第4章 必刷题2 解三角形（小题）-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理及实际应用，通过14道题构建“定理应用-解的判断-实际建模”知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|5题（1,2,3,5,8）|结合边角关系、面积公式的基本计算|从正弦/余弦定理直接应用到边角互化| |解的判断与多解|2题（1,9）|已知两边一角判断三角形解的个数|体现三角形存在性与定理适用条件的关联| |实际情境建模|2题（4,10）|坡比、航行等现实场景的几何转化|数学眼光观察现实，构建三角形模型解决问题| |综合计算与范围|5题（6,7,11,12,13,14）|恒等变换、外接圆、四边形面积及周长范围|融合三角公式与函数性质，提升数学语言表达能力|

必刷小题2　解三角形 1.D　2.C 3.D　解析:∵9sin2B=4sin2A,∴9b2=4a2,即b=, ∵cos C===, ∴=,则=. 4.A　解析:由题可知∠CAD=15°,∠CBD=30°, 则∠ACB=15°,所以BC=AB=66, 设坡角为θ,则由题可得tan θ=, 则可求得cos θ=, 在△BCD中,∠BDC=θ+90°, 由正弦定理可得 =, 即==, 解得CD=44,故宝塔CD的高为44 m. 5.C　解析:如图,在△ABD中,由正弦定理得 =, 即=, 故sin∠BAD=. 又BD<AD,则∠BAD<∠ABC, 故∠BAD只能是锐角, 故cos∠BAD=. 所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin∠BADcos+cos∠BADsin=×+×=. 6.A　解析:在△ABC中, +=, 可得2 025=, 即2 025·=, 故2 025·=, 即2 025·=, 所以2 025·=cos C, 所以2 025·=, 即4 050c2=a2+b2-c2,所以4 051c2=a2+b2, 故=4 051. 7.D　解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则AB边上的高h=asin B=a,由正弦定理得a====+. 由△ABC为锐角三角形,及B=60°, 可知30°<C<90°, 则tan C>,∴∈(0,) 所以a=+∈, 从而h∈, 因此AB边上的高的取值范围是. 8.D　解析:由D是BC的中点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC, 设CE=x,则BD=1,AE=3x,AB=2x, 在△ABC中,由正弦定理得 =, 即sin B=2sin C, 在△ABD中,由正弦定理得 =,① 在△CED中,由正弦定理得 =,② 由①②得2=·=·, 即AD=4DE. 在△ABD中,由余弦定理得 4x2=1+AD2-2ADcos α =1+16DE2-8DEcos α,③ 在△CDE中,由余弦定理得 x2=1+DE2-2DEcos α,④ 由③④得4+4DE2=1+16DE2, 解得DE=,AD=2, 则x2=1+-2×cos α=-cos α. 在△ADE中,由余弦定理得9x2=AD2+DE2-2AD·DE·cos(π-2α) =4++2×2×cos 2α =+2cos 2α=4cos2α+, 可得-9cos α=4cos2α+, 解得cos α=(-3舍去). 9.BCD　解析:根据题意,A中,由正弦定理=⇒sin B=×sin A=, 因为<<,所以角B在和上各有一个解,并且这两个解与角A的和都小于π,都是△ABC对应的解.所以A不满足题意; B中,根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B, 即16=9+c2-c, 解得c=5或c=-(舍), 所以只有1个解,满足题意; C中,条件为边角边,根据余弦定理可以求得唯一的c边,所以有唯一解,满足题意; D中,由正弦定理=⇒sin A =×sin B=, 因为a<b, 所以角A只有1个解,满足题意. 10.AC　解析:由题意可知∠ADB=60°, ∠BAD=75°, ∠CAD=30°,所以B=180°-60°-75°=45°,AB=12,AC=8, 在△ABD中, 由正弦定理得=, 所以AD==24(n mile),故A正确; 在△ACD中,由余弦定理得 CD= = =8(n mile),故B错误; 因为CD=AC, 所以∠CDA=∠CAD=30°, 所以灯塔C在D处的南偏西30°,故C正确; 由∠ADB=60°,可知D在灯塔B的北偏西60°,故D错误. 11.BC　解析:对于A,由于a=3,b=3,B=30°, 利用正弦定理=, 解得sin A=, 由于0°<A<150°,所以A=60°或120°,故A错误; 对于B,当A>B时,a>b, 根据正弦定理=, 可得sin A>sin B,故B正确; 对于C,若<cos A, 则c<bcos A,故2c2<2bccos A, 结合余弦定理cos A=,即2bccos A=b2+c2-a2, 得a2+c2<b2, 故△ABC为钝角三角形,故C正确; 对于D,若a=,b=3, 且c2+ab=a2+b2, 利用余弦定理可得ab=2abcos C, 解得cos C=, 因为0°<C<180°,所以C=60°, 所以S△ABC=absin C=××3×=,故D错误. 12.　12π　解析:由cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C, 可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sin Asin C, 即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C, 则由正弦定理得ac=a2+c2-b2, 由余弦定理得cos B==, 又因为B∈(0,π),可得B=, 设△ABC外接圆的半径为R, 则R==2, 所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π. 13.8　解析:因为AB=6,AD=CD=4,BC=2,且A,B,C,D四点共圆, 所以B+D=π, 即cos B+cosD=0, 在△ABC中,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=36+4-2×6×2cos B=40-24cos B, 在△ACD中,由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+16+2×4×4cos B =32+32cos B, 可得40-24cos B=32+32cos B, 解得cos B=,cosD=-, 所以sin B=sinD=, 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =AB·BCsin B+AD·CDsin D =×6×2×+×4×4×=8. 14.(2,3]　解析:由正弦定理,得 ==, 即===2, ∴b=2sin B,c=2sin C, ∴△ABC的周长为 L=a+b+c =+2sin B+2sin C =+2sin B+2sin =+3sin B+cos B =+2sin, 又B∈,∴B+∈, ∴sin∈, ∴L∈(2,3]. 即△ABC的周长的取值范围为(2,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 必刷小题2　解三角形 (分值:73分)　(限时训练:100分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、单项选择题(每小题5分,共40分) 1.(2025·江门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为 (　　) A.45° B.135°或45° C.15° D.105°或15° 2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,B=,△ABC的面积为,则b等于 (　　) A.2 B.4 C.2 D. 3.(2024·南京模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知9sin2B=4sin2A,cos C=,则等于 (　　) A. B. C. D. 4.宝塔山是延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡比为∶3(坡比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,则宝塔CD的高为 (　　) A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m 5.在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为 (　　) A. B. C. D. 6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知+=,则等于 (　　) A.4 051 B.4 050 C.4 048 D.4 047 7.在锐角△ABC中,B=60°,AB=1,则AB边上的高的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 8.(2025·长沙模拟)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC上的点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,∠ADB=∠EDC=α,则cos α等于 (　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是 (　　) A.a=3,b=4,A= B.a=3,b=4,cos B= C.a=3,b=4,C= D.a=3,b=4,B= 10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离12 n mile;在A处看灯塔C在货轮北偏西30°,距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是 (　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30° D.D在灯塔B的北偏西30° 11.(2024·广州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.则下列命题正确的是 (　　) A.若a=3,b=3,B=30°,则A=60° B.若A>B,则sin A>sin B C.若<cos A,则△ABC为钝角三角形 D.若a=,b=3,c2+ab=a2+b2,则△ABC的面积为3 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C,且b=6,则B=　　　　,△ABC外接圆的面积为　　　　.  13.(2025·成都模拟)平面四边形ABCD中,AB=6,AD=CD=4,BC=2,若A,B,C,D四点共圆,则该四边形的面积为　　　　.  14.在△ABC中,a=,A=,则△ABC的周长的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $