专题07 直线中对称与最值的问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线中对称与最值问题，系统梳理点关于点（中点坐标公式）、点关于直线（垂直平分及公式法）、直线关于点（两点法或平行点斜式）、直线关于直线（特殊点法、到角公式及公式法）及特殊对称（如坐标轴、y=x等）核心知识点，构建从基础对称到复杂应用的递进学习支架。 资料以“将军饮马”“光线反射”等情境问题培养数学眼光，通过公式法、特殊点法等多元解题策略训练数学思维，结合大量典型例题（如点线对称坐标求解、距离最值计算）提升数学语言表达能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

专题07 直线中对称与最值的问题高频考点精讲 知识点1： 点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 知识点2： 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 策略：点关于直线对称的妙解公式 设点关于直线对称的点为,则坐标为，其中． 知识点3： 直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 知识点4： 直线关于直线对称 解直线与直线对称的方法有很多，在此阐述三种 法一：特殊点法 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点(非交点)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 法二：到角公式： 规定：直线和直线相交于一点，把绕该点按逆时针旋转角，此时与重合，角就叫做从到的角，同理，就叫做从到的角。设的斜率是 ，的斜率是 ，则有 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：设的斜率为，则的方程为 第三步：利用到的角与到的角相同，可以列出，解出 秘籍：直线与直线的秒杀公式 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线， 的方程为：，其中． 知识点5： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点一　点关于点对称问题 考点二　点关于直线对称问题 考点三　直线关于点对称问题 考点四　直线关于直线对称问题 考点五　两点间距离最值问题 考点六　利用点到直线距离求最值 考点七　利用两条平行线距离求最值 考点八　线段和、差的最值问题 考点九　光线反射问题 考点十　将军饮马问题求最值 考点一　点关于点对称问题 1．（2026高二·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【详解】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）若点和点关于直线对称，则__________． 【答案】 【分析】求出点和点的中点坐标，根据斜率关系和中点在直线上，得到方程组，求出答案. 【详解】点和点的中点坐标为， 由题意得，解得. 故答案为： 4．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）点关于点的对称点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设点，由题意可知为线段的中点，利用中点坐标公式可求出点的坐标. 【详解】设点，由题意可知为线段的中点， 由中点坐标公式可得，解得， 因此点关于点的对称点的坐标是. 故答案为：. 考点二　点关于直线对称问题 5．（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】若两点关于直线对称，其中点在已知直线上且两点所在的直线与已知直线垂直，列方程求点坐标. 【详解】若对称点为，则，可得，即对称点为. 故答案为： 7．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 8．（25-26高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是______. 【答案】 【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标. 【详解】设所求对称点坐标为，则， 故，故对称点的坐标为， 故答案为： 考点三　直线关于点对称问题 9．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与直线关于点对称的直线方程是____________． 【答案】 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于的对称点，再代入直线方程即可得到答案. 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 故答案为：. 10．（25-26高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是______． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 11．（25-26高二上·江苏扬州·开学考试）已知直线，点． (1)求点关于直线的对称点； (2)求直线，关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点关于直线的对称点为，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得关于和的方程，解之即可； （2）设直线的方程为，在直线l上取一点，求得它关于点的对称点，并将其代入所设方程，解出b的值即可． 【详解】（1）设点关于直线l的对称点为，则这两点的中点为， 所以，解得m，n， 所以点关于直线l的对称点为； （2）由题意知，直线的斜率为，设其方程为， 在直线上取一点，它关于点的对称点为， 而该点在直线上， 所以，解得， 所以直线的方程为． 12．（25-26高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是______． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中 故答案为： 考点四　直线关于直线对称问题 13．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是__. 【答案】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 【答案】 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 15．（25-26高二上·浙江·阶段检测）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 17．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 18．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 考点五　两点间距离最值问题 19．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的最小值． 【答案】 【详解】解析  因为，所以函数是轴上的点与两定点、距离之和．的最小值就是的最小值．由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，则的最小值等于，即．所以． 20．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 21．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 22．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 考点六　利用点到直线距离求最值 23．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线的方程化为点斜式，确定直线所过的定点；当点到直线的距离最大时，直线与和定点的连线垂直，通过斜率关系求解的值. 【详解】∵直线，可变形为，恒过定点， ∴当点到直线的距离取最大值时，. 直线的斜率， 直线的斜率为，且， 两直线斜率之积为，即，代入可得：，解得. 故选：C. 24．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 25．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【详解】由直线， 化为：， 联立方程组， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 26．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 考点七　利用两条平行线距离求最值 27．（25-26高二·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 【答案】的最大值为，此时，. 【分析】由两直线平行且过定点，可知，根据取等时直线、与直线的位置关系可得直线方程. 【详解】因为两条平行直线与分别过点与点， 所以两平行线间的距离， 当且仅当直线、均与直线垂直时等号成立， 此时，所以， 所以，也即； ，也即. 28．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 29．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 30．（25-26高二下·贵州安顺·期末）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为__________________． 【答案】 【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时. 【详解】由极限思想可得，两直线的距离， 而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即， 所以，． 故答案为： 考点八　线段和的最值问题 31．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得. 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 32．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 33．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 34．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    35．（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 36．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 【答案】BC 【分析】对于A：求出点关于直线l的对称点，然后通过求最小值；对于B：通过，当三点共线时取最大值来求解；对于C：设，求出坐标，表示出，利用基本不等式求最小值；对于D：表示出，利用基本不等式求最小值. 【详解】对于A：设点关于直线l的对称点为， 则，解得 ， 当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值， 又，即， 联立，解得， 即直线l上一点使最大，B正确； 对于C：设， 当时，，当时，， 即， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误. 故选：BC. 考点九　光线反射问题 37．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 【答案】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 38．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 39．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 40．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 41．（25-26高三·全国·一轮复习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则_______，_______． 【答案】 【分析】根据直线与关于直线对称，可求的值. 【详解】由题意，直线与直线关于直线对称， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上， 所以，所以， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以． 故答案为：； 42．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 考点十　将军饮马问题求最值 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 44．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 45．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 46．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 47．（25-26高二上·山西·开学考试）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 【答案】AC 【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D； 【详解】由关于，的对称点分别为，而，    从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对； 从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错； 由关于，的对称点分别为，    从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对； 从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错. 故选：AC 48．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果. 【详解】点关于直线的对称点为，如下图所示： 在直线上任取一点，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故“将军饮马”的最短总路程为. 故选：B. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线中对称与最值的问题高频考点精讲 知识点1： 点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 知识点2： 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 策略：点关于直线对称的妙解公式 设点关于直线对称的点为,则坐标为，其中． 知识点3： 直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 知识点4： 直线关于直线对称 解直线与直线对称的方法有很多，在此阐述三种 法一：特殊点法 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点(非交点)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 法二：到角公式： 规定：直线和直线相交于一点，把绕该点按逆时针旋转角，此时与重合，角就叫做从到的角，同理，就叫做从到的角。设的斜率是 ，的斜率是 ，则有 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：设的斜率为，则的方程为 第三步：利用到的角与到的角相同，可以列出，解出 秘籍：直线与直线的秒杀公式 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线， 的方程为：，其中． 知识点5： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 考点一　点关于点对称问题 考点二　点关于直线对称问题 考点三　直线关于点对称问题 考点四　直线关于直线对称问题 考点五　两点间距离最值问题 考点六　利用点到直线距离求最值 考点七　利用两条平行线距离求最值 考点八　线段和、差的最值问题 考点九　光线反射问题 考点十　将军饮马问题求最值 考点一　点关于点对称问题 1．（2026高二·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）若点和点关于直线对称，则__________． 4．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）点关于点的对称点的坐标是__________. 考点二　点关于直线对称问题 5．（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为______． 7．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是______. 考点三　直线关于点对称问题 9．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）与直线关于点对称的直线方程是____________． 10．（25-26高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是______． 11．（25-26高二上·江苏扬州·开学考试）已知直线，点． (1)求点关于直线的对称点； (2)求直线，关于点的对称直线的方程． 12．（25-26高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程是______． 考点四　直线关于直线对称问题 13．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是__. 14．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 15．（25-26高二上·浙江·阶段检测）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 考点五　两点间距离最值问题 19．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的最小值． 20．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 21．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 22．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点六　利用点到直线距离求最值 23．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 25．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 考点七　利用两条平行线距离求最值 27．（25-26高二·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 28．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 29．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·贵州安顺·期末）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为__________________． 考点八　线段和的最值问题 31．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 33．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 34．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 35．（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 36．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 考点九　光线反射问题 37．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 38．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 39．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 41．（25-26高三·全国·一轮复习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则_______，_______． 42．（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 考点十　将军饮马问题求最值 43．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 45．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 46．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 47．（25-26高二上·山西·开学考试）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 48．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $