2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式核心知识点，系统梳理直线交点求解及位置关系判断，两点间距离、点到直线及平行线间距离公式，以及直线对称问题。作为解析几何基础，承接直线方程知识，为后续学习提供完整知识支架。 资料按14题型分类，例题覆盖基础应用与综合拓展，通过坐标法解决几何问题培养数学语言表达能力，通过参数求解与最值问题发展推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与创新意识。

-2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类 一、两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关． 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 三、点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长 图示 公式 点P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝ （一） 求相交直线的交点坐标 1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解. 2、求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 题型1：求相交直线的交点 1．（2026高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 题型2：求过两条直线的交点的直线方程 3．（2026高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 4．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 5．（2026高二·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 6．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数 7．（2026高二·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 8．（2026高三·上海杨浦·阶段检测）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 9．（2026高二·全国·课后作业）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 题型4：三条直线能否构成三角形问题 11．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 12．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 13．（2026高二·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 14．（2026高二·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 15．【多选】（2026高二·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． （二） 两点间的距离 1、两点间的距离公式： (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. (2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 题型5：求两点间的距离 16．（2026高二·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 17．（2026高二·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2026高二·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 题型6：由两点间的距离求参数 19．（2026高二·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 20．（2026高二·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 21．（2026高二·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则_______. 22．顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为________． 题型7：运用两点间的距离公式求最值 23．（2026高三·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．（2026高二·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 25．（2026高二·河南安阳·专题练习）已知函数，则的最小值为______． 26．（2026高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 27．（2026高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. （三） 运用坐标法解决平面几何问题 1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形． 2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 题型8：用坐标法解决平面几何问题 28．（2026高二·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 29．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 30．（2026高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 31．（2026高二·吉林白城·期中）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． （四） 点到直线的距离 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 题型9：求点到直线的距离 32．（2026高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）点到直线的距离是___________. 33．（2026高二·重庆永川·阶段检测）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 34．（2026高二·全国·课后作业）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（    ） A． B． C．1 D．或 题型10：直线围成的图形面积问题 35．（2026高二·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 36．（2026高二·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 37．（2026高一·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 38．（2026高二·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 39．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 题型11：点到直线距离公式的应用 40．（2026高二·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 41．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 42．（2026高二·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 43．（2026高二·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 44．（2026高二·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 （五） 两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法： (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 题型12：求两平行线间的距离 45．（2026高一·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 46．（2026高二·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 47．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 48．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 49．（2026高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 50．【多选】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二学期11月期中考试数学试题）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 51．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 题型13：距离公式的综合应用 52．【多选】（2026高二·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 53．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． （六） 直线的对称问题 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　 题型14：直线的对称问题 54．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 55．（2026高二·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 56．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 57．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 58．（2026高二·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 59．【多选】（2026高二·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 60．（2026·山东）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2026高二·宁夏中卫·阶段检测）已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 2．（2026高二·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（2026·北京顺义·模拟预测）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·全国·课后作业）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 6．（2026高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2026高二·广东深圳·期中）两条平行直线和间的距离为，则分别为（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高二·内蒙古锡林郭勒·期末）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 12．【多选】若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 13．（2026高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 14．（2026高二·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 15．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 16．（2026高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 17．（2026高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为____________． 19．（2026高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为______． 20．（2026高二·天津红桥·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)与直线的距离为1 (2)经过直线与的交点，且垂直于直线 21．（2026高二·广东深圳·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 22．（2026高二·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 23．（2026高二·北京·期中）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，．求： (1)点D的坐标及AD所在直线的方程； (2)平行四边形ABCD的面积． 24．（2026高二·湖北恩施·期中）在平行四边形中，点，，平行四边形对角线的交点为． (1)求点的坐标以及直线的方程； (2)求线段的中点到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $-2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.3直线的交点坐标与距离公式14题型分类 一、两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 1．两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别提醒：此公式与两点的先后顺序无关． 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 三、点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在平行直线间公垂线段的长 图示 公式 点P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝ （一） 求相交直线的交点坐标 1、两直线的交点：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，联立方程即可求解. 2、求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 题型1：求相交直线的交点 1．（2026高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．（2026高二·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 题型2：求过两条直线的交点的直线方程 3．（2026高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 4．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 5．（2026高二·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 6．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 题型3：由两条直线交点的个数或位置求参数 7．（2026高二·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 8．（2026高三·上海杨浦·阶段检测）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 9．（2026高二·全国·课后作业）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线相交求k的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可. 【详解】若直线与直线平行或重合，则，解得， 若直线与直线相交，可得且，则有： 联立方程，解得，即交点坐标， 由题意可得：，解得； 综上所述：k的取值范围为. 故选：C. 10．（2026高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 题型4：三条直线能否构成三角形问题 11．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 12．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 13．（2026高二·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 14．（2026高二·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 15．【多选】（2026高二·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD （二） 两点间的距离 1、两点间的距离公式： (1)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. (2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2、计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 题型5：求两点间的距离 16．（2026高二·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 17．（2026高二·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 18．（2026高二·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 题型6：由两点间的距离求参数 19．（2026高二·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【分析】应用两点间距离公式计算求参. 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 20．（2026高二·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 21．（2026高二·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则_______. 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式，求出纵坐标的差的绝对值，再根据斜率的坐标公式，分类讨论符合条件的情况，求出结果即可. 【详解】由题意可知，代入得，解得. 可得，， 所以. 故答案为：. 22．顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 题型7：运用两点间的距离公式求最值 23．（2026高三·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 24．（2026高二·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 25．（2026高二·河南安阳·专题练习）已知函数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 26．（2026高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 27．（2026高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. （三） 运用坐标法解决平面几何问题 1、利用坐标法解平面几何问题：(1)建系；(2)坐标表示；(3)几何关系坐标化；(4)将数“翻译”为形． 2、利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 题型8：用坐标法解决平面几何问题 28．（2026高二·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 29．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 30．（2026高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 31．（2026高二·吉林白城·期中）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. （四） 点到直线的距离 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 题型9：求点到直线的距离 32．（2026高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）点到直线的距离是___________. 【答案】 【分析】根据题意，由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由点到直线的距离公式可得，. 故答案为： 33．（2026高二·重庆永川·阶段检测）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】联立两直线方程，即， 由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为. 故选：D 34．（2026高二·全国·课后作业）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由点到直线距离公式建立方程解得的值. 【详解】解析：由题意得，解得或. 故选：D. 题型10：直线围成的图形面积问题 35．（2026高二·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 36．（2026高二·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 37．（2026高一·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式方程，化为一般式方程即可； （2）求出直线的斜率，可求出边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程； （3）求出直线的方程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 38．（2026高二·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出点、，可求出的值，以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 39．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）已知直线：，则（      ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】BC 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D. 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B正确； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D错误； 故选：BC. 题型11：点到直线距离公式的应用 40．（2026高二·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 41．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 42．（2026高二·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 43．（2026高二·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 44．（2026高二·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. （五） 两平行线间的距离 求两条平行直线间距离的两种方法： (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 题型12：求两平行线间的距离 45．（2026高一·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 46．（2026高二·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 47．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 48．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 49．（2026高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 50．【多选】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二学期11月期中考试数学试题）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 51．【多选】（2026高二·全国·寒假作业）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 题型13：距离公式的综合应用 52．【多选】（2026高二·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 53．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． 【答案】 以B为原点，射线BC、BA分别为x、y轴的正半轴建立坐标系．如图所示， 设正方形边长为a，则，，设点P的坐标为． ，①， ②． 联立①②可得（或利用三角形全等求得点Q坐标）． ∵，，∴． 【分析】建立平面直角坐标系，设P点坐标，利用点斜式表示出和，联立方程组求出点Q坐标，两点间距离公式可证. 【详解】略 （六） 直线的对称问题 有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称： ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称： ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．　　　　 题型14：直线的对称问题 54．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 55．（2026高二·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 56．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 57．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 58．（2026高二·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    59．【多选】（2026高二·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 60．（2026·山东）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 1．（2026高二·宁夏中卫·阶段检测）已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由题设，两直线的距离为. 故选：B 2．（2026高二·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可. 【详解】联立方程,可得点的坐标为, 所以直线的方程为. 故选：B. 3．（2026高二·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 4．（2026·北京顺义·模拟预测）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 5．（2026高二·全国·课后作业）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故选:A. 6．（2026高二·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 7．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 9．（2026高二·广东深圳·期中）两条平行直线和间的距离为，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B. 10．【多选】（2026高二·内蒙古锡林郭勒·期末）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 由题意得，解得：或， 故所求直线方程为：或. 故选：AB. 11．【多选】（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 12．【多选】若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 13．（2026高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 14．（2026高二·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 15．（2026高三·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解方程组求出点的坐标，可得，，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 16．（2026高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 17．（2026高三·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 18．（2026高二·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为____________． 【答案】或 【分析】联立直线方程求出，的交点坐标，设直线方程，由点到直线距离公式建立方程得解，注意对斜率不存在讨论. 【详解】解析：由解得 所以l1，l2的交点为. 显然，直线满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得. 所以所求直线方程为或． 故答案为：或． 19．（2026高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为______． 【答案】/ 【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解． 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 20．（2026高二·天津红桥·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)与直线的距离为1 (2)经过直线与的交点，且垂直于直线 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设出所求直线方程，利用平行线间距离公式求出参数即得. （2）解方程组求出交点坐标，再设出直线方程，利用待定系数法求解. 【详解】（1）与直线的距离为1的直线平行于直线，设该直线方程为， 由平行线间距离公式得，解得或， 所以所求直线方程为或. （2）由，解得，因此直线与的交点为， 设垂直于直线的直线方程为， 而该直线过点，则，解得， 所以所求直线方程为. 21．（2026高二·广东深圳·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂心性质联立方程组解得垂心的坐标为； （2）利用直线垂直求得直线的方程，再由点到直线距离求的结果. 【详解】（1）根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 （2）连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 22．（2026高二·北京·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 【答案】(1)证明：由直线可改写为， 联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立， 故直线恒过定点，得证. (2) (3) 【分析】（1）将直线写成，可求定点，即可证； （2）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程； （3）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程. 【详解】（1）略； （2）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离， 此时， 由，则，故，整理得. （3）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. 23．（2026高二·北京·期中）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，．求： (1)点D的坐标及AD所在直线的方程； (2)平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)D点坐标为（－3，1）， (2)4 【分析】（1）由平行四边形的性质及中点公式即可求的坐标，根据两点式求直线的方程； （2）由（1）易得，作于点求，进而可求的面积. 【详解】（1）由题意，知E为BD的中点，又，， ∴D点坐标为（－3，1），因为， ∴AD所在直线的方程为，即． （2）如图所示，在平行四边形ABCD中，轴，且， 作AH⊥BD于点H，则． 因此． 24．（2026高二·湖北恩施·期中）在平行四边形中，点，，平行四边形对角线的交点为． (1)求点的坐标以及直线的方程； (2)求线段的中点到直线的距离． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分，求得坐标，利用两点式求得直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，利用点到直线的距离公式得出答案． 【详解】（1）分别设点，， 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以，解得， 所以，． 所以直线的方程为，化简得． （2）设，则，，即， 所以到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $