣a2+5a+1有最大值，最大值是； （3）a2+3b2+4a﹣3b+7＝a2+4a+4﹣4+3b2﹣3b7＝（a+2）2+3（b）2， 则当a＝﹣2，b时，多项式a2+3b2+4a﹣3b+7有最小值，最小值是． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、正确理解偶次方的非负性是解题的关键． 25．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标及的最大值； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2．试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，由DG∥AH，可得（t）2，当t时，有最大值为，此时D（，）； （3）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3，设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b，当k1x+m＝﹣x2+2x+3时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3，当k2x+n＝﹣x2+2x+3时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3，M（0，m），N（0，n），再由MO•NO＝2，可得﹣mn＝2，即﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2，整理得，3k+b＝﹣2，由此可知直线PQ经过点（3，﹣2）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0）， 将点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（t，﹣t2+2t+3）， 过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点， ∴G（t，﹣t+3），H（1，4）， ∴DG＝﹣t2+3t，AH＝4， ∵DG∥AH， ∴， ∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2， ∴（t）2， ∵点D为直线BC上方抛物线上， ∴0＜t＜3， 当t时，有最大值为，此时D（，）； （3）直线PQ过定点（3，﹣2），理由如下： 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3， 设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b， 当k1x+m＝﹣x2+2x+3时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3， 当k2x+n＝﹣x2+2x+3时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3， M（0，m），N（0，n）， ∵MO•NO＝2， ∴﹣mn＝2， ∴﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2， 整理得，3k+b＝﹣2， ∴直线PQ经过点（3，﹣2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，此题运算量比较大，准确计算是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/3 15:05:33；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $