精品解析：广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中综合测评九年级数学问卷 （试卷：1张共4页，时间：120分钟，总分：120分钟） 一、选择题.（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 垂直于弦的直线必过圆心 C. 垂直于弦的直径平分弦 D. 平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 抛物线过，，三点，对称轴是直线，，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数值的大小比较，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判断抛物线开口向上，则点离抛物线的对称轴越远，纵坐标值越大，即函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴抛物线开口向上， ∴点离抛物线的对称轴越远，纵坐标值越大，即函数值越大， ∵， ∴． 故选：C ． 5. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键． 【详解】解：如图所示，点绕原点逆时针旋转得到点F，此时点， 故选：B． 6. 如图， 是的直径，是上两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠D=55°，得出∠B的度数，从而计算出∠CAB，根据同弧所对的圆心角是圆周角度数的2倍进行求解即可． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠D=55°， ∴∠B=∠D=55°(同弧所对的圆周角相等) ∴∠BAC=90°-∠B=35°， ∴∠BOC=2∠BAC =70°．(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍) 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是理清角之间的关系． 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 8. 已知二次函数的图象与 轴有公共点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像与x轴有公共点说明 ，建立一个关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有公共点， ∴ 即 解得且 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，二次函数的定义，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9. 据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x， ∴第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示．下列判断中：①abc＞0；②；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，），（﹣2，）均在抛物线上，则，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据开口方向判断出a＞0，结合对称轴判断出b＞0，再根据与y轴的交点位置，判断c＜0，进而得出结论①错误，根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确，利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点，判断出③正确，利用抛物线的性质判断出④错误． 【详解】解：由图知，抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴b＝2a，b＞0， 由图知，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误， 由图知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图知，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ∵，，而1＞0.5， ∴，故④错误； 即正确的是②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，二次函数的图象与系数的关系，判断出抛物线与x轴的另一个交点是解本题的关键． 二、填空题.（共5题，每题3分，共15分.） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为： ． 12. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后______米停下来． 【答案】 40 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求的最大值即可． 【详解】解：． 因为，当时，s取得最大值． 故汽车刹车后米停下来． 故答案为：． 13. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字 个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为 ，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 14. ⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离________． 【答案】1cm或7cm． 【解析】 【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm． 【详解】解：如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵OE过圆心，OE⊥AB， ∴EB＝AB＝3cm， ∵OB＝5cm， ∴EO＝4cm， 同理，OF＝3cm， ∴EF＝4-3=1cm， 当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm， ∴EF＝1cm或EF＝7cm． 故答案为：1cm或7cm． 【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．关键是能正确求出符合条件的两种情况． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由EG＝2，确定 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时， 最短，则最短，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，由EG＝2，可得 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， ∵正方形ABCD， ∴ ∴ ∵DE=DF， ∴（SAS）， ∴ ∴当三点共线时， 最短，则最短， ∵ 位BC 中点， ∴ 此时 此时 所以CF的最小值为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键． 三、解答题.（16、17、18题每题7分，19、20、21题每题9分，22题13分、23题14分.） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得． 17. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2）10cm 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可， （2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径． 【小问1详解】 如图所示，⊙O为所求作的圆形截面． 【小问2详解】 如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA， 则AD＝AB＝8 cm，点C为的中点， 进而，CD＝4 cm． 设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4） cm． 在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2， 解得r＝10． 即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm． 【点睛】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解． 19. 阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ，，， ,， ； 故答案为：； 【小问2详解】 ， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 20. 如图， 为的直径，、 为圆上的两点，， 交于点 ． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】 （1）证明：连接AC，如图所示： ∵ 为的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）的半径为5． 【解析】 【分析】（1）连接AC，由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而根据垂径定理可得，最后问题可求证； （2）设OA=OC=r，然后由（1）可知，进而根据勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设OA=OC=r，由（1）可知：， ∵，， ∴， 在Rt△AEO中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 21. 专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． （1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围） （2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？ （3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元；（3）当x为20时w最大，最大值是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润1932元”即可得到结论； （3）根据题意得到w=-(x-35)2+2112.5，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）设销售单价增加x元，每天售出y件． 根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：， ∵每件利润不能超过50元， ∴， 答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大， 答：当x为20时w最大，最大值是2000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 22. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 【答案】 【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】； 【探究】BD＝2OF， 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA， ∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°， ∴∠ABD+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∴∠OHE＝∠ODB， ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF＝∠HEF， ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA）， ∴EO＝EH，FO＝FH， ∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB， ∴△EOH≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OH＝2OF． 【解析】 【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论； 【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出； 【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证． 【详解】解：【思考】略 【发现】 如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OE， 设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4）， ∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x， 在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2， ∴， 解得：x＝， ∴AF＝cm． 【探究】略 【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 23. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． （1）函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________． （2）已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值． 【答案】（1）直线， （2）①4；②或3 【解析】 【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得； （2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点 的坐标，由此即可得； ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：函数的对称轴为直线， 因为， 所以设函数的友好同轴二次函数为， 所以，解得， 所以函数的友好同轴二次函数为， 故答案为：直线，． 【小问2详解】 解：①二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， 联立得：， 解得 或， 当 时，；当时，， 所以， 所以； ②函数的对称轴为直线， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当 时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当 时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中综合测评九年级数学问卷 （试卷：1张共4页，时间：120分钟，总分：120分钟） 一、选择题.（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 垂直于弦的直线必过圆心 C. 垂直于弦的直径平分弦 D. 平分弦的直径平分弦所对的弧 4. 抛物线过，，三点，对称轴是直线，，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是的直径，是上两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象与 轴有公共点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示．下列判断中：①abc＞0；②；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，），（﹣2，）均在抛物线上，则，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题.（共5题，每题3分，共15分.） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后______米停下来． 13. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 14. ⊙O半径为5，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD．则AB与CD之间的距离________． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____． 三、解答题.（16、17、18题每题7分，19、20、21题每题9分，22题13分、23题14分.） 16. 解方程：． 17. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径． 19. 阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 20. 如图， 为的直径，、 为圆上的两点，， 交于点 ． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． （1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围） （2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？ （3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 22. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 23. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． （1）函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________． （2）已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段 的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $