专题07 直线与圆、圆与圆的位置关系（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理直线与圆三种位置关系（相离、相切、相交）的定义及几何法、代数法判定，圆与圆五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义及圆心距与半径关系判定，构建从定义到判定再到弦长、切线、公共弦等应用的学习支架。 资料亮点在于分层突破重难点，通过易错点提示（如切线漏解、判别式误区）和典例变式训练，培养数学思维（含参问题分类讨论）与数学眼光（动态几何分析），课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化综合应用能力。

专题07 直线与圆、圆与圆的位置关系 重点目标： 1. 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义.熟练运用几何法、代数法两种方式判定位置关系. 2. 熟记圆心到直线的距离判定规则.掌握直线与圆相交的弦长公式、切线基础求解方法. 3. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义.能通过圆心距与半径和差关系判定位置关系. 4. 掌握两圆相交公共弦方程、公共弦长的求解方法.能区分两圆不同位置对应的交点个数. 5. 能运用直线与圆、圆与圆的位置关系解决基础计算题型. 难点目标： 1. 灵活区分几何法与代数法的适用场景.规避代数法运算繁琐、几何法漏特殊情况的问题. 2. 熟练求解过圆上、圆外一点的切线方程.精准处理切线斜率不存在的特殊情况.杜绝漏解. 3. 掌握含参数直线、含参数圆的位置关系分类讨论方法.根据参数范围判定图形位置关系. 4. 掌握两圆相切、内含、外离等特殊位置的临界条件.突破参数取值范围压轴题型. 5. 综合运用弦长、切线、公共弦、圆系方程知识解决几何综合问题. 1、 重点知识 （一）直线与圆的位置关系 · 核心判定依据：设圆的半径为.圆心到直线的距离为. 1. 相离：.直线与圆无公共点.无交点、无切线、无弦长. 2. 相切：.直线与圆有且仅有一个公共点.直线为圆的切线.仅有一条公共切线. 3. 相交：.直线与圆有两个不同公共点.直线为圆的割线.存在弦长. · 两种标准判定方法 1. 几何法（首选方法）：计算圆心到直线的距离.对比与的大小关系.运算简便、不易出错. 2. 代数法（通用方法）：联立直线与圆的方程.消元得到一元二次方程.通过判别式判定：相交.相切.相离. · 基础核心公式 3. 1. 弦长公式：直线与圆相交时.弦长. 4. 2. 切线基础性质：圆心与切点的连线垂直于切线.圆心到切线距离等于半径. （二）圆与圆的位置关系 · 核心判定依据：设两圆圆心分别为.半径分别为.圆心距. 1. 外离：.无公共点.存在4条公切线. 2. 外切：.1个公共点.存在3条公切线. 3. 相交：.2个公共点.存在2条公切线. 4. 内切：.1个公共点.存在1条公切线. 5. 内含：.无公共点.无公切线（时两圆同心）. · 两圆相交核心知识点 1. 公共弦方程：将两个圆的一般方程作差.消去二次项.所得一次方程即为两圆公共弦所在直线方程. 2. 公共弦性质：两圆圆心连线垂直平分公共弦. 3. 公共弦长：结合圆心到公共弦直线的距离.用弦长公式求解. 2、 难点知识 （一）高频易错难点（选择填空陷阱） 1. 切线漏解陷阱：过圆外一点存在两条切线.极易遗漏斜率不存在的竖直切线. 2. 判别式误区：代数法联立方程时.未整理成标准一元二次方程.导致计算错误. 3. 两圆位置关系漏情况：容易忽略内切、内含两种内含型位置关系.只记忆外离、外切、相交. 4. 公共弦适用前提：只有两圆相交时存在公共弦.相切、相离、内含无公共弦. 5. 同心圆判定：且半径不等为内含.半径相等为重合圆.极易判定失误. （二）核心难点题型 6. 切线方程综合求解：区分过圆上一点（唯一切线）和过圆外一点（两条切线）的不同解法.分类讨论斜率存在与不存在情况. 7. 弦长最值问题：过定点的直线截圆所得弦长.直径为最长弦.垂直于定点与圆心连线的弦为最短弦. 8. 两圆临界参数问题：已知两圆位置关系.反求方程中参数的取值范围.重点突破相切临界情况. 9. 公切线问题：根据两圆位置关系判断公切线条数.求解简单公切线方程. （三）压轴难点知识 1. 含参动态几何问题：动直线与定圆、定直线与动圆、双动圆的位置关系分析.结合参数变化分析图形动态规律. 2. 弦中点轨迹问题：利用垂径定理（圆心与弦中点连线垂直于弦）求解轨迹方程. 3. 两圆对称问题：求解圆关于直线对称的圆方程.结合位置关系、垂直平分性质解题. 4. 圆系方程拓展：过两圆交点的圆系方程、过直线与圆交点的圆系方程.简化综合大题运算. （四）拓展拔高知识 1. 几何最值拔高：圆上动点到定直线、定点的距离最值.圆上动点与直线上动点的距离最值. 2. 隐形圆综合：结合距离公式、垂直关系挖掘隐形圆.转化为直线与圆、圆与圆位置关系求解最值、范围问题. 3. 多圆综合压轴：多个圆的位置关系嵌套.结合公共弦、公切线、圆心距解决复杂几何问题. 4. 位置关系恒成立问题：直线与圆恒相切、恒相交、恒相离.转化为参数恒成立问题求解范围. 5. 数形结合核心思维：将解析几何代数运算转化为几何图形位置分析.简化复杂计算. （五）高频失分点汇总 1. 求解切线方程遗漏斜率不存在的特殊情况.造成漏解. 2. 两圆位置关系判定混淆半径和、半径差.临界条件判断错误. 3. 误用公共弦公式.在两圆无交点时强行求解公共弦方程. 4. 弦长计算忘记开根号、距离公式运算失误.基础计算失分. 5. 含参问题不分类讨论.默认直线、圆的固定形态. 6. 混淆公切线、公共弦的定义与适用场景.概念性出错. 题型01 直线与圆的位置关系 角度1：判断直线与圆的位置关系 【典例】直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 【变式】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】判出直线恒过定点，再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系. 【详解】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 角度2：利用直线与圆的位置关系求参数 【典例】已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆恒有公共点，由求解. 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 【变式】曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简式子可得，作出图形，然后转化成直线与该半圆有两个交点，数形结合可得结果. 【详解】由可得， 直线恒过，斜率为， 作出图象， 直线与圆相切， 当过D点的直线介于与之间时，直线与此半圆有两个交点，， 由与圆相切，可得，解得，故， 故直线与此半圆有两个交点时. 故选：B 题型02 圆的弦问题 角度1：求圆的弦长 【典例】直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 【变式】已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是  （    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到答案. 【详解】圆的标准方程为：， 由题意圆心到直线l的距离 （1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意， （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为， 综上，直线 l的方程为或． 故选：B． 角度2：圆的中点弦问题（最短弦长问题） 【典例】若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可. 【详解】的圆心为,半径， 因为为圆的弦的中点， 所以圆心与点确定的直线斜率为， 因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直， 所以弦所在直线的斜率为， 所以弦所在直线的方程为：， 即. 故选：A. 【变式】圆与直线交于A，B两点，则最小值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程求出圆的圆心和半径，再求出直线过定点，利用弦长公式和几何关系求最值. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线化为，令，所以， 所以直线过定点， 设圆心为，直线过定点为，根据几何关系可知，圆心到直线距离的最大值为，所以弦长最小值为. 故选：D. 角度3：圆中的三角形面积问题 【典例】圆的圆心坐标为P，且过点. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于M，N两点.求△PMN的面积. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用两点间距离公式求出半径即可. （2）利用点到直线距离公式以及勾股定理求出弦长，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）圆的半径.故圆的方程为. （2）圆心到直线的距离， 根据勾股定理可知弦长为 故. 【变式】直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围； 【详解】解：直线分别与轴，轴交于，两点， 令，得，令，得， ，，， 圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以 故选：A 题型02 圆的切线问题 角度1：求圆的切线方程 【典例】已知圆．求满足下列条件的切线方程． (1)过点； (2)过点． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题知点在圆，且切线斜率存在，进而根据切线与直线垂直求得切线斜率，最后根据点斜式求解即可； （2）根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为圆的圆心为，半径为，点在圆上， 所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直， 因为，所以，所求切线的斜率为， 所以，所求切线方程为，即：. （2）解：因为圆的圆心为，半径为， 所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即， 所以，圆心到切线的距离为，解得， 所以，切线方程为，即：. 综上，所求切线方程为或 【变式1】直线l经过点且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设切线l为，根据与圆相切、点线距离公式列方程求参数k，写出直线l的方程. 【详解】由题设，点在圆上，易知切线方程的斜率存在， 设切线方程的斜率为k，则切线方程为，即， ∴圆心到切线的距离，解得， 故切线方程为． 故选：B． 【变式2】过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切线为，即，由与圆相切，得，即可解决. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为1， 因为在圆外， 所以设切线为，即， 因为与圆相切， 所以，解得或， 所以切线的方程为，或， 故选：C 角度2：求圆的切线长 【典例】过点的直线与圆相切，则切线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为. 故选：C 【变式】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由直线上的点向圆引切线，切点为A，    则. 要使切线长最小，则最小，此时. 所以切线长的最小值为． 故选：B. 角度3：圆的切点弦问题 【典例】已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 【变式】过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 题型03几个代数式的最值（取值范围)问题 【典例】已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. (3)， 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解； （2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解； 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 【变式】已知实数对满足. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最小值； （3）求的最值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值； （2）设，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值，进而利用点到直线的距离等于半径求得的最小值； （3）是圆上点与原点距离之平方，故连接，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和，答案可得. 【详解】解：（1）方程，即 表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆. 设，即， 当圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，此时斜率分别取得最大、最小值， 由， 解得， 所以； （2）设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值. 由点到直线的距离公式，得，即或， 故； （3）是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大， 此时有， 则. 题型04直线与圆有关的定点、定值问题 【典例】经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果． 【详解】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 【变式】设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 【答案】C 【分析】讨论直线斜率不存在和存在时两种情况，存在时设，利用直线方程可分别求出，坐标，即可求出的表达式，化简可得答案. 【详解】由题得，，    ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C 题型05圆与圆的位置关系 角度1：判断圆与圆的位置关系 【典例】圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【变式】圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 角度2：利用圆与圆的位置关系求参数 【典例】已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【变式】已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 题型06两圆的公切线问题 角度1：公切线条数问题 【典例】已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 【变式】若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 角度2：求公切线方程 【典例】已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式】（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 角度3：求公切线长 【典例】已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【分析】连接两圆圆心，并延长，与直线交于点，再根据两圆外切及三角形相似求解即可. 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 题型07两相交圆的公共弦问题 角度1：求公共弦方程 【典例】已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为_________． 【答案】 【分析】利用两圆相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】依题意， ① ② ①②得：， 故公共弦方程为：． 故答案为：. 【变式】圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 角度2：求公共弦长 【典例】圆与圆的公共弦的弦长为_____． 【答案】 【分析】确定两圆圆心及其半径后可得两圆相交，将两圆方程作差则可得公共弦的方程，再借助点到直线距离公式及垂径定理计算即可得解. 【详解】由可得，故该圆以为圆心，为半径， 由可得， 故该圆以为圆心，为半径， 两圆心距离为， 两圆半径之和为，两圆半径之差为， 由，故两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆公共弦的方程为， 点到的距离为， 则两圆公共弦的弦长为. 故答案为：. 【变式】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 题型08圆系问题 【典例】圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 题型09直线与圆、圆与圆的位置关系的综合问题 【典例1】已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先代入点求得，再分截距为0与不为0两类，分别用斜截式、截距式求解直线方程. （2）先通过分离参数法求两直线的定点，确定圆的方程，再设直线斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式，求解斜率的取值范围. 【详解】（1）将代入， 得，故. 当直线过原点时，设方程为，代入得，方程为. 当直线不过原点时，设方程为，代入， 得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）对，整理为， 令，故定点. 对，令得，故定点. 圆以为直径，圆心为，半径，方程为. 设过的直线为，即. 由相交条件得，， 两边平方并化简得， 解得或， 所以斜率范围是. 【典例2】已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，外离 (2)或 【解题思路】（1）先直线与圆的位置关系结合韦达定理求出，从而求出圆的标准方程，得出圆心和半径，结合圆的圆心和半径求出圆心距，再比较圆心距与两圆半径之和的大小确定两圆的位置关系； （2）根据圆切点的性质，结合点在直线上，构造与的关系，再利用条件构造方程求出点坐标． 【解答过程】（1）圆 被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． （2） 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 【巩固训练】 1．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 2．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 3．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 4．圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 5．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【分析】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 6．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【分析】令，得，分析可判断A的正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 8．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 【答案】 【分析】根据直线所过的定点，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由直线， 所以该直线恒过， 由圆的标准方程可知圆心坐标为，半径为， 因为， 所以点在圆内， 因此当时，有最小值， 则， 故答案为： 9．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 【答案】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 10．已知圆和点． (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为E，F，求所在的直线方程． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用弦长公式可求出圆心到直线的距离，再分别讨论直线的斜率是否存在即可； （2）求出所在圆的方程，将两圆相减即可得出所在的直线方程． 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，    ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意；           ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 点也在该圆上，因此在两圆的公共弦上； 联立，两式相减整理可得， 即EF所在的直线方程为． 【强化训练】 1．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 3．已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 4．已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】设点，已知，且， 所以， 化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点， 所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得， 解得. 5．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 6．（多选）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 7．（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以 ， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 8．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 9．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______. 【答案】 【分析】先求出直线的方程并判断过定点，进而可得距离的最大值. 【详解】因点为直线上，所以设，而和均为直角三角形， 所以四点在一个圆上，圆心为的中点，直径为， 所以方程为，即， 与相减得直线的方程：，， 令，得，所以直线过定点. 根据平面几何知识，当时点到直线的距离最大，. 故答案为：. 10．在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线与圆、圆与圆的位置关系 重点目标： 1. 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义.熟练运用几何法、代数法两种方式判定位置关系. 2. 熟记圆心到直线的距离判定规则.掌握直线与圆相交的弦长公式、切线基础求解方法. 3. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义.能通过圆心距与半径和差关系判定位置关系. 4. 掌握两圆相交公共弦方程、公共弦长的求解方法.能区分两圆不同位置对应的交点个数. 5. 能运用直线与圆、圆与圆的位置关系解决基础计算题型. 难点目标： 1. 灵活区分几何法与代数法的适用场景.规避代数法运算繁琐、几何法漏特殊情况的问题. 2. 熟练求解过圆上、圆外一点的切线方程.精准处理切线斜率不存在的特殊情况.杜绝漏解. 3. 掌握含参数直线、含参数圆的位置关系分类讨论方法.根据参数范围判定图形位置关系. 4. 掌握两圆相切、内含、外离等特殊位置的临界条件.突破参数取值范围压轴题型. 5. 综合运用弦长、切线、公共弦、圆系方程知识解决几何综合问题. 1、 重点知识 （一）直线与圆的位置关系 · 核心判定依据：设圆的半径为.圆心到直线的距离为. 1. 相离：.直线与圆无公共点.无交点、无切线、无弦长. 2. 相切：.直线与圆有且仅有一个公共点.直线为圆的切线.仅有一条公共切线. 3. 相交：.直线与圆有两个不同公共点.直线为圆的割线.存在弦长. · 两种标准判定方法 1. 几何法（首选方法）：计算圆心到直线的距离.对比与的大小关系.运算简便、不易出错. 2. 代数法（通用方法）：联立直线与圆的方程.消元得到一元二次方程.通过判别式判定：相交.相切.相离. · 基础核心公式 3. 1. 弦长公式：直线与圆相交时.弦长. 4. 2. 切线基础性质：圆心与切点的连线垂直于切线.圆心到切线距离等于半径. （二）圆与圆的位置关系 · 核心判定依据：设两圆圆心分别为.半径分别为.圆心距. 1. 外离：.无公共点.存在4条公切线. 2. 外切：.1个公共点.存在3条公切线. 3. 相交：.2个公共点.存在2条公切线. 4. 内切：.1个公共点.存在1条公切线. 5. 内含：.无公共点.无公切线（时两圆同心）. · 两圆相交核心知识点 1. 公共弦方程：将两个圆的一般方程作差.消去二次项.所得一次方程即为两圆公共弦所在直线方程. 2. 公共弦性质：两圆圆心连线垂直平分公共弦. 3. 公共弦长：结合圆心到公共弦直线的距离.用弦长公式求解. 2、 难点知识 （一）高频易错难点（选择填空陷阱） 1. 切线漏解陷阱：过圆外一点存在两条切线.极易遗漏斜率不存在的竖直切线. 2. 判别式误区：代数法联立方程时.未整理成标准一元二次方程.导致计算错误. 3. 两圆位置关系漏情况：容易忽略内切、内含两种内含型位置关系.只记忆外离、外切、相交. 4. 公共弦适用前提：只有两圆相交时存在公共弦.相切、相离、内含无公共弦. 5. 同心圆判定：且半径不等为内含.半径相等为重合圆.极易判定失误. （二）核心难点题型 6. 切线方程综合求解：区分过圆上一点（唯一切线）和过圆外一点（两条切线）的不同解法.分类讨论斜率存在与不存在情况. 7. 弦长最值问题：过定点的直线截圆所得弦长.直径为最长弦.垂直于定点与圆心连线的弦为最短弦. 8. 两圆临界参数问题：已知两圆位置关系.反求方程中参数的取值范围.重点突破相切临界情况. 9. 公切线问题：根据两圆位置关系判断公切线条数.求解简单公切线方程. （三）压轴难点知识 1. 含参动态几何问题：动直线与定圆、定直线与动圆、双动圆的位置关系分析.结合参数变化分析图形动态规律. 2. 弦中点轨迹问题：利用垂径定理（圆心与弦中点连线垂直于弦）求解轨迹方程. 3. 两圆对称问题：求解圆关于直线对称的圆方程.结合位置关系、垂直平分性质解题. 4. 圆系方程拓展：过两圆交点的圆系方程、过直线与圆交点的圆系方程.简化综合大题运算. （四）拓展拔高知识 1. 几何最值拔高：圆上动点到定直线、定点的距离最值.圆上动点与直线上动点的距离最值. 2. 隐形圆综合：结合距离公式、垂直关系挖掘隐形圆.转化为直线与圆、圆与圆位置关系求解最值、范围问题. 3. 多圆综合压轴：多个圆的位置关系嵌套.结合公共弦、公切线、圆心距解决复杂几何问题. 4. 位置关系恒成立问题：直线与圆恒相切、恒相交、恒相离.转化为参数恒成立问题求解范围. 5. 数形结合核心思维：将解析几何代数运算转化为几何图形位置分析.简化复杂计算. （五）高频失分点汇总 1. 求解切线方程遗漏斜率不存在的特殊情况.造成漏解. 2. 两圆位置关系判定混淆半径和、半径差.临界条件判断错误. 3. 误用公共弦公式.在两圆无交点时强行求解公共弦方程. 4. 弦长计算忘记开根号、距离公式运算失误.基础计算失分. 5. 含参问题不分类讨论.默认直线、圆的固定形态. 6. 混淆公切线、公共弦的定义与适用场景.概念性出错. 题型01 直线与圆的位置关系 角度1：判断直线与圆的位置关系 【典例】直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【变式】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 角度2：利用直线与圆的位置关系求参数 【典例】已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 题型02 圆的弦问题 角度1：求圆的弦长 【典例】直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式】已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是  （    ） A． B．或 C． D．或 角度2：圆的中点弦问题（最短弦长问题） 【典例】若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】圆与直线交于A，B两点，则最小值为（    ） A．2 B． C．6 D． 角度3：圆中的三角形面积问题 【典例】圆的圆心坐标为P，且过点. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于M，N两点.求△PMN的面积. 【变式】直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 圆的切线问题 角度1：求圆的切线方程 【典例】已知圆．求满足下列条件的切线方程． (1)过点； (2)过点． 【变式1】直线l经过点且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 角度2：求圆的切线长 【典例】过点的直线与圆相切，则切线长为（    ） A． B． C． D． 【变式】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 角度3：圆的切点弦问题 【典例】已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【变式】过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 题型03几个代数式的最值（取值范围)问题 【典例】已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式】已知实数对满足. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最小值； （3）求的最值 题型04直线与圆有关的定点、定值问题 【典例】经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【变式】设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 题型05圆与圆的位置关系 角度1：判断圆与圆的位置关系 【典例】圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式】圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 角度2：利用圆与圆的位置关系求参数 【典例】已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型06两圆的公切线问题 角度1：公切线条数问题 【典例】已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式】若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 角度2：求公切线方程 【典例】已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 角度3：求公切线长 【典例】已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 题型07两相交圆的公共弦问题 角度1：求公共弦方程 【典例】已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为_________． 【变式】圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 角度2：求公共弦长 【典例】圆与圆的公共弦的弦长为_____． 【变式】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 题型08圆系问题 【典例】圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型09直线与圆、圆与圆的位置关系的综合问题 【典例1】已知直线与直线 (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (2)若点，点为直线过的定点，点为直线过的定点，圆是以为直径的圆.求过点的直线与圆相交的斜率范围. 【典例2】已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固训练】 1．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 2．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 6．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 7．（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 8．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 9．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 10．已知圆和点． (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为E，F，求所在的直线方程． 【强化训练】 1．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 3．已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 7．（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 8．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 9．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______. 10．在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $