25.3 实际问题与一元二次方程 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为运用一元二次方程解决传播、增长率、几何面积问题。通过前置补偿复习解方程方法与应用题步骤，以情境引入例题搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生掌握“审设列解验答”完整步骤。 特色在于分层设计自学、小组互查、合作学习及分层作业，突出数学建模思想，培养抽象能力、推理意识与模型意识。通过双重检验根的实际意义，助力学生用数学眼光观察问题、用数学思维解决问题，提升分析与应用能力。

25.3 实际问题与一元二次方程 导学案【原卷版】 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 会分析传播问题、增长率下降率问题、几何图形面积问题中的数量关系，能列一元二次方程解决教材中的实际应用题。 2. 掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答，会检验方程的根是否符合实际意义，会舍去不合题意的解。 3. 体会数学建模思想，把现实实际问题转化成一元二次方程模型，提升分析问题、解决问题的能力。 4. 能结合生活实际，对计算得到的方程根做现实取舍。 学习重点：读懂题意，找准等量关系，列一元二次方程解决传播、增长率、面积类实际问题。 学习难点：准确提取题目等量关系；理解增长率、下降率模型；检验根的实际意义并合理取舍。 【前置补偿】 1. 解一元二次方程有哪些解法？ 2. 列方程解应用题的一般步骤是什么？ 3. 一元二次方程求出的两个根一定都符合现实情境吗？ 【学生自学】 （阅读教材 25.3 实际问题与一元二次方程） 1、 情境引入 例题 1.是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 分析：设三边长依次为 x，x+1，x+2（x 为正整数），根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，则最长边 x+2 为斜边。 列方程：________________________________________。 解方程，得：x₁= ，x₂= 。 检验：________________________________________________。 答：________________________________________________。 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面步骤检查同伴填写： ①斜边是否选取最长边； ②勾股定理列式是否出错； ③是否对根进行实际意义检验； ④x 是正整数条件是否考虑。 把发现的漏洞、错误写在下面： 例题 2. 用一根长为 40m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：设矩形的一边长为 x m，则矩形邻边长为____________m。 根据矩形面积公式列方程：________________________________。 解方程，得：x₁= ，x₂= 。 检验：________________________________________________。 答：________________________________________________。 思考：方程得到两个根，是否代表两个不同的矩形？ 【小组互查质疑】 小组交换导学案检查： ①周长转化邻边长是否正确；②面积等量关系；③检验根的实际意义。 漏洞错误记录： 2、 探究 1（传播问题） 某种传染病的传染速度很快。如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人。 开始有 1 个人被传染，第一轮传染源就是这个人，他传染了 x 个人，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些被传染的人每个人又传染 x 个人，第二轮新增传染人数为________，两轮之后被传染总人数为________________。 列方程：________________________________________。 解方程，得：x₁=，x₂=。 检验：________________________________________________。 答：________________________________________________。 思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 3、 知识点学习 列一元二次方程解实际问题的一般步骤: ①审：审题，分清已知量、未知量，找出题目中的________； ②设：设未知数，直接或者间接设，写明单位； ③列：依据等量关系列出________________； ④解：解一元二次方程，求出两个根； ⑤验：双重检验：一是检验根是否满足方程；二检验_____________________，舍去不符合现实的根； ⑥答：完整书写答案，带上单位。 ★常见实际问题模型: （1）传播问题：初始 1 个传染源，每轮每人传染 x 人，两轮后总数量：(1+x)²= 总数量。 （2）增长率/下降率问题：基数为a，平均增长率 x，经过n个周期后总量 = ；基数 a，平均下降率 x，n 周期后总量 = 。 （3）图形面积问题：利用几何图形面积公式、勾股定理建立等量关系。 思考：下降率可以大于 1 吗？遇到大于 1 的解如何处理？ 4、 探究 2（下降率问题） 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：先求甲种食品，设甲种食品成本年平均下降率为 x。 一年后甲成本： ； 两年后甲成本： ； 列方程：________________________________。 解方程求得甲的下降率约为________。 再计算乙种食品的年平均下降率，比较大小。 答：________________________________________________。 5、 自学小测 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支，如果主干、支干和小分支的总数是 91，那么每个支干长出多少个小分支？ 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000kg，两年后平均每公顷产 18000kg。求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a % 的形式，其中 a 保留小数点后两位）。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 解一元二次方程应用题，为什么必须检验根的实际意义？结合例题 1 举例说明。 2. 传播问题 (1+x)² 代表的是什么，能不能直接写成 1+2x，为什么？ 3. 增长率模型 a (1+x)²，a、x、2 分别代表什么？ 4. 几何面积、勾股定理类实际问题中，求出的根什么情况下必须舍去？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】 🔔易错警示 1. 应用题必须检验根的实际意义，负数、超出现实范围的根直接舍去。 2. 勾股定理题型，斜边一定选取最长边，不要随意设边。 3. 传播问题：(1+x)² 是两轮总人数，不是新增人数，不要混淆总数量与新增数量。 4. 增长率、下降率看清周期，两年用平方，不能简单乘 2；下降率不能大于 1。 5. 设未知数和最后作答，单位不能遗漏。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 解实际应用题六步：审、设、列、解、验、答，检验实际意义必不可少。 2. 勾股定理模型：直角三角形，最长边为斜边；传播模型：两轮传染总数量 (1+x)²= 总数量。 3. 增长模型：a (1+x)ⁿ；下降模型：a (1−x)ⁿ。 4. 核心数学思想：建模思想，实际问题转化方程，解完回归现实检验。 【课内自测】 1. n 个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 两个数的和是 26，积是 168，求这两个数。 2. 某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛 90 场，那么共有多少支球队参加比赛？ B 组【能力提升・选做】 3. 一个直角三角形的两条直角边的和是 14，面积是 24。求这两条直角边的长。 4. 一个菱形的两条对角线长之和是 10，面积是 12。求这个菱形的周长。 C 组【拓广探索・培优】 5. 在一面墙 (墙的长度不限) 边，怎样用 20m 长的篱笆围成一个面积为 48 m² 的矩形菜园？ 6. 要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2。如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 会分析传播问题、增长率下降率问题、几何图形面积问题中的数量关系，能列一元二次方程解决教材中的实际应用题。 2. 掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答，会检验方程的根是否符合实际意义，会舍去不合题意的解。 3. 体会数学建模思想，把现实实际问题转化成一元二次方程模型，提升分析问题、解决问题的能力。 4. 能结合生活实际，对计算得到的方程根做现实取舍。 学习重点：读懂题意，找准等量关系，列一元二次方程解决传播、增长率、面积类实际问题。 学习难点：准确提取题目等量关系；理解增长率、下降率模型；检验根的实际意义并合理取舍。 【前置补偿】 1.解一元二次方程有哪些解法？ 答：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 答：审题，设未知数，列方程，解方程，检验，写出答案。 3.一元二次方程求出的两个根一定都符合现实情境吗？ 答：不一定，要检验，不符合现实的根要舍去。 【学生自学】 （阅读教材 25.3 实际问题与一元二次方程） 1、 情境引入・ 例题 1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 分析：设三边长依次为 x，x+1，x+2（x 为正整数），根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，则最长边 x+2 为斜边。 列方程：x²+(x+1)²=(x+2)²。 解方程，得：x₁=3，x₂=−1。 检验：边长为正整数，x=−1 不符合实际，舍去。 答：存在，只有 1 个，三边长分别为 3，4，5。 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面步骤检查同伴填写： ①斜边是否选取最长边；②勾股定理列式是否出错； ③是否对根进行实际意义检验；④x 是正整数条件是否考虑。 把发现的漏洞、错误写在下面： 参考提示：常见错误：选错斜边，不舍去负根。 例题 2 用一根长为 40m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：设矩形的一边长为 x m，则矩形邻边长为 (20−x) m。 根据矩形面积公式列方程：x (20−x)=96。 解方程，得：x₁=12，x₂=8。 检验：12m、8m 都是正数，符合实际意义。 答：可以围成，邻边 12m 和 8m，长和宽互换，矩形形状唯一。 思考：方程得到两个根，是否代表两个不同的矩形？ 答：只是长与宽交换，属于同一个矩形。 【小组互查质疑】 小组交换导学案检查： ①周长转化邻边长是否正确；②面积等量关系；③检验根的实际意义。 漏洞错误记录： 参考提示：易错：误认为两个根代表两个不同矩形。 三、探究 1（传播问题） 某种传染病的传染速度很快。如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人。 开始有 1 个人被传染，第一轮传染源就是这个人，他传染了 x 个人，第一轮后共有 1+x 个人被传染； 第二轮传染中，这些被传染的人每个人又传染 x 个人，第二轮新增传染人数为 x (1+x)，两轮之后被传染总人数为 1+x+x (1+x)。 列方程：1+x+x (1+x)=121。 解方程，得：x₁=10，x₂=−12。 检验：传染人数不能为负数，x=−12 不符合实际，舍去。 答：每轮传染中平均 1 个人传染 10 个人。 思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 答：121×(1+10)=1331 人。 四、知识点学习 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 ①审：审题，分清已知量、未知量，找出题目中的等量关系； ②设：设未知数，直接或者间接设，写明单位； ③列：依据等量关系列出一元二次方程； ④解：解一元二次方程，求出两个根； ⑤验：双重检验：一是检验根是否满足方程；二检验根是否符合现实实际意义，舍去不符合现实的根； ⑥答：完整书写答案，带上单位。 教材常见实际问题模型 （1）传播问题：初始 1 个传染源，每轮每人传染 x 人，两轮后总数量：(1+x)²= 总数量。 （2）增长率 / 下降率问题：基数为 a，平均增长率 x，经过 n 个周期后总量 = a (1+x)ⁿ；基数 a，平均下降率 x，n 周期后总量 = a (1−x)ⁿ。 （3）图形面积问题：利用几何图形面积公式、勾股定理建立等量关系。 思考：下降率可以大于 1 吗？遇到大于 1 的解如何处理？ 答：下降率不能大于 1，求出大于 1 的根直接舍去。 五、探究 2（下降率问题） 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：先求甲种食品，设甲种食品成本年平均下降率为 x。 一年后甲成本：10000 (1−x)； 两年后甲成本：10000 (1−x)²； 列方程：10000 (1−x)²=6000。 解方程求得甲的下降率约为 22.5%。 再计算乙种食品的年平均下降率，比较大小。 解乙：设乙年平均下降率 y，12000 (1−y)²=7200，解得 y≈22.5%。 答：甲乙两种食品成本的年平均下降率相等，均约为 22.5%。 六、自学小测 1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支，如果主干、支干和小分支的总数是 91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支。 1+x+x²=91，x²+x−90=0，解得 x₁=9，x₂=−10（舍去） 答：每个支干长出 9 个小分支。 2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000kg，两年后平均每公顷产 18000kg。求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a % 的形式，其中 a 保留小数点后两位）。 解：设年平均增长率为 x。 15000 (1+x)²=18000，(1+x)²=1.2 1+x=√1.2≈1.0954，x≈0.0954 答：年平均增长率约为 9.54%。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 解一元二次方程应用题，为什么必须检验根的实际意义？结合例题 1 举例说明。 答：方程数学成立的根不一定符合现实，例 1 解出 x=-1，数学成立，但三角形边长不能为负数，必须舍去。 2. 传播问题 (1+x)² 代表的是什么，能不能直接写成 1+2x，为什么？ 答：代表两轮之后全部被传染总人数；第二轮每一个感染者都会继续传染，新增人数不是固定 x，不能直接简单相加。 3. 增长率模型 a (1+x)²，a、x、2 分别代表什么？ 答：a 原来基础数量，x 平均增长率，2 代表经过 2 个增长周期。 4. 几何面积、勾股定理类实际问题中，求出的根什么情况下必须舍去？ 答：边长为负数；求出的边长超过图形本身最大尺寸，均舍去。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】 🔔易错警示 应用题必须检验根的实际意义，负数、超出现实范围的根直接舍去。 勾股定理题型，斜边一定选取最长边，不要随意设边。 传播问题：(1+x)² 是两轮总人数，不是新增人数，不要混淆总数量与新增数量。 增长率、下降率看清周期，两年用平方，不能简单乘 2；下降率不能大于 1。 设未知数和最后作答，单位不能遗漏。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 解实际应用题六步：审、设、列、解、验、答，检验实际意义必不可少。 2. 勾股定理模型：直角三角形，最长边为斜边；传播模型：两轮传染总数量 (1+x)²= 总数量。 3. 增长模型：a (1+x)ⁿ；下降模型：a (1−x)ⁿ。 4. 核心数学思想：建模思想，实际问题转化方程，解完回归现实检验。 【课内自测】 1. n 个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 解：握手总次数公式 n (n−1)/2 =10 整理 n²−n−20=0，解得 n₁=5，n₂=−4（舍去） 答：共有 5 人。 2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由。 解：n 边形对角线条数公式 n (n−3)/2。 n (n−3)/2=20，n²−3n−40=0，解得 n₁=8，n₂=−5 舍去。 令 n (n−3)/2=18，n²−3n−36=0，Δ=9+144=153，153 不是完全平方数，没有整数解，故不存在。 答：是 8 边形；不存在有 18 条对角线的多边形。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 两个数的和是 26，积是 168，求这两个数。 解：设一个数为 x，另一个数 26−x x (26−x)=168，x²−26x+168=0 解得 x₁=12，x₂=14 答：这两个数为 12 和 14。 2. 某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛 90 场，那么共有多少支球队参加比赛？ 解：双循环总场数 n (n−1)=90 n²−n−90=0，解得 n₁=10，n₂=−9（舍去） 答：一共有 10 支球队。 B 组【能力提升・选做】 3. 一个直角三角形的两条直角边的和是 14，面积是 24。求这两条直角边的长。 解：设一条直角边长 x，另一条直角边 14−x。 1/2 x (14−x)=24，x²−14x+48=0 解得 x₁=6，x₂=8 答：两条直角边长分别为 6 和 8。 4. 一个菱形的两条对角线长之和是 10，面积是 12。求这个菱形的周长。 解：设一条对角线长 x，另一条对角线长 10−x。 1/2 x (10−x)=12，x²−10x+24=0，解得 x₁=4，x₂=6。 菱形边长 =√(2²+3²)=√13，周长 = 4√13。 答：菱形周长为 4√13。 C 组【拓广探索・培优】 5. 在一面墙 (墙的长度不限) 边，怎样用 20m 长的篱笆围成一个面积为 48 m² 的矩形菜园？ 解：设垂直墙的一边长为 x m，则平行于墙边长 (20−2x) m。 x (20−2x)=48，整理 x²−10x+24=0 解得 x₁=4，x₂=6。 当 x=4，平行墙长 12m；当 x=6，平行墙长 8m，两组都符合题意。 答：方案一：垂直墙 4m，平行墙 12m；方案二：垂直墙 6m，平行墙 8m。 6. 要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2。如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）。 解：设横彩条宽度 3x cm，竖彩条宽度 2x cm。 剩余有效图案面积占总面积 3/4：(30−4x)(20−6x)= 3/4×20×30 整理 12x²−130x+75=0，Δ=130²−4×12×75=12100 x=(130±110)/24，x₁=10（舍去，超出图形宽度），x₂≈0.8 3x≈2.4cm，2x≈1.6cm。 答：横彩条宽约 2.4 cm，竖彩条宽约 1.6 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $