2.4.1 圆的标准方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“圆的标准方程”核心知识点，先明确圆心为(a,b)、半径为r时的标准方程及原点圆心的特例，再通过几何与代数方法构建点与圆位置关系的判断体系，形成从概念到应用的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，求圆方程涵盖不同条件（如与y轴相切、直径端点），点与圆位置关系结合符号运算培养推理意识，最值问题渗透几何直观，助力学生用数学思维解决问题。课中辅助教师系统授课，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.4.1 圆的标准方程 知识点一、圆的标准方程 1.条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. 2.圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 几何法判断 代数法判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 题型一：求圆的标准方程 例1.求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程. 跟踪训练： 1.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 2.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________． 3.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 题型二：点与圆的位置关系的运用 例1.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 例2.已知点，圆，若点在圆上，则实数 .若点在圆外，则实数的取值范围为 . 跟踪训练： 1.已知是方程的两个不相等的实数根，则点与圆的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法确定 2.已知点M(，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为 ． 3.已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部. 题型三：与圆有关的最值问题 例1.已知点，点是圆上的任一点. （1）当时，求的最大值； （2）若的最小值为，求的值. 例2.若动点在圆上，则的最大值是 . 跟踪训练： 1.已知圆，点在圆上，则的最大值为 ，最小值为 . 2.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 3.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值． 4.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． （1）求的最大值与最小值； （2）求x－2y的最大值与最小值． 1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 3.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝100 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 5.已知圆与圆关于原点对称，则圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 6.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为 ． 7.已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值 和最小值 ． 8.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是 ． 1.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　) A.π B．2π C．2π D．2π 2.若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,5) B．[0,5] C．(－∞，5) D．(0，＋∞) 3.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 4.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－y＋2＝0 5.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝ . 8.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 9.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为 . 10.已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为 . 11.已知，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 12.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为 . 13.已知,,,,判断四个点是否在同一个圆上. 14.已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程． 15.已知点A(－1,2)和B(3,4)．求： (1)线段AB的垂直平分线l的方程； (2)以线段AB为直径的圆的标准方程． 16.圆过点和，且圆在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1 圆的标准方程 知识点一、圆的标准方程 1.条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. 2.圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3.特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 几何法判断 代数法判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 题型一：求圆的标准方程 例1.求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程. 解：方法1：设圆的标准方程为， 则，解得.所以圆的标准方程为. 方法2：设圆心，则由， ， 解得，所以圆心坐标为，， 所以圆的标准方程为. 方法3：几何性质法 连接，则线段的中点坐标为，， 所以弦的垂直平分线的方程为.由，解得， 所以圆心的坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. 跟踪训练： 1.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 解：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.故答案为：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 2.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________． 解：∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故答案为：(x－1)2＋(y－2)2＝25. 3.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 题型二：点与圆的位置关系的运用 例1.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 解：由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．故选：B. 例2.已知点，圆，若点在圆上，则实数 .若点在圆外，则实数的取值范围为 . 解：由题意得，当点在圆上时，有，解得或. 当点在圆外时，，解得或， 即实数的取值范围为.故答案为或；. 跟踪训练： 1.已知是方程的两个不相等的实数根，则点与圆的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法确定 解：由题意，得，所以，所以点在圆内.故选：A. 2.已知点M(，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为 ． 解：由题意知,即，解得0≤a<1.故答案为：[0,1). 3.已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． 解：(1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5. (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5. (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0. 题型三：与圆有关的最值问题 例1.已知点，点是圆上的任一点. （1）当时，求的最大值； （2）若的最小值为，求的值. 解：圆的圆心的坐标为， 由两点间的距离公式得. （1）由知，点在圆外，所以. （2）当点在圆外时，，即，即； 当点在圆内时，，即，即. 故满足条件的的值为或. 例2.若动点在圆上，则的最大值是 . 解：由，得. 又可化为，所以. 圆，即是一个封闭图形，表示以为圆心，为半径的圆，所以的取值范围不是R，而是. 所以. 因为，所以当时，取得最大值，最大值为. 跟踪训练： 1.已知圆，点在圆上，则的最大值为 ，最小值为 . 解：由题意知表示坐标原点到圆上的点的距离的平方，显然当圆上的点与原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.如图， 圆的圆心为，半径为，因为原点到圆心的距离，故原点在圆外，所以圆上的点到原点的最大距离为，最小距离为.因此的最大值和最小值分别为和.故答案为：和. 2.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74. 3.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值． 解：因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆， 所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离，如图． 连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2. 则当M位于A2位置时，取得最大值， 为|AC|＋r＝＋2＝7. 当M位于A1位置时，取得最小值， 为|AC|－r＝－2＝3. 即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9. 4.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点． （1）求的最大值与最小值； （2）求x－2y的最大值与最小值． 解：（1）显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示， 则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率． 对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴＝1，∴k＝. 故的最大值是，最小值是. （2）令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得，解得u＝－2±， 故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－. 1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 解：由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.故选：A. 2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解：∵，故点P在圆内.故选：B. 3.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝100 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 解：由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝|AB|＝， 所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故选：D. 4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解：设圆的圆心为C(0，b)，则，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.故选：A. 5.已知圆与圆关于原点对称，则圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解：圆的圆心为，半径为.由题意知，圆的圆心与圆的圆心关于点对称，圆的半径与圆的半径相等，所以圆的圆心为，半径为.所以圆的标准方程为.故选：A. 6.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为 ． 解：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，，解得：或. 故答案为：. 7.已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值 和最小值 ． 解：圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝，大于半径r＝1， 故P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝，最小值为d－r＝. 故答案为：，. 8.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是 ． 解：设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)， 则，解得：.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1. 故答案为：(x－4)2＋y2＝1. 1.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　) A.π B．2π C．2π D．2π 解：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π.故选：B. 2.若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,5) B．[0,5] C．(－∞，5) D．(0，＋∞) 解：由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以0<m<5.故选A. 3.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 解：如图，结合圆的性质可知，原点在圆上， 圆的半径为r＝＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选：B. 4.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－y＋2＝0 解：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选：C. 5.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 解：设圆的圆心坐标为. 圆，圆心为，半径为. 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆与圆的圆心关于直线对称，且圆的半径为， 则有所以圆的方程为.故选：B. 6.在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：如图， 由已知得点在圆上，点在直线上，故表示圆上的点和直线上的点的距离的平方，而距离的最小值为，故的最小值为.故选：B. 7.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝ . 解：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋()2＝4＝m2，∴m＝±2.故答案为：±2. 8.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 解：将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)， 从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.故答案为：(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 9.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为 . 解：的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为＋1.故答案为：＋1. 10.已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为 . 解：(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方． 由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离， 即d＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故答案为：. 11.已知，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 解：方法1：设所求圆的标准方程为，由题意知，所求圆的圆心为的中点，且半径.由得圆心坐标为. 由，得. 所以所求圆的标准方程为. 方法2：设为圆上任意一点，则，由圆的性质知，所以，即，整理得圆的标准方程为. 故答案为：29. 12.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为 . 解：由已知圆(x－1)2＋y2＝1，设其圆心为C1，则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1. 设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)， 则，解得：.所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1. 故答案为：x2＋(y＋1)2＝1. 13.已知,,,,判断四个点是否在同一个圆上. 解：方法1：设过三点的圆的标准方程为， 则，解得. 所以圆的标准方程为. 将点的坐标代入，得， 即点在圆上，所以四个点在同一个圆上. 方法2：几何性质法由题意得是直角三角形，且， 所以外接圆的圆心就是线段的中点，设圆心坐标为， 由中点坐标公式得.即外接圆的圆心坐标为. 又，所以圆的标准方程为. 将点的坐标代入，得， 所以点在圆上，即四个点在同一个圆上. 14.已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程． 解：设圆C2的圆心坐标为(m，n)．因为直线l的斜率k＝， 圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2， 所以，由对称性知，解得：. 所以圆C2的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4. 15.已知点A(－1,2)和B(3,4)．求： (1)线段AB的垂直平分线l的方程； (2)以线段AB为直径的圆的标准方程． 解：由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3)． (1)∵A(－1,2)，B(3,4)，∴直线AB的斜率kAB＝. ∵直线l垂直于直线AB，∴直线l的斜率kl＝＝－2， ∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0. (2)∵A(－1,2)，B(3,4)，∴|AB|＝， ∴以线段AB为直径的圆的半径r＝|AB|＝. 又圆心为C(1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 16.圆过点和，且圆在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆的方程. 解：如图，设圆截轴所得的弦分别为，连接，过点作，垂足分别为. 因为圆在两坐标轴上截得的弦长相等，即，所以它们的一半也相等，即.又，所以， 所以.设，则.① 因为圆过点和，所以圆心在的垂直平分线上， 易得的垂直平分线方程为， 即，所以.② 由①知，代入②得或. 又半径，所以或. 故圆的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $