重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 该专项聚焦导数不等式恒（能）成立问题，构建“基础方法-进阶技巧-综合应用”三级体系，以题型为载体系统提炼分离参数、分类讨论等9类方法，逻辑递进，适配高考压轴题突破，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合|9题型（含例题+变式）|分离参数、分类讨论、构造函数等9类核心解法|从单变量恒成立到双变量/双函数综合问题，结合洛必达法则拓展解题边界，形成完整思维链|

重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 3 【题型2 利用导数研究能成立问题】 5 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 9 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 12 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 16 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 19 【题型7 洛必达法则】 25 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 30 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 35 1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题 导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为选择题、解答题中的压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 考点1 不等式恒（能）成立问题 知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 考点2 洛必达法则 知识点3 洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则. 1．洛必达法则 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 2．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 3．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 【注意】： 1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立. 2．洛必达法则可处理型求极限问题. 3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. 4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例1】（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【解答过程】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 故选：A. 【变式1-1】（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】记，由，可知只要时恒成立即可，从而将问题转化为在恒成立， 令，结合导数求出的最值即可求解. 【解答过程】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D. 【变式1-2】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值. 【解答过程】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 故选：B. 【变式1-3】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【解答过程】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故， 故选：D. 【题型2 利用导数研究能成立问题】 【例2】（2026·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【解答过程】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（2026·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【解答过程】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 【变式2-2】（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【解答过程】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 【变式2-3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在 处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，的递减区间为，递增区间为； (2). 【解题思路】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间； （2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，且，即， 所以，当 时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为，即 处取得极小值，满足， 综上，，的递减区间为，递增区间为； （2）由题设，即在上能成立， 令，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由时，， 当时，， 在上单调递增， 当 时，， 在上单调递减， 所以，则. 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，分离参数可得，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，从而可得出当时，恒成立，实数的最大值，再验证对任意的恒成立即可. 【解答过程】当时，， 令，，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 所以当时，恒成立，则实数的最大值为， 下面证明当时，对任意的恒成立， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，对任意的恒成立， 所以的最大值为． 故选：D． 【变式3-1】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【解答过程】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 故选：C. 【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【解答过程】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是. 【变式3-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设， ， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又 ， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选：D. 【变式4-1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【解答过程】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D. 【变式4-2】（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【解题思路】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【解答过程】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导求切点坐标，进而得到函数在该点的切线； （2）求导分析函数单调性，得到函数最小值； （3）针对取整函数分段讨论，利用各区间内的最小值，将恒成立问题转化为求的上界. 【解答过程】（1），   ，           在处的切线方程是. （2）由（1）知，  ，   则在上，，单减；在上，，单增； .        （3）当，，而，此时恒成立； 当，时，而，，此时不成立； 当，时，，此时恒成立 ； 时，，此时恒成立. 下证：时，恒成立. 令， ， 所以在上单调递增，         ， 因为 所以，即，     综上. 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例5】（2026·广东广州·模拟预测）对，不等式恒成立，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数求出，再构造函数，利用导数求出的最大值可得答案. 【解答过程】令，则， 当时，， 当时，，在上单调递增， 无最值，当 时，,此时不恒成立. 当时，令，得， 时，，在上在单调递增， 当时，，在上单调递减， 可得， 所以，， 令，则， 由得，单调递增， 由得，单调递减， 可得，所以最大值为. 综上所述，所以最大值为. 故选：C. 【变式5-1】（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将问题转化为对任意的，，因为，令，，则问题转化为对任意的，恒成立，构造函数，，求导，利用导数分析的单调性，求出最大值即可求解． 【解答过程】对任意的恒成立，即对任意的，恒成立， ， 令，，，则对任意的，恒成立， 令，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以的最小值为. 故选：A. 【变式5-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【解题思路】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【解答过程】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 【变式5-3】（2026·湖南永州·三模）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． (2) 【解题思路】（1）对函数求导，再分类讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数恒成立，分与讨论求解即可； 【解答过程】（1），定义域为R，， 当时，恒成立，故函数在R单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值． 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． （2）， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，，， ，， 令，， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，与满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立． 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【解答过程】（1）由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； （2）证明：设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 【变式6-1】（2026·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【解答过程】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）证明：当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）根据偶函数的定义列式求解，即可得到的值；先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【解答过程】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）①， 因为为偶函数，则，即， 化简得，此式对均成立，则，即, 所以的值为. ②证明：可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 【变式6-3】（2026·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性即可； （3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式. 【解答过程】（1）当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． （2）证明： 在恒成立，在上单调递增. （3）证明：令，则原不等式等价于， 令， 则 令， 则， ， 由（2）知， ， 在恒成立， 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， . 【题型7 洛必达法则】 【例7】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据,  求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解. （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可. 【解答过程】（1）解： ,   ； 函数在处取得极值，    ； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； （2）不等式恒成立可化为， 即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令， 则； 令， 则； 令， 则； 得在是减函数， 故， 进而， 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值， 当时，没有意义，由洛必达法得， ． 【变式7-1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）利用单调性与导数的关系把问题转化为恒成立问题，再分离参数，利用导数求出函数最大值，进而求出取值范围即可. （2）利用分离参数法求出的取值范围，进而得到最大值即可. 【解答过程】（1）因为在上单调递减， 所以，即在上恒成立． 令，则． 令，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围是． （2）由题意得, ①当时，，不等式恒成立，; ②当时，分参得， 设,不等式变为,设, 所以，令，可得， 当时，恒成立，则在上单调递增， 而，则，即， 得到函数在上单调递增，所以， 又题意可知，令,则， 当时，,所以 ， 令，由导数的定义得， 故=，所以,即的最大值是1. 【变式7-2】（25-26高二下·全国·期末）若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【答案】. 【解题思路】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围. 【解答过程】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 【变式7-3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明：在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得； （2）多次构造辅助函数，利用导数判断相应函数的单调性，进而证明，在上单调递增； （3）分离参数转化为恒成立，由（2）的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数，利用导数分析其最小值，即可求得实数的最大值. 【解答过程】（1）证明：由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． （2）证明：设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. （3）法一：要使对任意，都有，等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 【例8】（2026·重庆·三模）对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】双变量不等式恒成立，先对一个变量求导分析求最值，再对另一个变量分析，即可得到参数范围. 【解答过程】原不等式对，恒成立，移项整理得： 我们先将看成常量，把不等式看作关于的函数， 令，， 求导得：， 当时， 因为，，所以， 即在上单调递减， 又因为当时，，所以不可能恒成立，即被舍去； 当时， 由时，，则在上单调递减， 由时，，则在上单调递增， 所以， 要对，不等式恒成立， 则，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 【变式8-1】（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【解答过程】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即 上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 【变式8-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【解题思路】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【解答过程】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又 ，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 【变式8-3】（2026·四川成都·一模）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【解题思路】（1）对进行求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）对进行求导，利用导数与函数单调性的关系求出的单调性，利用单调性即可求出最值； （3）将不等式恒成立转化为，求出在的最小值和在的最大值，解不等式即可求出答案. 【解答过程】（1）当时，，， ，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 所以， 因为，所以， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递增， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为. （3）， 当，， 令， 因为，则， 则在上单调递增， 又因为时，，， 则，使得，即，可化为 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 则， 即. 由（2）知，当时，， 若对任意，不等式恒成立， 则，即， 令，，则函数在上单调递增， 又因为，所以的解集为， 所以实数的取值范围为. 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 【例9】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数求解函数最值，进而得到参数的范围 【解答过程】由题意，即， 令， 求导得， 令， 故在单调递增，且， 令，解得（舍）或， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 在处取得极小值（也是最小值）：， 所以． 故选：A． 【变式9-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【解答过程】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以. 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则. 故选：B. 【变式9-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)若对于任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】(1)参变分离，通过求导计算新函数最小值，得到a的取值范围； (2)构造对称函数把转化为落入增区间，替换等量函数值后借助单调性完成证明. 【解答过程】（1）由题，因为，所以， 令，则，当时解得， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，则. （2）证明：由题意，，令，则，即在单调递减，在单调递增， 由有两个零点得，设， 则有, 当时，，单调递减，则， 即， 因为，所以， 因为，所以，即都在的单增区间， 所以. 【变式9-3】（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数，，当时， (1)求在处的切线方程； (2)求证：； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用导数来求切线方程即可； （2）利用分析法来证明不等式，通过构造函数求导证明即可； （3）利用不等式的放缩法，结合导数来判断单调性求最值即可. 【解答过程】（1）求导得：， 则，， 故在处的切线方程为，即. （2）证明：①当时，要证明：， 只需要证明：， 令，则. 当时，，则在上是增函数， 即，则， 所以； ②当时，要证明：， 只需要证明：，即证明， 令，则. 当时，，则在单调递增， 所以，即，所以， 综上可知：； （3）设 . 令，则， 令，则. 当时，， 可得是上的减函数，所以， 故在单调递减，所以， 即 当时，在上恒成立. 下面证明当时，在上不恒成立. 令， .则 当时，，故在上是减函数， 所以. 当时，. 所以存在，使得，此时，. 即在不恒成立. 综上，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围. 【解答过程】由得 因为，所以， 令， 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 故选：A. 2．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式可化为，结合时，，条件可转化为对恒成立，同构变形可得对恒成立，利用导数证明为增函数，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数的最大值，由此可得结论. 【解答过程】不等式 ， 由已知存在，使得对恒成立， 当时，，，所以， 由已知存在，使得对恒成立， 所以对恒成立， 不等式 ， 所以对恒成立， 因为，故， 令，则，故在上单调递增， 因此对恒成立，即对恒成立， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数的最大值为，故. 故选：B. 3．（2026·浙江宁波·三模）已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作差得，又，可得，作差得，再分，，结合参变分离求范围即可． 【解答过程】， 令，，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ，即，则， ， 又时，，，即，， 时，，即， 令，，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，则， 综上，． 故选：A. 4．（2026·湖北黄冈·二模）已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，利用导数分析函数的单调性、最值及零点（记为)，由关于x的不等式恒成立，函数的零点恰好是的零点，结合韦达定理对化简，可得，构造函数，利用导数分析单调性，求得其最大值即可. 【解答过程】设，则. 令，得. 因为是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最小值为. 因为，，且当时，， 所以有两个不同的零点，记为. 又关于x的不等式恒成立，所以恰为函数的零点. 即. 所以. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即的最大值为 故选：C. 5．（2026·重庆江北·模拟预测）记函数的导函数为，已知，且对，都有．若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】引入函数，由导数确定单调性，题设不等式化为关于的不等式，然后由函数单调性变形，再分离参数，转化为求函数的最值. 【解答过程】设，， 则， 因为，所以，所以是减函数， 不等式即为，即为， 所以，由，则， 由题意不等式在上有解，所以. 故选：C. 6．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【解答过程】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 故选：C. 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化条件得，则，令，利用导数求得的最大值可得解. 【解答过程】由题意，，，， 即，则，， 令， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 作函数的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，， ∴， 设，，则，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 故选：C. 8．（2026·安徽合肥·三模）已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知确定是增函数，从而得是增函数，利用单调性，不等式化为，再利用函数的单调性，不等式转化为，分离参数得，然后利用导数求得函数的最小值即得结论. 【解答过程】在中令得，所以， 因为函数满足，都有， 所以时，，所以是增函数，所以是增函数， ， 不等式即为， 所以，即， 设，显然它是增函数，不等式为， 所以，恒成立，，令， 则，恒成立， 令，则， 时，，是减函数，时，，是增函数， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·江苏·二模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【解答过程】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 故选：BC. 10．（2026·海南三亚·一模）已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立， 则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. 故选：AB. 11．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数（参考数据：），下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为6 B．若恒成立，则的取值范围为 C．若有两个不同实数根，则 D．若恒成立，则的最大整数值为2 【答案】BCD 【解题思路】对于A，求导，分析函数的单调性，进而求解判断即可；对于B，转化问题为恒成立，令，设，，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可；对于C，令，转化问题为有两个不同实数根，且，利用导数分析其单调性可得，，设，，利用导数分析其单调性可得，进而求解判断即可；对于D，令，转化问题为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可. 【解答过程】对于A，当时，， 则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，无最小值，故A错误； 对于B，由，则，即， 令，即， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，故B正确； 对于C，由，， 令，则，， 则有两个不同实数根， 等价于有两个不同实数根，且， 而，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为时，，时，， 则，， 设，， 则， 当时，，则， 所以在上单调递减，则， 由，则， 则， 又，且在上单调递增， 所以，则，故C正确； 对于D，由，则，， 则，则， 令，则， 设，则， 因为， 由于，则， 所以， 且函数在上单调递增， 所以，使得，即， 则时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 则， 因为函数在上单调递增，则， 则， 由恒成立，则， 则的最大整数值为2，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·云南·三模）已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【解答过程】由题知，原不等式在上恒成立⇔在上恒成立， 即在上恒成立，若设， 有，令， 有， ，易得， 所以在上递减；在上递增 故， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】构造函数，利用函数的导数，研究函数的单调性，从而求得函数的最值，根据不等式恒成立求得实数的取值范围. 【解答过程】要使得对任意,均有不等式成立，即恒成立， 令函数，则导数， 当时，导数，则函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值， 需满足，∴，即； 当时，函数，当时，，满足条件； 当时，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，端点值，， 所以令，所以，所以； 当时，在上单调递减，值域为，满足题意； 当时，函数在上单调递减，最小值，不满足题意. 综上所述：. 故答案为：. 14．（2026·河南驻马店·模拟预测）若对于，，使得不等式成立，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】换元，化不等式为 ，令为不等式左侧表达式（即）的最小值，再求最大值即为最小值，分段讨论与 的最小值点. 【解答过程】对不等式左边整理得 令（），则，得在处取最小值，故， 不等式左边化为. 对（）求最小值： 若：，单调递增，最小值为， 因此左边最小值为； 若：在处取最小值， 因此左边最小值为. 由题意可知，对任意都有成立，因此的最小值为的最大值. 对 ，，. 令得. 在上，在上，故最大值为； 对，，求导得，单调递减，且. 因此的最大值为，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【解题思路】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【解答过程】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 18．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立. 19．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【解答过程】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 3 【题型2 利用导数研究能成立问题】 4 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 4 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 5 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 6 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 7 【题型7 洛必达法则】 8 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 9 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 10 1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题 导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为选择题、解答题中的压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 考点1 不等式恒（能）成立问题 知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 考点2 洛必达法则 知识点3 洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则. 1．洛必达法则 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)及； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0； (3)，那么. 2．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 3．用洛必达法则处理型函数的步骤： (1)分离变量； (2)出现型式子； (3)运用洛必达法则求值. 【注意】： 1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立. 2．洛必达法则可处理型求极限问题. 3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. 4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例1】（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用导数研究能成立问题】 【例2】（2026·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【变式2-3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在 处取得极值． (1)求m的值及的单调区间； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例5】（2026·广东广州·模拟预测）对，不等式恒成立，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式5-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【变式5-3】（2026·湖南永州·三模）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，求证：对恒成立． 【变式6-1】（2026·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【变式6-3】（2026·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【题型7 洛必达法则】 【例7】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； 【变式7-2】（25-26高二下·全国·期末）若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【变式7-3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明：在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】 【例8】（2026·重庆·三模）对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】（2026·四川成都·一模）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】 【例9】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)若对于任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 【变式9-3】（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数，，当时， (1)求在处的切线方程； (2)求证：； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实数b的范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·三模）已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·二模）已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆江北·模拟预测）记函数的导函数为，已知，且对，都有．若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·三模）已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·江苏·二模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·海南三亚·一模）已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 11．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数（参考数据：），下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为6 B．若恒成立，则的取值范围为 C．若有两个不同实数根，则 D．若恒成立，则的最大整数值为2 三、填空题 12．（2026·云南·三模）已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________. 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是___________. 14．（2026·河南驻马店·模拟预测）若对于，，使得不等式成立，则实数的最小值为___________. 四、解答题 15．（2026·广东东莞·三模）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 16．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 17．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 19．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $