第3章 3.5 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(提升课)（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦导数应用核心题型，通过切线、恒成立、单调性等问题，系统提炼导数几何意义、最值分析及参数转化方法，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线问题|1|导数几何意义+方程联立|导数几何意义→切线方程→两曲线相切条件| |恒成立问题|1|分离参数+导数求最值|函数不等式→分离参数→构造函数求最值| |单调性应用|1|导数符号分析+参数范围|导数与单调性→参数恒成立→二次函数最值| |存在性问题|1|最值比较+存在性转化|存在性命题→最值比较→导数分析单调性|

[对应学生用书P339] 说明：本试卷共32分． 1．(15分)(2025·广东佛山二模)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝1－. (1)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a； (2)若f(x)图象恒在g(x)图象的上方，求实数a的取值范围． 解析　(1)由题设f′(x)＝，则f′＝1，则切线为y＝x－1， 由g′(x)＝，令g′(x)＝1，可得x＝且a>0， 则g＝1－，所以切线为y－(1－)＝x－，则y＝x＋1－2， 曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝g(x)也相切，则1－2＝－1⇒a＝1. (2)由f(x)图象恒在g(x)图象的上方，则ln x－1＋>0恒成立， 所以a>x－x ln x在(0，＋∞)上恒成立， 对于y＝x－x ln x，则y′＝－ln x， 当0<x<1时，y′>0，y＝x－x ln x在(0，1)上单调递增， 当x>1时，y′<0，y＝x－x ln x在(1，＋∞)上单调递减， 所以ymax＝1－1×ln 1＝1，故a>1. 即实数a的取值范围为(1，＋∞). 2．(17分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax. (1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数g(x)＝，对∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立， 而y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3， 所以a≥－3，所以a的最小值为－3. (2)“对∀x1∈，∃x2∈， 使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于“当x∈时，f′(x)max≤g(x)max”． 因为f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增， 所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a. 而g′(x)＝， 由g′(x)>0，得x<1； 由g′(x)<0，得x>1， 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以当x∈时，g(x)max＝g(1)＝. 由8＋a≤，得a≤－8， 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $