25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过情境引入引导学生自主推导两根之和与积，前置补偿复习求根公式、判别式等旧知，搭建学习支架连接新旧知识。 导学案注重探究过程，小组互查质疑培养推理意识，强调Δ≥0和a≠0的前提条件，整体代入变形训练发展抽象能力，分层作业满足不同需求，助力学生用数学思维解决问题，提升应用意识。

25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 经历一元二次方程根与系数关系的探究推导过程，理解韦达定理的由来。 2. 掌握当 Δ≥0 时，一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 两根之和、两根之积的关系式。 3. 会利用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积、代数式的值。 4. 能由两根简单构造一元二次方程，体会整体代入、降次转化的数学思想。 学习重点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并进行简单计算。 学习难点：理解根与系数关系成立的前提条件 Δ≥0；整体变形求代数式的值；区分二次项系数不为 1 的情况。 【前置补偿】 1. 写出一元二次方程求根公式：________________________________________ 2. 一元二次方程有实数根的前提条件是什么？ 3. 一元二次方程一般形式是什么？ 【学生自学】 （阅读教材 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系部分） 1、 情境引入 思考：对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)，当 Δ≥0 时，方程两个根为 x₁= ，x₂= 请你尝试计算两根之和 x₁+x₂，两根之积 x₁・x₂ 计算： x₁+x₂ = + = _________ x₁·x₂ = = + = _________ 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照推导步骤检查同伴填写： ①根式合并、平方差公式运用是否正确；②是否记住关系成立的条件 Δ≥0； ③是否注意 a≠0；④符号处理有没有出错。 把发现的漏洞、错误写在下面： ★★特殊情况：当二次项系数 a=1 时，方程 x²+px+q=0，若 Δ≥0，两根 x₁，x₂，则 x₁+x₂= ， x₁·x₂= 。 2、 知识点学习 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)，当________时，方程的两个实数根是 x₁、x₂，则 x₁+x₂ = ____________， x₁・x₂ = ____________。 思考：如果 Δ＜0，方程没有实数根，还能使用根与系数的关系吗？为什么？ 2. ★★常见和积变形（整体代入） (1) x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − ____________ (2) 1/x₁ + 1/x₂ = ____________ (3) (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² − ____________ 思考：使用根与系数关系做题，第一步要做什么？ 3、 例题自学 例 5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x₁，x₂的和与积： (1) x²−6x−15=0； 解：∵a= ，b= ，c=____。 ∴x₁+x₂= ， x₁·x₂= 。 (2) 3x²+7x−9=0； 解：∵a= ，b= ，c=____。 ∴x₁+x₂= ， x₁·x₂= 。 (3) 5x−1=4x²。 解：先整理为一般形式：________________________ ∵a= ，b= ，c=____。 ∴x₁+x₂= ， x₁·x₂= 。 4、 自学小测 不解方程，求下列方程两个根 x₁，x₂的和与积。 (1) x²−3x=15； (2) 3x²+2=1−4x； (3) 5x²−1=4x²−x； (4) 2x²−x+2=3x+1； 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 使用根与系数关系，为什么要先把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)？ 2. 题目没有说明方程有实数根，直接套用 x₁+x₂、x₁x₂，会有什么隐患？ 3. 已知两根，如何写出对应的一元二次方程？举简单例子说明。 4. 若已知 x₁、x₂是方程两根，求 x₁²+x₂²，能不能分别求出 x₁、x₂再代入？为什么常用整体代入？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】 🔔易错警示 1. 根与系数关系使用前提：a≠0 且 Δ≥0，方程必须存在实数根，无实根不能用韦达定理。 2. 计算 x₁+x₂是 −b/a，负号极易漏掉，不要写成 b/a。 3. 必须先化成一般形式，再识别 a、b、c，注意每一项的正负符号。 4. 代数式变形优先整体代入，不一定要解出根再计算。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 韦达定理：ax²+bx+c=0 (a≠0)，Δ 0，两根 x₁、x₂，则 x₁+x₂= ，x₁x₂= 。 2. a=1 简化形式：x²+px+q=0，则 x₁+x₂= ，x₁x₂= 。 3. 常用变形：x₁²+x₂²= ； 1/x₁+1/x₂= ； (x₁−x₂)²= 。 4. 数学思想：整体代入思想，降次转化思想。 【课内自测】 1. 已知方程 2x²−6x+3=0 的两根为 x₁、x₂，不解方程求： (1) x₁+x₂= ； x₁·x₂= (2) 1/x₁ +1/x₂= (3) x₁²+x₂²= 2. 已知方程 x²−4x+1=0 两根 x₁、x₂，求 (x₁+1)(x₂+1) 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不解方程，直接写出下列方程两根 x₁，x₂的和与积。 (1) x²−5x−10=0 (2) 2x²+7x+1=0 2.方程 x²−3x+2=10，求 x₁+x₂，x₁x₂。 B 组【能力提升・选做】 1. 已知方程 5x²+x−5=0 两根 x₁、x₂，不解方程求 1/x₁ + 1/x₂的值。 2.已知一元二次方程 x²+x=5x+6 两根 x₁、x₂，求 x₁²+x₂²。 C 组【拓广探索・培优】 1. 已知关于 x 的一元二次方程 7x²−5=x+8，先化为一般形式，求两根之和、两根之积。 2.无论 p 取何值，方程 (x−3)(x−2)−p²=0 总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由。 3.(拓展) 因为 x³−8x²+19x−12=(x−1)(x−3)(x−4)，所以 1,3,4 是一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的三个根，计算 1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的系数有什么关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 经历一元二次方程根与系数关系的探究推导过程，理解韦达定理的由来。 2. 掌握当 Δ≥0 时，一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 两根之和、两根之积的关系式。 3. 会利用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积、代数式的值。 4. 能由两根简单构造一元二次方程，体会整体代入、降次转化的数学思想。 学习重点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并进行简单计算。 学习难点：理解根与系数关系成立的前提条件 Δ≥0；整体变形求代数式的值；区分二次项系数不为 1 的情况。 【前置补偿】 1. 写出一元二次方程求根公式：x= (Δ≥0) 2. 一元二次方程有实数根的前提条件是什么？ 答：a≠0，且判别式 Δ=b²−4ac≥0。 3. 一元二次方程一般形式是什么？ 答：ax²+bx+c=0 (a≠0)。 【学生自学】 （阅读教材对应 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系部分） 1、 情境引入 思考：对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)，当 Δ≥0 时，方程两个根为 x₁= ，x₂= 请你尝试计算两根之和 x₁+x₂，两根之积 x₁・x₂。 计算： x₁+x₂ = + = (−2b)/(2a) = −b/a x₁·x₂ =× =4ac/(4a²)=c/a 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照推导步骤检查同伴填写： ①根式合并、平方差公式运用是否正确；②是否记住关系成立的条件 Δ≥0； ③是否注意 a≠0；④符号处理有没有出错。 把发现的漏洞、错误写在下面： 参考提示：常见错误：漏掉负号，忘记 Δ≥0 前提条件，平方差公式计算出错。 1. 特殊情况：当二次项系数 a=1 时，方程 x²+px+q=0，若 Δ≥0，两根 x₁，x₂， 则 x₁+x₂= −p ， x₁・x₂= q。 二、知识点学习 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)，当Δ≥0时，方程的两个实数根是 x₁、x₂，则 x₁+x₂ = −b/a， x₁·x₂ = c/a。 思考：如果 Δ＜0，方程没有实数根，还能使用根与系数的关系吗？为什么？ 答：不能，没有实数根，不存在实数 x₁、x₂，韦达定理是针对实数根。 2. 常见和积变形（整体代入） (1) x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ (2) 1/x₁ + 1/x₂ = x₁+x₂ / x₁x₂ (3) (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ 思考：使用根与系数关系做题，第一步要做什么？ 答：把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)，判断 Δ≥0。 2、 例题自学 例 5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x₁，x₂的和与积： (1) x²−6x−15=0； 解：a=1，b=−6，c=−15。 x₁+x₂= 6， x₁・x₂= −15。 (2) 3x²+7x−9=0； 解：a=3，b=7，c=−9。 x₁+x₂= −7/3， x₁・x₂= −3。 (3) 5x−1=4x²。 解：先整理为一般形式：4x²−5x+1=0 a=4，b=−5，c=1。 x₁+x₂= 5/4， x₁·x₂= 1/4。 四、自学小测 不解方程，求下列方程两个根 x₁，x₂的和与积。 (1) x²−3x=15； 整理：x²−3x−15=0，x₁+x₂=3，x₁x₂=−15 (2) 3x²+2=1−4x； 整理：3x²+4x+1=0，x₁+x₂=−4/3，x₁x₂=1/3 (3) 5x²−1=4x²−x； 整理：x²+x−1=0，x₁+x₂=−1，x₁x₂=−1 (4) 2x²−x+2=3x+1； 整理：2x²−4x+1=0，x₁+x₂=2，x₁x₂=1/2 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 使用根与系数关系，为什么要先把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)？ 2. 题目没有说明方程有实数根，直接套用 x₁+x₂、x₁x₂，会有什么隐患？ 3. 已知两根，如何写出对应的一元二次方程？举简单例子说明。 4. 若已知 x₁、x₂是方程两根，求 x₁²+x₂²，能不能分别求出 x₁、x₂再代入？为什么常用整体代入？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 根与系数关系使用前提：a≠0 且 Δ≥0，方程必须存在实数根，无实根不能用韦达定理。 2. 计算 x₁+x₂是 −b/a，负号极易漏掉，不要写成 b/a。 3. 必须先化成一般形式，再识别 a、b、c，注意每一项的正负符号。 4. 代数式变形优先整体代入，不一定要解出根再计算。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 韦达定理：ax²+bx+c=0 (a≠0)，Δ≥0，两根 x₁、x₂，则 x₁+x₂=−b/a ，x₁x₂=c/a。 2. a=1 简化形式：x²+px+q=0，则 x₁+x₂=−p，x₁x₂=q。 3. 常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂；(x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂。 4. 数学思想：整体代入思想，降次转化思想。 【课内自测】 1. 已知方程 2x²−6x+3=0 的两根为 x₁、x₂，不解方程求： (1) x₁+x₂= 3； x₁・x₂= 3/2 (2) 1/x₁ +1/x₂ 解：原式 =(x₁+x₂)/(x₁x₂)=3 ÷ (3/2)=2 (3) x₁²+x₂² 解：原式 =(x₁+x₂)²−2x₁x₂ = 3²−2×(3/2)=9−3=6 2. 已知方程 x²−4x+1=0 两根 x₁、x₂，求 (x₁+1)(x₂+1) 解：原式 = x₁x₂+x₁+x₂+1 x₁+x₂=4，x₁x₂=1 原式 = 1+4+1=6 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不解方程，直接写出下列方程两根 x₁，x₂的和与积。 (1) x²−5x−10=0 解：x₁+x₂=5，x₁x₂=−10 (2) 2x²+7x+1=0 解：x₁+x₂=−7/2，x₁x₂=1/2 2. 方程 x²−3x+2=10，求 x₁+x₂，x₁x₂。 解：整理得 x²−3x−8=0，x₁+x₂=3，x₁x₂=−8 B 组【能力提升・选做】 1. 已知方程 5x²+x−5=0 两根 x₁、x₂，不解方程求 1/x₁ + 1/x₂的值。 解：x₁+x₂=−1/5 ，x₁x₂=−1 原式 =(x₁+x₂)/x₁x₂ = (−1/5) ÷ (−1)=1/5 2. 已知一元二次方程 x²+x=5x+6 两根 x₁、x₂，求 x₁²+x₂²。 解：整理 x²−4x−6=0，x₁+x₂=4，x₁x₂=−6 原式 =(x₁+x₂)²−2x₁x₂=16−2×(−6)=28 C 组【拓广探索・培优】 1. 已知关于 x 的一元二次方程 7x²−5=x+8，先化为一般形式，求两根之和、两根之积。 解：整理：7x²−x−13=0， a=7，b=−1，c=−13 x₁+x₂=1/7，x₁x₂=−13/7 2. 无论 p 取何值，方程 (x−3)(x−2)−p²=0 总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由。 解：整理得 x²−5x+6−p²=0 Δ=(−5)²−4×1×(6−p²)=25−24+4p²=1+4p² ∵p²≥0， ∴Δ=1+4p²>0 恒成立，无论 p 取何值，方程总有两个不相等实数根。 由求根公式：x=(5±√(1+4p²))/2。 3. (拓展) 因为 x³−8x²+19x−12=(x−1)(x−3)(x−4)，所以 1,3,4 是一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的三个根，计算 1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x³−8x²+19x−12=0 的系数有什么关系？ 解：1+3+4=8；1×3+3×4+4×1=19；1×3×4=12。 关系：三次方程 x³−8x²+19x−12=0，三次项系数为 1， 三根之和等于二次项系数的相反数， 两根两两乘积之和等于一次项系数， 三根之积等于常数项的相反数。 学科网（北京）股份有限公司 $