专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，先通过方程组解的情况判断两直线相交、平行、重合的位置关系，再系统梳理两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离公式，构建从代数求解到几何应用的学习支架。 该资料以知识点分块与题型分类结合，设“即学即练”和“典例+变式”模块，通过对称问题中坐标转化、距离最值求解等实例，培养学生几何直观的数学眼光和逻辑推理的数学思维，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固公式应用，弥补知识盲点。

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 教学目标 1. 掌握两直线交点坐标的求解方法，能通过方程组解的情况判断两直线相交、平行、重合的位置关系。 2. 熟练掌握两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离三组公式，并能准确代入计算。 3. 学会运用距离公式解决几何求值、最值、位置判定问题，提升数形结合与代数运算解题能力。 教学重难点 重点 1. 利用二元一次方程组求解两条直线的交点坐标。 2. 两点间距离公式、点到直线的距离公式的理解与熟练应用。 3. 两条平行直线间距离公式的推导及实际运算应用。 难点 1. 根据方程组解的个数，准确区分两直线相交、平行、重合三种位置关系。 2. 点到直线距离公式的灵活运用，处理含参数直线的距离求解问题。 3. 辨析三类距离公式的适用场景，在综合题型中精准选用公式，避免混用、错用。 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【即学即练】 1．（多选）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为______． 知识点02 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】 1．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 3．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 知识点03 两点间的距离公式 两点间的距离公式为 【即学即练】 1．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 2．设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 3．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 知识点04 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【即学即练】 1．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 2．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 3．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 知识点05 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【即学即练】 1．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 2．已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 3．直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型01 判断两直线的位置关系 判断两直线位置关系，可联立直线方程，依据方程组解的情况判定：一解则相交，无解则平行，无数解则重合。使用一般式系数比值判定，能避开斜率不存在带来的漏解。若用斜率判断，要先确认两条直线斜率均存在。求解含参数问题，必须区分平行与重合，不能只看斜率相等。算出参数后一定要回代检验，结合图形辅助理解，防止出现错解，准确区分相交、平行、重合三类情况。 【典例1】判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【变式1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式2】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 题型02 过两条直线交点的直线系方程 使用过两直线交点的直线系方程，将两条直线方程整理为一般式，构造l1+m l2=0，该式子恒过两直线交点。注意直线系无法表示l2本身，做题结束要单独检验l_2是否为题目解，防止漏解。优先用于求过交点的平行、垂直直线，简化计算。处理含参问题，结合题意对参数分类，求出结果后，代入交点坐标验证。不能盲目套用公式，必要时联立方程组求出交点再运算。 【典例1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【变式1】已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 【变式2】已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 题型03 交点问题 求解直线交点，联立两直线的一般式方程组，方程组有唯一解即为交点坐标。若无解，两直线平行；有无穷多组解，则两直线重合。遇到含参数题目，不能只依靠斜率判断，优先使用一般式系数分析，规避斜率不存在的漏解。若求过交点直线，可选用直线系方程简化运算，但要留意直线系遗漏的那条直线。算出结果务必回代检验，结合图像辅助审题，区分相交、平行、重合，避免出现错解。 【典例1】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【变式2】直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型04 对称问题 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【典例1】在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【变式1】一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型05 两点间的距离 两点间距离公式，已知两点坐标，代入公式直接运算，注意横、纵坐标作差后平方，顺序不影响最终结果。计算时细心处理正负坐标，避免符号出错。遇到含参数的两点距离，平方后常会得到二次方程，注意多解情况。公式可结合几何图形使用，用于判断线段长度、等腰三角形、平行四边形等几何问题。算出结果后，可简单估算数值大小检验，同时分清两点距离与坐标差的区别，不要混淆概念。 【典例1】对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【变式1】函数的最大值是__________. 【变式2】已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 题型06 点到直线的距离 运用点到直线距离公式，先要把直线整理成一般式Ax+By+C=0，再代入点坐标计算。注意分子要带上绝对值，防止距离出现负值。处理含参数题型，注意对参数取值分类讨论。若直线斜率不存在，可直接数形求解，不必硬套公式。该公式常用来求三角形的高、平行线间距。计算完成后简单核验，警惕代入坐标时符号出错，区分点到直线距离与两点间距离，避免公式混用。 【典例1】已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式1】已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 【变式2】（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型07 两平行直线间的距离 求两条平行线间距离，先要将两直线化为一般式，保证x、y的系数完全一致，才可套用距离公式。切忌直接代入系数不等的方程计算，这是高频易错点。可转化为在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离。遇到含参问题，先验证两直线确实平行，再计算距离。注意距离一定是非负数，计算完成核对符号，结合几何意义检验，避免公式误用。 【典例1】已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【变式1】直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 题型08 两平行直线间的距离 线段和与差的最值，常用对称点法，借助直线作定点的对称点，转化两点之间线段最短求解。求线段和最小，作对称点，连线与直线交点即为动点位置；求线段差最大，两点在直线异侧时先对称，再连线求交点。做题优先画图分析位置，分清定点在直线同侧还是异侧，避免模型用错。算出交点后回代验证，结合三角形三边关系判断最值，注意区分有无取值限制，警惕取得最值的点不在线段上的陷阱。 【典例1】已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式1】已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【变式2】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 1．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 3．点到直线与直线的距离之和为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 4．（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 7．直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 1．已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 2．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 3．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 4．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 6．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或2 C．当时，与的距离为 D．若不经过第三象限，则 8．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 9．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 教学目标 1. 掌握两直线交点坐标的求解方法，能通过方程组解的情况判断两直线相交、平行、重合的位置关系。 2. 熟练掌握两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离三组公式，并能准确代入计算。 3. 学会运用距离公式解决几何求值、最值、位置判定问题，提升数形结合与代数运算解题能力。 教学重难点 重点 1. 利用二元一次方程组求解两条直线的交点坐标。 2. 两点间距离公式、点到直线的距离公式的理解与熟练应用。 3. 两条平行直线间距离公式的推导及实际运算应用。 难点 1. 根据方程组解的个数，准确区分两直线相交、平行、重合三种位置关系。 2. 点到直线距离公式的灵活运用，处理含参数直线的距离求解问题。 3. 辨析三类距离公式的适用场景，在综合题型中精准选用公式，避免混用、错用。 知识点01 直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 【即学即练】 1．（多选）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 3．已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为______． 【答案】 【分析】由垂直求得直线的方程，列方程组求得B点的坐标. 【详解】∵△ABC的高CD所在直线方程为，∴直线AB的斜率． 又△ABC的顶点，∴直线AB的方程为，即． 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为， ∴联立得∴B点坐标为． 故答案为：. 知识点02 过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【即学即练】 1．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 2．过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 3．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 知识点03 两点间的距离公式 两点间的距离公式为 【即学即练】 1．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 2．设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【答案】(1)证明：假设直线与不相交，则直线与平行或重合，有， 又，得，此时无实数解，从而，即直线与相交； (2)证明：设直线与的交点为点， 解方程组，得，则点， 设原点为， 则， 即直线与的交点到原点的距离为定值1． 【分析】（1）借助反证法证明即可得； （2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证. 3．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 知识点04 点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 【即学即练】 1．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 2．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 3．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明：将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 知识点05 两平行线间的距离 ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 【即学即练】 1．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 2．已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 3．直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 题型01 判断两直线的位置关系 判断两直线位置关系，可联立直线方程，依据方程组解的情况判定：一解则相交，无解则平行，无数解则重合。使用一般式系数比值判定，能避开斜率不存在带来的漏解。若用斜率判断，要先确认两条直线斜率均存在。求解含参数问题，必须区分平行与重合，不能只看斜率相等。算出参数后一定要回代检验，结合图形辅助理解，防止出现错解，准确区分相交、平行、重合三类情况。 【典例1】判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 【变式1】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【变式2】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 题型02 过两条直线交点的直线系方程 使用过两直线交点的直线系方程，将两条直线方程整理为一般式，构造l1+m l2=0，该式子恒过两直线交点。注意直线系无法表示l2本身，做题结束要单独检验l_2是否为题目解，防止漏解。优先用于求过交点的平行、垂直直线，简化计算。处理含参问题，结合题意对参数分类，求出结果后，代入交点坐标验证。不能盲目套用公式，必要时联立方程组求出交点再运算。 【典例1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【变式1】已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别证明三角形三个内角的余弦值为正数，即可证明为锐角三角形； （2）通过联立两边中线，得到交点，验证其是否在第三边的中线上，即可完成证明. 【详解】（1）证明：因为， 所以，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； 所以，为锐角三角形； （2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为. 所以得中线所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，中线所在的直线方程为， 联立，解得交点， 检验可知交点满足中线所在的直线方程， 故的三条中线交于一点. 【变式2】已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 题型03 交点问题 求解直线交点，联立两直线的一般式方程组，方程组有唯一解即为交点坐标。若无解，两直线平行；有无穷多组解，则两直线重合。遇到含参数题目，不能只依靠斜率判断，优先使用一般式系数分析，规避斜率不存在的漏解。若求过交点直线，可选用直线系方程简化运算，但要留意直线系遗漏的那条直线。算出结果务必回代检验，结合图像辅助审题，区分相交、平行、重合，避免出现错解。 【典例1】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 【变式1】已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 【变式2】直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 题型04 对称问题 （1）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为 （2）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （3）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【典例1】在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【变式1】一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 【变式2】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 题型05 两点间的距离 两点间距离公式，已知两点坐标，代入公式直接运算，注意横、纵坐标作差后平方，顺序不影响最终结果。计算时细心处理正负坐标，避免符号出错。遇到含参数的两点距离，平方后常会得到二次方程，注意多解情况。公式可结合几何图形使用，用于判断线段长度、等腰三角形、平行四边形等几何问题。算出结果后，可简单估算数值大小检验，同时分清两点距离与坐标差的区别，不要混淆概念。 【典例1】对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 【变式1】函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 【变式2】已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 题型06 点到直线的距离 运用点到直线距离公式，先要把直线整理成一般式Ax+By+C=0，再代入点坐标计算。注意分子要带上绝对值，防止距离出现负值。处理含参数题型，注意对参数取值分类讨论。若直线斜率不存在，可直接数形求解，不必硬套公式。该公式常用来求三角形的高、平行线间距。计算完成后简单核验，警惕代入坐标时符号出错，区分点到直线距离与两点间距离，避免公式混用。 【典例1】已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 【变式1】已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则即为所求距离；再在直角三角形中，通过勾股定理求出和，进而算出斜边. （2）先通过中位线证明平面，将线面距离转化为点到该平面的距离；再利用等体积法，以三棱锥 和体积相等列方程，由已知底面积和高求出距离. 【详解】（1）连结、， ∵平面平面，所以. 因为，平面，所以平面，因此. 就是点到直线的距离． 在中， ，， ， 即点到直线的距离为． （2）设与交于点E，连结 则，面． 又与面交于的中点D， 到平面的距离等于C点到面的距离，也就等于三棱锥的高． ， ． ， ∴直线到平面的距离是． 【变式2】（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 题型07 两平行直线间的距离 求两条平行线间距离，先要将两直线化为一般式，保证x、y的系数完全一致，才可套用距离公式。切忌直接代入系数不等的方程计算，这是高频易错点。可转化为在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离。遇到含参问题，先验证两直线确实平行，再计算距离。注意距离一定是非负数，计算完成核对符号，结合几何意义检验，避免公式误用。 【典例1】已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 【变式1】直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 【变式2】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 题型08 两平行直线间的距离 线段和与差的最值，常用对称点法，借助直线作定点的对称点，转化两点之间线段最短求解。求线段和最小，作对称点，连线与直线交点即为动点位置；求线段差最大，两点在直线异侧时先对称，再连线求交点。做题优先画图分析位置，分清定点在直线同侧还是异侧，避免模型用错。算出交点后回代验证，结合三角形三边关系判断最值，注意区分有无取值限制，警惕取得最值的点不在线段上的陷阱。 【典例1】已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    【变式1】已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 【变式2】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    1．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 2．已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 3．点到直线与直线的距离之和为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先求出点到两直线的距离，再求和即可； 【详解】点到直线的距离为，到直线的距离为， 故点到直线与直线的距离之和为7． 故选：D. 4．（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 5．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 6．已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标. （2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程. 【详解】（1）经过点且与垂直的直线为：：，即. 由. 所以直线和直线的交点坐标为：. （2）因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设：. 交轴于点：，交轴于点：. 由或. 所以的方程为：或. 7．直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程. 【详解】联立方程组解得，即交点为， ，∴，∴，即. 故选：B 8．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 9．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反射原理，先求出点关于直线的对称点的坐标，再求直线的方程即可. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 依题意，反射光线即直线，因，则直线的斜率为， 于是反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 10．，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 1．已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 2．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 【答案】/ 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 3．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C    5．已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出交点，再根据斜率是否存在分类讨论即可； （2）先求出上一点关于直线的对称点，再结合（1）求出的点即可求出直线的方程， 再结合（1）所求的的方程即可求出两点，进而求出． 【详解】（1）联立方程，解得，∴， ①当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足原点到的距离为2； ②当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， ∴原点到该直线的距离为，解得， ∴直线的方程为， 综上所述，符合题意的直线的方程为或． （2）如图，在上取一点，设点M关于直线的对称点为，连接MN，      则，解得， ∴， 又，作直线CN， ∴直线CN的方程即为所求直线的方程，即， 化简得， 令中的，得，即， 若为，则， 若为，令中的，得，则， 综上，或． 6．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 7．（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或2 C．当时，与的距离为 D．若不经过第三象限，则 【答案】ABC 【分析】把直线方程化为可得选项A正确；根据垂直公式可得选项B正确；利用两平行线间距离公式可得选项C正确；根据时结论成立可得选项D错误. 【详解】A.由得， 由得，直线始终过定点，选项A正确. B.由得，解得或2，选项B正确. C. 当时，：，即，：， 与的距离为，选项C正确. D.当时，：，不经过第三象限，选项D错误. 故选：ABC. 8．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) 因为直线， 即， 所以直线恒过定点. (2) (3)； 【分析】（1）利用直线方程直接求解恒过的定点即可； （2）在直线上取一点，求出其关于的对称点，再结合联立直线和求出的点，即可利用点斜式方程求出所求直线方程； （3）根据已知条件得到的范围，表示出的面积，利用基本不等式即可求出最小值，以及此时直线的方程. 【详解】（1）略 （2）由题知，直线方程为， 设直线关于直线对称的直线为，如图， 联立，解得， 即直线过， 在直线上取，设其关于的对称点为， 则，解得， 即直线过， 所以直线方程为， 即直线方程为. （3）由题知，， 则， 且，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为， 即， 综上，的最小值为， 且此时直线的方程为. 9．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，得到的方程，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】由，所以，则，所以可得， 根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为. 故选：C. 10．（多选）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】由点到线的距离即可求得A选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点在直线的两侧即可求得参数的范围判断B选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最小值判断C选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断D选项. 【详解】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确. 故选：ABD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $