精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年第一学期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数定义计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，所以， ， ， 所以，即得 可得，成立， 所以. 故选：A. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 4. 已知直线经过点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为直线经过点， 所以， 所以 ， 当且仅当，即、时取等号. 故选：B 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先可以求出的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则当且仅当，由此即可得解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，，， 所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为， 若函数在区间上单调递增，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 7. 已知函数 且是R上的单调函数，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】函数 且是R上的单调函数， 若函数单调递增，则，解得， 若函数单调递减，则，解得. 综上得：a的取值范围是. 故选：B 8. 已知定义在R上的偶函数满足，当时 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得函数的周期为4，结合函数的奇偶性和上的函数解析式，分别求得的值，即可求解. 【详解】由题意，函数满足，可得， 即函数是以4为周期的周期函数， 又由函数是上的偶函数，即， 又由当时 ， 则， , 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合间的关系可得的取值范围，再根据命题的充分必要性判断各选项正误. 【详解】由得，即， 故能使成立的充分不必要条件有CD. 故选：CD. 10. 【多选题】下列命题中，为真命题的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确. 【详解】对于A：利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：对于，， 当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误； 对于C：易知对于，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D：易知当时，，即，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象只关于直线对称 C. 当时，函数有5个零点 D. 当时，函数的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将变形为结合可得，由此即可判断；对于B，可得，即函数的图象关于直线对称，结合周期性即可判断；对于C，D，画出函数在上的大致图象，结合图象即可判断C，由周期性求出最小值即可判断D. 【详解】由得，，故函数的周期为4，A正确； 由可得， 所以函数的图象关于直线对称，且关于直线对称（周期性），B不正确； 作出函数在上的大致图象如图所示， 由图可知，当时，函数有5个零点，C正确； 当时，函数的最小值为，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是画出该部分的函数图象，观察图象即可得解. 三、填空题 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和函数单调性的性质可化简所求不等式，得到自变量的大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 与均为上的增函数，为上的减函数， 为定义在上的增函数； 由得：， ，解得：，的解集为. 故答案为：. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； 【小问2详解】 由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 16. 已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，． （1）求的值； （2）当时，求的表达式； （3）若函数在区间（）上的值域为，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据抽象函数的对称性和周期性计算即可； （2）根据奇函数的定义与性质计算即可； （3）根据二次函数的单调性先确定，再分类讨论计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称， 所以； 【小问2详解】 结合（1）的结论可令，则， 所以； 【小问3详解】 由（1）（2）可知， 由二次函数单调性可知在上单调递增，且， 所以，则， 若，则，此时， 若，则，此时， 若，则，此时. 故的值为或或. 17. 设函数． （1）若函数的图象关于原点对称，求函数的零点； （2）若函数在，的最大值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过，求出．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可． （2）利用换元法令，，，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可． 【小问1详解】 解： 的图象关于原点对称， 为奇函数， ， ， 即，．所以，所以， 令， 则， ，又， ，解得，即， 所以函数的零点为． 【小问2详解】 解：因为，， 令，则，，， 对称轴， 当，即时，，； ②当，即时，，（舍； 综上：实数的值为． 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：． 证明：原式． 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数满足，求的最小值． 解：由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】（1）将1化成，约分即可求解， （2）利用将1化成，即可得，通分后分离常数，即可利用基本不等式求解，或者利用，代入后得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ； 【小问2详解】 解法1（整体代入）：由 ， 由于，故，当且仅当，即时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值． 解法2（消元思想）：由题意得． 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为有最小值，此时有最大值， 从而最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年第一学期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 已知直线经过点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 5. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数 且是R上的单调函数，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的偶函数满足，当时 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 10. 【多选题】下列命题中，为真命题的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象只关于直线对称 C. 当时，函数有5个零点 D. 当时，函数的最小值为 三、填空题 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 13. 已知函数，则不等式的解集为______． 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题 15. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 16. 已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，． （1）求的值； （2）当时，求的表达式； （3）若函数在区间（）上的值域为，求的值． 17. 设函数． （1）若函数的图象关于原点对称，求函数的零点； （2）若函数在，的最大值为，求实数的值． 18. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：． 证明：原式． 阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究. 例如，正实数满足，求的最小值． 解：由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 结合阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若正实数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $