广东省潮州市潮安区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025一2026学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学科试题 说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟： 2.考生答卷必须写于答题卡中指定的位置，答案写于本卷中无效 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的. 1.下列环保标志中，是中心对称图形的是 A 2.如题2图，⊙O中，弦AB,CD相交于点P,若∠A=40°，则∠D的大小是 A.20° B.40° C.60 D.80° 3.抛物线y=(x-1)2-3的顶点坐标是 .0 A.（-1,-3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(1,3) D 4.下列事件中是必然事件的是 題2图 A.投掷一枚质量均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C.购买一张彩票，未中奖 D.通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 5.用配方法解一元二次方程x2-8x=-5,配方正确的是 A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=13 C.(x-4)2=11 D.(x-42=13 6.一元二次方程x2+x+1=0根的情况是 A.有实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 7.两块大小相同，含有30°角的直角三角板水平放置，如题7图示， 将△CDE绕点C旋转到△CDE的位置，使E'落在AB边上，则 旋转的角度是 A.30° B.35° C.40° D.60° 题7图 九年级数学试题第1页（共6页） 8.一条钢管放在V形架内、其截面图如题8图所示，0为钢管的圆心.如果钢管的半径为12cm, ∠MPN=60°，则N的长是 A.24n cm B.16πcm C.12πcm D.8πcm 题8图 题9图 9.如题9图，点A(2.26,-0.32),B(2.56,0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上，则 方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是 A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 10.潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位 形成集群化发展格局.某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024 年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这 两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是 A.10% B.190% C.10%或190% D.19% 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分， 11.若x=1是方程x2+x+m=0的一个根，那么m的值是 12.在平面直角坐标系中，点A(-3,6)关于原点对称的点的坐标是 13.如题13图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形.若∠A=115°，则∠C= 14.如题14图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为x轴建立平面直 角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分，则水喷出后，离地面的最大 高度是 米 15.小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如题15图，正方形是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1.若随机射击一次，则击 中阴影区域的概率约为 .（π取3) 0 x/米 题13图 题14图 题15图 九年级数学试题第2页（共6页) 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.解方程：x2-4x+3=0 17.如题17图，将AABC绕点A顺时针旋转90得到△AED,连接BE. (1)请判断△ABE的形状并说明理由； (2)若AB=4,求BE的长 1S.如题18-1图，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形 (1)请在题18-2图中利用尺规作出正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求地基的面积（答案保留根号） B D 题17图 题18-1图 题18-2图 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映.小 潮和小州想去看电影，但因时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字 的卡片：A《南京照相馆》、B《东极岛》、C《731》.现将这3张卡片（卡片的形状、大小、 质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张·卡片，记录后不放回，从中随 机再取出1张卡片 (1)求第一次抽取的卡片是《731》的概率； (2)请用画树状图或列表法求抽取的两次结果都不是《731》的概率 20.定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则 这个点就叫做这条线段的黄金分割点例如：如题20-1图，点C是线段AB上一点，AC>BC, 且AC2=BC·AB,则点C是线段AB的黄金分割点」 (1)题20-1图中，若线段AB=1,求线段AC的长 (2)如题20-2图，线段AB=2,C,D是线段AB的黄金分割点. 求证：点D是线段AC的黄金分割，点 C D C B 题20-】图 题20-2图 九年级数学试题第3页（共6页) 满州陶沈生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一某陶瓷工厂生产一款陶瓷 碗、其侧面轮廊可近似看作抛物线.某校九(1)班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时， 通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系； 为任务的综合实戳活动 〔收集素村】 素村一：如题21-1图是一个竖直放置在水平桌面MN上的陶瓷碗， 素村二：如题21-2图是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度GF=9cm,碗口宽CD=12cm,CDII MIN, 碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深GE=8cm. 【河题提出】 问题一：碗体DEC呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ [方案设计】 步骤 方案设计 ①建立适当的平面直角坐标系； 步骤1 ②求出抛物线的表达式。 ① 利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； 步骤2 ②分析计算结果，归纳总结规律 【问题解决】 (】)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体DEC所在抛物线的表达式： 3 (2)当盛水深度取6cm,3cm,二cm时，计算水面宽度并总结你得到的规律 D M 题21-」图 题21-2图 五、解答题（三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分 22.张老师在“图形的旋转·主题下设计了“三点共线”的问题背景：如题22图，已知△4BC 和△DE均为等边三角形、且D,E分别是AB,AC的中点， A 将△4DE绕点A逆时针旋转a(0°<a<180°)得到△ADE, 连接BD',CE'请你解答 D 【观察发现】 (1)当4，D',C三点共线时，α= B 题22图 【尝试探究】 (2）如题22-1图，当B,D',E三点共线时，求证：E'B平分∠AE'C 【深入探究】 (3)如题22-2图，B,A,E'三点共线：题22-3图中，C,D',E'三点共线，请你直 接写出BD'与CE'的锐角夹角的度数，并选择其中一个图形写出解题过程 E' E A A D D D D 3 D B 题22-1图 题22-2图 题22-3图 23.【实验探究】 在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标是（0,2)， y 在x轴上有一个动点M(x,0),连接AM如题23图， 完成画图步骤： ①画线段AM的垂直平分线I,: 2 ②过点M画x轴的垂线l2; ③记l,l2的交点为P. M 题23图 九年级数学试题第5页（共6页） [操作清想】 (1)取点1的横坐标分别为-2,0,2,4,6，请你按题千画图步骤在题23-1网格图中分别 描出对应的点乃、P,P,D,P(不需要尺规作图)，并用平滑的曲线顺次连接各点， 观察你画出的曲线、猜想它是哪种曲线？ [猜想论证】 (2)在你画出的曲线上任取一点G,连接GA,作GE⊥x轴，垂足为E.设点G的坐标为 (X,y),请你由GA与GE的关系求y与x满足的关系式. [类比应用】 (3)如题23-2图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标是（0，-2)，在x轴上有一个 动点B,连接AB,AB的垂直平分线DC交y轴于点D,过点D,B分别作y轴，x轴 的垂线，两条垂线交于点E,P是BE的中点，连接DP,作△DEP的外接圆⊙M, 求⊙M面积的取值范围. D P 24 B 2 0 C -2 题23-1网格图 题23-2图 、 6而t6 而】 参考答案 一、选择题（3分/题，共30分） 1 B 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. -2 12. (3, -6) 13. 65° 14. 4 15. 1/3 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：x² - 4x + 3 = 0 解： 因式分解得：(x - 1)(x - 3) = 0 ∴ x - 1 = 0 或 x - 3 = 0 解得：x₁ = 1，x₂ = 3 评分标准： 正确因式分解得4分，求出两个根各得1.5分，共7分。 17. (1) 判断△ABE的形状并说明理由 解： △ABE是等腰直角三角形。 理由：∵ △ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED ∴ AB = AE，∠BAE = 90° ∴ △ABE是等腰直角三角形。 评分标准： 判断形状正确得2分，说明理由正确得5分，共7分。 (2) 若AB = 4，求BE的长 解： 在等腰Rt△ABE中，AB = AE = 4 由勾股定理：BE = √(AB² + AE²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2 评分标准： 正确应用勾股定理得4分，计算结果正确得3分，共7分。 18. (1) 尺规作图 解： 以点O为圆心，半径4画圆；用圆规六等分圆周；顺次连接各分点得正六边形ABCDEF。 评分标准： 作图痕迹清晰、正确得4分。 (2) 求地基面积 解： 正六边形可分成6个边长为4的等边三角形 每个三角形面积 = (√3/4)×4² = 4√3 总面积 = 6×4√3 = 24√3（平方米） 评分标准： 正确分割图形得2分，计算单个三角形面积得3分，最终结果正确得2分，共7分。 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. (1) 第一次抽取《731》的概率 解： P = 1/3 评分标准： 答案正确得4分。 (2) 两次结果都不是《731》的概率 解： 画树状图：第一次非C概率2/3，第二次非C概率1/2 P = (2/3)×(1/2) = 1/3 评分标准： 树状图或列表正确得5分，计算结果正确得4分，共9分。 20. (1) 求AC的长 解： 设AC = x，则BC = 1 - x 由定义：x² = (1 - x)×1 x² + x - 1 = 0 解得：x = (√5 - 1)/2 （舍负根） 评分标准： 正确设未知数得2分，列出方程得4分，求解正确得3分，共9分。 (2) 证明点D是AC的黄金分割点 证明： ∵ AB = 2，C、D是黄金分割点 ∴ AC = BD = √5 - 1，AD = 3 - √5，CD = 2√5 - 4 计算：AD² = (3 - √5)² = 14 - 6√5 AC×CD = (√5 - 1)(2√5 - 4) = 14 - 6√5 ∴ AD² = AC×CD 故D是AC的黄金分割点。 评分标准： 正确表示各线段长得4分，完成等式证明得5分，共9分。 21. (1) 求抛物线表达式 解： 以E为原点，MN为x轴，GF为y轴建立坐标系 则D(-6,1)，C(6,1)，顶点(0,9) 设y = ax² + 9，代入(6,1)：36a + 9 = 1 得a = -2/9 ∴ 表达式为 y = -2/9 x² + 9 （-6 ≤ x ≤ 6） 评分标准： 正确建立坐标系得3分，求出系数a得4分，写出定义域得2分，共9分。 (2) 计算水面宽度并总结规律 解： 当水深6cm（y=6）：-2/9 x² + 9 = 6 ⇒ x = ±3√6/2，宽度 = 3√6 当水深3cm（y=3）：x = ±3√3，宽度 = 6√3 当水深3/2 cm（y=1.5）：x = ±(9√3)/2，宽度 = 9√3 规律： 水面宽度与盛水深度的平方根成正比，即 h₁/h₂ = (w₁/w₂)² 评分标准： 三种深度计算正确各得2分，规律总结正确得3分，共9分。 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. (1) 观察发现 解： 当A、D、C三点共线时，BD' = CE' 评分标准： 结论正确得3分。 (2) 尝试探究 证明： ∵ △ABC和△ADE均为等边三角形 ∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60° 由旋转性质：AD' = AD = AE = AE' ∠BAD' = ∠CAE' = α ∴ △ABD' ≅ △ACE' （SAS） ∴ BD' = CE'，∠ABD' = ∠ACE' ∵ B、D'、E'共线 ∴ ∠ABD' + ∠ABC + ∠CBE' = 180° ∴ ∠ACE' + 60° + ∠CBE' = 180° ∴ ∠CBE' + ∠ACE' = 120° ∴ ∠AE'B = 180° - 120° = 60° ∴ E'B平分∠AE'C 评分标准： 全等证明得5分，角度推导得5分，共13分。 (3) 深入探究 解： BD'与CE'的锐角夹角为60° 证明（选择图22-2）： 当B、A、E'共线时，∠BAE' = 180° 由旋转：∠BAD' = α ∴ ∠DAE' = 180° - α ∵ △ABD' ≅ △ACE' ∴ ∠ABD' = ∠ACE' ∴ ∠BD'C = 180° - ∠ABD' - ∠ABC = 180° - ∠ACE' - 60° ∵ ∠ACE' + ∠E'CB = 60° ∴ ∠BD'C = 180° - (∠ACE' + 60°) = 120° - ∠ACE' ∴ BD'与CE'夹角 = 180° - ∠BD'C - ∠E'CB = 60° 评分标准： 结论正确得4分，选择图形证明得6分，共13分。 23. (1) 操作猜想 解： 描点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅并连线，曲线为抛物线。 评分标准： 描点正确得4分，连线平滑得2分，猜想正确得2分，共8分。 (2) 猜想论证 解： 设G(x,y)，由题意GA = GE ∴ √[x² + (y-2)²] = |y| 平方得：x² + (y-2)² = y² 化简：x² + y² - 4y + 4 = y² ∴ x² = 4y - 4 ∴ y = x²/4 + 1 评分标准： 建立关系式得4分，化简正确得4分，共8分。 (3) 类比应用 解： 设B(x,0)，AB中垂线交y轴于D(0, (x²-4)/4) E(x, (x²-4)/4)，P为BE中点 ⇒ P(x, (x²-4)/8) △DEP外接圆半径r = DP = √[x² + ((x²-4)/8)²] 当x→0时，r最小=1；当x→∞时，r→∞，但实际有界 精确计算得：r² = x² + (x²-4)²/64 = (x⁴ + 48x² + 16)/64 最小值在x=0时，r=1；最大值当x=4时，r=2 ∴ 圆面积范围：[π×1², π×2²] = [π, 4π] 评分标准： 正确表示各点坐标得4分，建立半径表达式得5分，求出范围得5分，共14分。 学科网（北京）股份有限公司 $