精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

石嘴山市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查充要条件的判断. 当时，，所以，即，故 “”是“”的充分条件；当时，或，故 “”不是“”的必要条件； 所以 “”是“”的充分不必要条件 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以，即，解得或. 故选：A. 3. 在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以设，则 ，， 所以， 所以，即（为任意角）， 所以 （其中）， 所以的最大值为，最小值为， 所以①③错误， 因为， 所以 （其中） 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为，最大值为14， 所以②正确，④错误， 故选：A 4. 已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案. 【详解】解：由已知可得，得， 根据椭圆定义：， ∴取得最大值时，即 最大， 取得最小值时，即 最小， 根据三角形的两边之差小于第三边有 当三点共线，且点P不在线段上时， ， 即 如图所示：， 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值． 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值． ∴的最大值和最小值分别为 ；. 故选：A. 5. 若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数相等结合复数的除法运算求复数，进而写出其共轭复数，最后求. 【详解】由，得， ，则. 故选：B 6. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 7. 已知函数f（x）＝（x2+1）e2x，则（ ） A. f（1）是f（x）的极大值也是最大值 B. f（1）是f（x）的极大值但不是最大值 C. f（﹣2）是f（x）的极小值也是最小值 D. f（x）没有最大值也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，然后结合导数与单调性的关系可判断函数的单调性，进而可判断函数的极值与最值． 【详解】由有 当时，，函数单调递增. 当，时，，函数的单调递减. 所以为函数的极大值，为函数的极小值. ，，. 所以为函数的最大值，没有最小值. 故选：A 【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值和最值，属于中档题题． 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法 B. 将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则 【答案】BC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，利用插空法判断B，根据正态分布的性质判断C，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质判断D. 【详解】对于A：第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法； 同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有种投法．故A错误； 对于B：先排4本不同的数学书有种排法，再将2本不同的物理书插空有种排法， 所以共有种不同的排法，故B正确； 对于C：因为，且， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆：的圆心到直线的距离为2 B. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则 D. 是两圆与的公共弦所在的直线方程 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离可判断A，由圆心到直线的距离及半径可判断B，由两圆的圆心距可判断C，利用两圆的方程可判断D. 【详解】对于A，圆：的圆心为，圆心到直线的距离为，故A错误； 对于B，圆的圆心为半径为2，又圆心到直线：的距离为，故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故B正确； 对于C，圆：的圆心为半径为1，圆：的圆心为半径为，两圆恰有三条公切线，则两圆外切，所以，解得，故C正确； 对于D，由两圆方程与得，即，所以是两圆与的公共弦所在的直线方程，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列的通项公式是， （）设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 若存在，使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据题意直接计算判断即可；对于C，分、两种情况讨论求解即可判断；对于D，分、两种情况讨论求解即可判断；对于C，利用周期性，故的正负，只需考察即可，分奇偶项求和即可. 【详解】对于A，当时，， 所以， 又因为，故A正确； 对于B，当时，， 所以， ，，， ，， 所以，故B错误； 对于C，当，即时，，不符题意； 当，即时，又为偶数，所以， 即，所以，所以，解得； 综上，当时，，故C正确； 对于D，时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考察即可， 当时，奇数项是首项，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公比为的等比数列， 当时，， ， 因为时，， 当时，，又， 所以，且周期重复后仍非负， 所以若存在，使得，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与原点的距离为1的直线共有__________条. 【答案】2 【解析】 【分析】讨论所求直线的斜率存在与否，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当所求直线的斜率不存在时，直线方程为， 显然与原点的距离为1. 当所求直线的斜率存在时，设方程为, 由. 所以满足条件的直线有两条. 故答案为:2. 13. 已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 【答案】 ①. 2； ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质及已知条件求解. 【详解】由题意，， 由 ，且在上恰好有一个最小值和一个最大值，得，则； 而的最大值为 ，最小值为 ， 由 ，得和中一个是最大值，另一个是最小值， 所以，， 当时，（答案不唯一）. 14. 小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出离散型随机变量的分布列，由离散型随机变量的数学期望与方差公式计算即可. 【详解】的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 的分布列为： 1 4 9 16 25 同理：，故：， 当时，的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 当时，的分布列为： 15 所以， 当时：的分布列为： 3 4 5 6 7 8 9 ， 当时：的分布列为： 6 7 8 9 10 11 12 ， 当时：的分布列为： 10 11 12 13 14 ， 所以：. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：方差可以用数学期望来计算，将离散型随机变量取值进行分类求数学期望，最后求加权平均即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足，，令，设数列前项和为. （1）求证：数列为等差数列；并求数列的通项公式； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义可证数列为等差数列，并求得数列的通项公式，再根据题设条件中和的关系式求得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法、基本不等式分析运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，∵， ∴，又由， ∴， 数列为等差数列，，. ∴， ∴，. 【小问2详解】 解：由（1）知，所以有 ， 所以存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， ∴. ∵， 当且仅当，即时等号成立；所以有，. ∴实数的取值范围是. 16. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设． （1）当时，求四边形ABCD的面积； （2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解； （2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解. 【小问1详解】 连结，则 四边形的面积为 【小问2详解】 由题意，在中，，由正弦定理 同理在中，，由正弦定理 令 时，即，的最大值为5 17. 已知直线l过点，且在轴上的截距互为相反数， （1）求直线的一般方程； （2）若直线在轴上的截距不为0，求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）当截距都为0时，得到，当截距不为0时，可设直线l的方程为：，代入点坐标即可得出结果；（2）由（1）知，直线l的一般方程为：，利用点关于线对称的结论代入求解即可. 【详解】（1）当直线l在轴上的截距都为0时， 易得直线l的一般方程为：； 当直线l在轴上的截距不为0时， 设直线l在轴上的截距为，由题意知直线l在轴上的截距为， 可设直线l的方程为：， 把代入直线方程得：， 所以直线l的一般方程为：， 综上所述：直线l的一般方程为：或； （2）由（1）知，直线l的一般方程为：， 设，又与关于直线对称， 则， 整理得：， 所以点的坐标为. 【点睛】本题主要考查直线的截距式和一般式以及点关于线对称的知识点.属于中档题. 18. 在直三棱柱中，，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长； （3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 【答案】（1）连接，在矩形中与互相平分，是的中点，所以， 由于为的中位线， 故． 又平面，平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，借助空间向量求得平面和平面 的法向量，结合二面角得到向量的数量积关系，即可求得的长； （3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．    设，则，且， 所以， 设平面的一个法向量， 则，取得 ， 同理可取平面 的一个法向量 ． 因此 ，得． 解得．所以． 【小问3详解】 由题可知， ． 19. 已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和. （1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程； （2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点. ①求证直线过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）①设，，，过，的椭圆切线方程为，则，，直线方程为，即，显然过定点. ②最大值为. 【解析】 【分析】（1）由为，中点，得，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，这样可得点轨迹是椭圆，根据求得椭圆方程； （2）①设，，，写出切线方程代入点坐标，得直线方程，由方程可得定点坐标； ②直线方程为与椭圆方程联立消元后得，变形得，然后计算三角形面积，利用换元、基本不等式可得最大值． 【小问1详解】 依题意有为，中点，，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，又与圆相切，，即动点到与两点距离之和等于为，动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 ①.略 ②.直线方程为，联立椭圆方程得 显然，，， 面积. 令，， 则.当且仅当，时等号成立. 故面积的最大值为. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题及三角形面积最大问题．解题方法是根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；设动点的坐标，写出直线方程，由直线方程得定点；设而不求的思想方法结合韦达定理求得三角形面积，用基本不等式得最大值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为； ③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 5. 若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 7. 已知函数f（x）＝（x2+1）e2x，则（ ） A. f（1）是f（x）的极大值也是最大值 B. f（1）是f（x）的极大值但不是最大值 C. f（﹣2）是f（x）的极小值也是最小值 D. f（x）没有最大值也没有最小值 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 以下说法正确的是（ ） A. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法 B. 将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆：的圆心到直线的距离为2 B. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则 D. 是两圆与的公共弦所在的直线方程 11. 已知数列的通项公式是， （）设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 若存在，使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与原点的距离为1的直线共有__________条. 13. 已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 14. 小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足，，令，设数列前项和为. （1）求证：数列为等差数列；并求数列的通项公式； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 16. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设． （1）当时，求四边形ABCD的面积； （2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 17. 已知直线l过点，且在轴上的截距互为相反数， （1）求直线的一般方程； （2）若直线在轴上的截距不为0，求点关于直线的对称点的坐标． 18. 在直三棱柱中，，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角是直二面角，求的长； （3）在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 19. 已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和. （1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程； （2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点. ①求证直线过定点； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $