2.1 认识实数 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数概念与运算，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念辨析到几何直观的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|无理数概念、实数分类、绝对值|单选1-5题直接考查定义，填空题11-14题强化基础辨析，适配新授课概念理解| |中档|大小比较、估算、数轴表示|单选6-8题结合数轴与对称，填空题15题勾股定理初步应用，培养几何直观| |提升|综合运算、拓展探究|解答题19-20题融合配方与勾股定理，实现从代数到几何的跨模块应用，发展推理意识|

2.1 认识实数 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B．3.1415 C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 4．圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 5．在实数2，0，，中，最小的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 6．估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 8．数轴上点和点表示的数如图所示，且点与点关于点对称，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 9．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 12．从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是________． 13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 14．写出一个有理数 ___，写出一个无理数 ___，其中是实数的有 ___． 15．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 三、解答题 16．在数轴上作出表示的点． 17．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 18．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 19．阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 20．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D D D A A B B 1．【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，需依据无理数（无限不循环小数）与有理数（整数、分数，含有限小数、无限循环小数）的概念，对各选项进行判断． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数）， A中是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； B中3.1415是有限小数，属于有理数，不符合题意； C中是分数，属于有理数，不符合题意； D中，4是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 3．【答案】D 【知识点】无理数、实数概念理解、实数的分类 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 4．【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此求解即可． 【详解】解：圆周率是无理数． 故选D． 5．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， ∴所给的实数中，最小的数是， 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较与相邻整数的平方根，确定其范围，进而计算的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，设点表示的数是，利用对称点到对称中心的距离相等得到． 【详解】解：点与点关于点对称， ， 设点表示的数是， ， ， 故选：A． 9．【答案】B 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理并结合题意可得，再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D， ∴， ∵点表示， ∴点D表示的数为， 故选：B． 11．【答案】2（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 先判断出的取值范围，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且a是整数， ∴a可以是2或3． 故答案为：2（答案不唯一）． 12．【答案】 【知识点】实数的分类、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 14．【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 16．【答案】 点C即为所求． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据勾股定理可知，作直角边分别为1，4的直角三角形，斜边长即为，以点O为圆心，斜边长为半径画弧与正半轴的交点即为所求，据此作图即可． 【详解】解：取，且，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示， 17．【答案】(1)②③⑤ (2)①⑥⑦ (3)④⑧ 【知识点】有理数的分类、无理数 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：②③⑤， 故答案为：②③⑤； （2）解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：①⑥⑦， 故答案为：①⑥⑦； （3）解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④⑧， 故答案为：④⑧． 18．【答案】(1) 在数轴上画出点为： (2)，； (3)，右侧． 【知识点】求一个数的绝对值、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 19．【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【知识点】实数的性质、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 20．【答案】(1)，或 (2) 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段 ，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $