专题06 直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式核心内容，系统梳理线段中点坐标公式、两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离、双根式、直线交点坐标及直线系方程等知识点，从基础公式到交点求解与位置关系判断，再到综合应用，构建递进式学习支架。 资料以高频考点为纲，涵盖选择、填空、解答及新定义题型，通过参数分类讨论（如三线围成三角形问题）培养数学思维的推理能力，结合双根式转化距离问题渗透数学眼光，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题06 直线的交点坐标与距离公式高频考点精讲 知识点1： 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点2：两点间距离 设，则 知识点3：点到直线距离 设，，则点到直线的距离． 知识点4：两平行线间距离 ，，则的距离为． 知识点5：双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点6：两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 知识点7：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点一　直线交点坐标及其求参 考点二　三线能围成三角形的问题 考点三　直线交点系方程及应用 考点四　求平面两点间的距离及其求参 考点五　由顶点坐标判断三角形的形状 考点六　用两点间的距离公式求最值 考点七　求点到直线的距离及其求参 考点八　求到两点距离相等的直线方程 考点九　直线围成图形的面积问题 考点十　求平行线间的距离及其求参 考点十一　由距离求已知直线的平行线 考点十二　距离新定义 考点一　直线交点坐标及其求参 1．（2026高二·全国·专题练习）（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 【答案】（1） 交点坐标为； ； （2） 当时，垂足坐标为；当时，垂足的坐标为. 【详解】（1）联立，解得， 故两直线，的交点坐标为； 图形如下： （2）由于，所以， 解得或. 当时，，， 由解得，即垂足坐标为. 当时， ，， 两直线的交点，也即垂足的坐标为. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则______. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 5．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 6．（25-26高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 考点二　三线能围成三角形的问题 7．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 【答案】（1）；（2）0，，. 【分析】（1）根据斜率相等可求出结果； （2）分三种情况由两条直线垂直求出,再验证能否构成三角形，可得解. 【详解】（1）当时，与不平行， 当时，由得，即，所以，经验证符合题意； （2）由题意，若和垂直可得：，解得，由（1）知当时，，构不成三角形， 当时，经验证符合题意； 故； 同理，若和垂直可得：，解得，应舍去； 若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意； 故m的值为：0，，. 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成任何一封闭图形的的值． 【详解】①三条直线交于同一点，不能围成封闭图形， 由，得，得交点． 直线过点，可得，得； ②若直线与直线平行时，则，解得； ③若直线与直线平行时，则，解得. 综上所述：或或． 故选：ACD ． 9．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 【答案】AC 【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行. 【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以． 故选：AC. 10．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【详解】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 11．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 【答案】(1)2； (2)当m≠2且m≠－2且m≠. 【分析】(1)联立和的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入的方程即可求出m的值； (2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的值，则答案可求． 【详解】（1）由解得，代入的方程，得m＝2. （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形． ①联立，解得，代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且时，三条直线能构成三角形． 12．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线，直线，直线． (1)若与的倾斜角互补，求m的值； (2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形． 【答案】(1) (2)0，，. 【分析】（1）根据题意得，进而求解得答案； （2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案. 【详解】（1）解：因为与的倾斜角互补， 所以， 直线变形为，故 所以，解得 （2）解：由题意，若和垂直可得：，解得， 因为当时，，，，构不成三角形， 当时，经验证符合题意； 故； 同理，若和垂直可得：，解得，舍去； 若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意； 故m的值为：0，，. 考点三　直线交点系方程及应用 13．（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 14．（25-26高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点_______ 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 15．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 16．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 考点四　求平面两点间的距离及其求参 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 18．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 19．（25-26高三上·广东·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得. 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 20．（25-26高二·全国·课后作业）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 考点五　由顶点坐标判断三角形的形状 21．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 22．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 23．（25-26高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 24．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案. 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 考点六　用两点间的距离公式求最值 25．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 26．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 27．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 28．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 【答案】 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 考点七　求点到直线的距离及其求参 29．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 30．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知的顶点、、． (1)求边的中线所在直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）先求得线段AB的中点坐标为，再由点求解； （2）先求得直线AB的方程，再求得点C到直线AB的距离及，再利用面积公式求解. 【详解】（1）由点、，得线段AB的中点坐标为，又， 则，所以边的中线所在直线方程为， 即； （2）由已知的顶点、、， 得， 所以直线AB的方程为：，即； 点C到直线AB的距离为：， ， 所以. 31．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 32．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 考点八　求到两点距离相等的直线方程 33．（25-26高二上·浙江·期中）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． （2）因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以的直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 34．（25-26高二上·吉林·期中）（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 35．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 36．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）过点，且与点，的距离相等的直线l的方程可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分两种情况讨论：①；②直线过线段的中点.求出两种情况下直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】分以下两种情况讨论： ①若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； ②若直线过线段的中点，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述：直线的方程为或. 故选：AB. 考点九　直线围成图形的面积问题 37．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 38．（25-26高二上·福建福州·期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形，则，则， 所以，直线的方程为，即. （2）解：直线的方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以，平行四边形的面积为. 39．（25-26高二上·湖南怀化·阶段检测）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时直线的方程为 【分析】（1）根据直线不经过第三象限以及直线所过定点，求得的取值范围. （2）求得的表达式，利用基本不等式求得的最小值，进而求得直线的方程. 【详解】（1）直线，， 直线过定点， 若直线不经过第三象限，所以， 即的取值范围是. （2）直线，，直线过定点，斜率存在， 依题意，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，则， 由，令，得；令得， 所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 此时直线的方程是. 40．（25-26高二上·安徽六安·期中）三角形的三个顶点是，，． (1)求边的中线所在直线的一般方程； (2)求边的高所在直线的一般方程． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)5. 【分析】（1）计算中点坐标，得到，计算得到直线方程. （2）根据垂直关系得到，再计算直线方程即可. （3）计算所在的直线方程，联立得到交点，再计算面积得到答案. 【详解】（1），的中点，， 故直线方程为，即. （2），则高的斜率为，直线方程为，即. （3）设与交于点，，即，， 解得，即，. 考点十　求平行线间的距离及其求参 41．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. 42．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 43．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 44．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（多选）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行线间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】由题意可知，所以与间的距离， 解得或. 故选：BC 考点十一　由距离求已知直线的平行线 45．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 46．（25-26高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为__________． 【答案】 【分析】假设方程，利用平行直线间距离公式可构造方程求得结果. 【详解】直线不过原点且与平行，可设直线， 与之间的距离，解得：或（舍）， 直线的一般式方程为：. 故答案为：. 47．（25-26高二·全国·课堂例题）（1）已知直线l与两直线和平行且距离相等，求l的方程． （2）已知直线过点，过点，如果，且与之间的距离为5，求，的方程． 【答案】（1） （2），或， 【分析】（1）先根据平行设方程，然后根据距离相等列式求出，从而得解； （2）先设出方程（注意讨论斜率是否存在），然后根据距离即可求解. 【详解】（1）设所求直线l的方程为（，）， 则由题意可得，解得， 故直线l的方程为． （2）①当直线斜率存在时，设直线的斜率为k， 则的方程为，即， 的方程为，即， 则直线与间的距离，∴， 故的方程为，的方程为． ②若，的斜率不存在，则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上，满足条件的直线方程有两组，即，或，． 48．（25-26高一下·上海杨浦·期末）已知直线：. (1)若直线：求直线与直线的夹角； (2)若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线、的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角； （2）依题意设直线的一般式方程为，利用两平行直线间的距离公式求解即可． 【详解】（1）因为直线，斜率， 直线，斜率， 因为，所以， 即直线与直线的夹角为； （2）若直线与直线的距离等于，则， 设直线的一般式方程为，则， 解得， 所以直线的一般式方程为． 考点十二　距离新定义 49．（25-26高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 50．（25-26高二上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】由题意设，可知，，根据点到点，的“折线距离”相等，可得，即可求解. 【详解】    设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出点，根据折线距离的计算公式列出相关的式子，由，的取值去掉绝对值符号求解即可. 51．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 /0.5； 4. 【分析】设出点的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4. 故答案为：；4. 52．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为____________；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为____________. 【答案】 4 【分析】第一空：直接根据“t距离”的定义计算即可求解；第二空：根据“t距离”的定义分两种情况讨论得出A点的轨迹是正方形的四条线段；由此即可得解. 【详解】第一空：点与点之间的“t距离”为 ； 第二空：若平面内点和点之间的“t距离”为， 则， 不妨设，解得或，此时，即， 由对称性可知，当或时，，如图所示：   ，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段， 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为. 故答案为：；4. 【点睛】关键点点睛：关键是严格按照“t距离”的定义进行计算，由此即可顺利得解. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线的交点坐标与距离公式高频考点精讲 知识点1： 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点2：两点间距离 设，则 知识点3：点到直线距离 设，，则点到直线的距离． 知识点4：两平行线间距离 ，，则的距离为． 知识点5：双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解． 知识点6：两条直线的交点坐标 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 知识点7：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 考点一　直线交点坐标及其求参 考点二　三线能围成三角形的问题 考点三　直线交点系方程及应用 考点四　求平面两点间的距离及其求参 考点五　由顶点坐标判断三角形的形状 考点六　用两点间的距离公式求最值 考点七　求点到直线的距离及其求参 考点八　求到两点距离相等的直线方程 考点九　直线围成图形的面积问题 考点十　求平行线间的距离及其求参 考点十一　由距离求已知直线的平行线 考点十二　距离新定义 考点一　直线交点坐标及其求参 1．（2026高二·全国·专题练习）（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则______. 5．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 考点二　三线能围成三角形的问题 7．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（    ） A． B． C． D．－2 10．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 12．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线，直线，直线． (1)若与的倾斜角互补，求m的值； (2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形． 考点三　直线交点系方程及应用 13．（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 14．（25-26高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点_______ 15．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 考点四　求平面两点间的距离及其求参 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 18．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求__________. 19．（25-26高三上·广东·阶段检测）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二·全国·课后作业）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为________． 考点五　由顶点坐标判断三角形的形状 21．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 22．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 23．（25-26高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 24．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 考点六　用两点间的距离公式求最值 25．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 28．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为________． 考点七　求点到直线的距离及其求参 29．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知的顶点、、． (1)求边的中线所在直线方程； (2)求的面积. 31．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 32．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 考点八　求到两点距离相等的直线方程 33．（25-26高二上·浙江·期中）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 34．（25-26高二上·吉林·期中）（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）过点，且与点，的距离相等的直线l的方程可能为（      ） A． B． C． D． 考点九　直线围成图形的面积问题 37．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 38．（25-26高二上·福建福州·期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、. (1)求所在的直线方程； (2)求平行四边形的面积. 39．（25-26高二上·湖南怀化·阶段检测）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 40．（25-26高二上·安徽六安·期中）三角形的三个顶点是，，． (1)求边的中线所在直线的一般方程； (2)求边的高所在直线的一般方程． (3)求三角形的面积． 考点十　求平行线间的距离及其求参 41．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 42．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 44．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（多选）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 考点十一　由距离求已知直线的平行线 45．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 46．（25-26高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为__________． 47．（25-26高二·全国·课堂例题）（1）已知直线l与两直线和平行且距离相等，求l的方程． （2）已知直线过点，过点，如果，且与之间的距离为5，求，的方程． 48．（25-26高一下·上海杨浦·期末）已知直线：. (1)若直线：求直线与直线的夹角； (2)若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程. 考点十二　距离新定义 49．（25-26高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 50．（25-26高二上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______． 51．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______. 52．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为____________；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为____________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $