专题05 直线的方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程的定义、使用条件及适用范围，构建从特殊到一般的知识支架，帮助学生逐步掌握直线方程的表达与应用逻辑。 该资料亮点在于知识点与高频考点深度融合，通过辨析、图象分析、平行垂直关系等多样题型，培养学生用数学眼光观察直线特征，用数学思维推理方程关系，用数学语言表达直线问题。课中助力教师分层教学，课后便于学生强化练习，弥补知识盲点。

专题05 直线的方程高频考点精讲 知识点1：直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 知识点2：直线的斜截式方程 (1) 直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 知识点3：直线的两点式方程 (1) 直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点， 时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 知识点4：直线的截距式方程 (1) 直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 知识点5：直线的一般式方程 (1) 直线的一般式方程的定义： 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 考点一　直线的点斜式方程及辨析 考点二　直线的斜截式方程及辨析 考点三　直线的两点式方程及辨析 考点四　直线的截距式方程及辨析 考点五　直线的一般式方程及辨析 考点六　直线图象的问题 考点七　由一般式方程判断直线的平行、垂直 考点八　由两条直线平行、垂直求方程 考点九　直线过定点问题 考点十　直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点一　直线的点斜式方程及辨析 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：， 故选：B 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 3．（25-26高二·全国·课堂例题）直线l的点斜式方程是，则直线l的斜率是多少？ 【答案】由直线的点斜式方程可知直线的斜率为3. 【分析】由点斜式定义可得答案. 【详解】略 4．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 考点二　直线的斜截式方程及辨析 5．（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【分析】首先求出边上的中点的坐标，再求出，即可求出直线的方程. 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 6．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 7．（25-26高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线的斜率和纵截距，即可得截距式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为，且纵截距为7， 所以直线的斜截式方程是. 故选：A. 8．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 考点三　直线的两点式方程及辨析 9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 考点四　直线的截距式方程及辨析 13．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 14．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接化简求解即可． 【详解】直线的截距式方程为. 故选：D. 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 考点五　直线的一般式方程及辨析 17．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 18．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，． （2）直线方程为， 即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由点斜式方程求解即可； （2）根据与轴垂直的直线方程特点求解即可； （3）由斜截式方程求解即可； （4）由两点式方程求解即可. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 20．（25-26高二·全国·课后作业）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 考点六　直线图象的问题 21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 22．（25-26高一下·江西抚州·期中）已知，，则直线通过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】利用直线斜率与截距的意义即可得出． 【详解】解：直线化为． ∵，， ∴，， ∴直线通过第一、二、四象限． 故选：B． 23．（25-26高二上·安徽六安·期末）直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可解得实数的取值范围. 【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意； 若，可得，直线的斜截式方程为， 若直线不过第二象限，则，解得. 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 24．（25-26高二·全国·课后作业）直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解. 【详解】根据题意可知，， 对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确； 对于，由可知，，此时：符合，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题. 25．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 26．（25-26高二上·四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（　　） A．、、同号 B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】作出直线的图象，结合图象得出该直线斜率、在轴上截距和轴上截距的符号，可得出系数、、所满足的条件. 【详解】如下图所示： 由于直线经过第一、二、四象限，则斜率，可得， 在轴上的截距，可得，在轴上的截距，可得. 故选D. 【点睛】本题考查利用直线的图象得出方程中系数的符号，一般从斜率、在坐标轴上截距的符号来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 考点七　由一般式方程判断直线的平行、垂直 27．（25-26高二上·上海金山·阶段检测）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判断两直线平行或重合. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 28．（25-26高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 29．（25-26高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 30．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为___. 【答案】/-0.4 【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案. 【详解】因两直线互相垂直，则，得. 故答案为：. 31．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________． 【答案】 0 -1 【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得. 【详解】因为，所以有，解得； 因为，所以有，解得， 当时，与重合，舍去； 当时，，，与不重合，满足条件， 所以. 故答案为：0；-1. 32．（25-26高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【答案】 当且时，直线、相交； 当时，直线，垂直； 当时，直线、平行； 当时，直线、重合． 【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得. 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合． 考点八　由两条直线平行、垂直求方程 33．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平行得直线斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】与直线即平行的直线斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为即. 故选：B 34．（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. 35．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线过点且与直线：平行，则直线的一般式方程为______. 【答案】 【分析】根据平行关系，利用待定系数法求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以可设直线方程为， 又直线过点，所以， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 36．（25-26高二上·陕西榆林·期中）设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）分析可知，所求直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，并求出点的坐标，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为：，化简得：． （2）在直线的方程中，令可得，解得，即点， 直线绕点逆时针旋转所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，化简得：． 37．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B 38．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得出的坐标，由斜率公式求得，由点斜式则可求出的方程； （2）根据两点的斜率公式和两直线垂直其斜率间的关系可求得AB边上的高所在直线方程的斜率，从而得出直线方程. 【详解】（1）由中点坐标公式可得， 则， 则中线的方程为：， 即. （2）因为直线的斜率为， 设边的高所在直线的斜率为k，则有，∴. 所以边高所在直线方程为即. 考点九　直线过定点问题 39．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 40.（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理直线方程可得：，列出方程即可求解. 【详解】整理直线方程可得：，令，解得：，所以当变动时，则直线恒过定点坐标为， 故选：B 41．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 42．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 43．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 44．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线方程变形为，从而可得直线过定点的坐标； （2）方法一：先讨论和两种特殊情况，再由直线不经过第四象限的条件，解不等式可得结果；方法二：先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在时，数形结合分析得到斜率的取值范围，解不等式可得结果. 【详解】（1）原式化为， 令，解得，所以直线过定点. （2）方法一：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，得直线：，不符合题意； 当且时，，令，解得或， 故k的取值范围为. 方法二：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，方程可化为， ，由数形结合可知，解得或， 故k的取值范围. 考点十　直线与坐标轴围成图形的面积问题 45．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 46．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 47．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 48．（2026高二下·海南·学业考试）（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 49．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 50.（25-26高二上·黑龙江·期末）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1）或；（2）最小值为4. 【解析】（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程； （2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得． 【详解】（1）当直线的截距为时，则 当截距不为时，设直线l的方程为， 把点代入可得，解得， 故直线l的方程为或. （2）设直线l的方程为，把点P代入可得， 则，即，当，即，时取“” 故， 所以面积的最小值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线的方程高频考点精讲 知识点1：直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 知识点2：直线的斜截式方程 (1) 直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 知识点3：直线的两点式方程 (1) 直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点， 时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 知识点4：直线的截距式方程 (1) 直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 知识点5：直线的一般式方程 (1) 直线的一般式方程的定义： 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 考点一　直线的点斜式方程及辨析 考点二　直线的斜截式方程及辨析 考点三　直线的两点式方程及辨析 考点四　直线的截距式方程及辨析 考点五　直线的一般式方程及辨析 考点六　直线图象的问题 考点七　由一般式方程判断直线的平行、垂直 考点八　由两条直线平行、垂直求方程 考点九　直线过定点问题 考点十　直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点一　直线的点斜式方程及辨析 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）直线l的点斜式方程是，则直线l的斜率是多少？ 4．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 考点二　直线的斜截式方程及辨析 5．（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 6．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 7．（25-26高二下·河北石家庄·期末）过点与的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 考点三　直线的两点式方程及辨析 9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 12．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 考点四　直线的截距式方程及辨析 13．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 14．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 考点五　直线的一般式方程及辨析 17．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 18．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 20．（25-26高二·全国·课后作业）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 考点六　直线图象的问题 21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（25-26高一下·江西抚州·期中）已知，，则直线通过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 23．（25-26高二上·安徽六安·期末）直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二·全国·课后作业）直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（　　） A．、、同号 B．， C．， D．， 考点七　由一般式方程判断直线的平行、垂直 27．（25-26高二上·上海金山·阶段检测）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 28．（25-26高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 29．（25-26高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 30．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为___. 31．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________． 32．（25-26高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 考点八　由两条直线平行、垂直求方程 33．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； 35．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线过点且与直线：平行，则直线的一般式方程为______. 36．（25-26高二上·陕西榆林·期中）设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 37．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 考点九　直线过定点问题 39．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 40.（25-26高二上·山东青岛·期中）直线，当变动时，则直线恒过定点坐标为（  ） A． B． C． D． 41．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 43．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 考点十　直线与坐标轴围成图形的面积问题 45．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 46．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___. 48．（2026高二下·海南·学业考试）（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 50.（25-26高二上·黑龙江·期末）已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $