第2章 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中两条直线的交点坐标求解、直线过定点问题、两点间距离公式及坐标法证明平面几何问题，在直线方程基础上，通过代数方法定量研究直线交点，延伸至距离计算与几何证明，构建代数与几何的逻辑联系。 资料以问题驱动探究，如通过图像分析交点与方程组解的关系培养数学眼光，例题中多种解法对比发展数学思维，坐标法证明几何问题提升数学语言表达能力。课中例题与反思助教师高效授课，课后练习助力学生查漏补缺。

2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程判断直线是否过定点，并会求定点坐标.3.掌握两点间的距离公式并会应用(重点).4.会用坐标法证明简单的平面几何问题(难点). 导语 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 一、求相交直线的交点坐标 问题1　已知两条直线l1：x+y-5=0，l2：x-y-3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x+y-5=0，也满足直线l2的方程x-y-3=0. 即交点坐标是方程组的解. 知识梳理 已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解. 例1　(课本例1)　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0. 解　解方程组 得 所以，l1与l2的交点是M(-2，2)(如图). 例1　(课本例2)　判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0； (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0； (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 解　(1)解方程组 得 所以，l1与l2相交，交点是M. (2)解方程组 ①×2-②得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得6x+8y-10=0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. 例1　设直线l1：x-2y+4=0与l2：x+y-2=0相交于点P， (1)求点P的坐标； (2)求过点P与Q(1，4)的直线方程； (3)求过点P且与直线l3：3x-4y+5=0平行的直线； (4)求过点P且与直线l3：3x-4y+5=0垂直的直线. 解　(1)由题意得解得 则P(0，2). (2)方法一　由(1)得P(0，2)， 又∵直线也过Q(1，4)， ∴所求直线斜率为=2， 故所求直线方程为y=2x+2， 即2x-y+2=0. 方法二　设所求直线方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0， ① ∵Q(1，4)在此直线上， ∴λ+1+4(λ-2)+4-2λ=0， 解得λ=1， 代入①式并整理可得所求直线方程为2x-y+2=0. (3)方法一　∵所求直线与直线l3： 3x-4y+5=0平行， ∴所求直线的斜率为， 又直线过点P(0，2)， 故所求直线方程为y-2=(x-0)， 即3x-4y+8=0. 方法二　设所求直线的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0， ① ∵所求直线与直线l3：3x-4y+5=0平行， ∴-=，解得λ=， 代入①式并整理可得， 所求直线方程为3x-4y+8=0. (4)方法一　设所求直线为l， ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为， ∴直线l的斜率为-. 又直线过点P(0，2)， ∴直线l的方程为y-2=-(x-0)， 即4x+3y-6=0. 方法二　设所求直线l的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0， ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为， ∴-×=-1，解得λ=11. ∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0， 即4x+3y-6=0. 反思感悟　求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解. 二、直线过定点问题 问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示　当斜率存在时，y-1=k(x-4)(k∈R)；当斜率不存在时，x=4. 例2　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标. 解　方法一　∵(m+1)x-y-7m-4=0， ∴m(x-7)+(x-y-4)=0， 令得 ∴点P的坐标为(7，3). 方法二　令m=0，直线方程为x-y-4=0， ① 令m=-1，直线方程为-y+3=0， ② 联立①②，解得x=7，y=3. 故点P的坐标为(7，3). 延伸探究　若本例的条件不变，求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限. 证明　由例2的解答过程可知直线l恒过第一象限内的定点(7，3)， 所以无论m为何值，直线l总经过第一象限. 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得. 三、两点之间的距离公式 问题3　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|=|xA-xB|. 问题4　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 提示　(1)当P1P2与x轴平行时， |P1P2|=|x2-x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|=|y2-y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，=|P1Q|2+|QP2|2， 所以|P1P2| =. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 |P1P2|=. 知识梳理 1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|=. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|=. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k(k≠0)的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|= =·|x2-x1|， 或|P1P2|=|y2-y1|. 例3　(课本例3)　已知点A(-1，2)，B(2)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值. 解　设所求点为P(x，0)，则 |PA|== |PB|==. 由|PA|=|PB|，得x2+2x+5=x2-4x+11. 解得x=1.所以，所求点为P(1，0)，且 |PA|==2. 例3　已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解　方法一　∵|AB|= ==2， |AC|===2， 又|BC|===2， ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2， 且|AB|=|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二　∵kAC==， kAB==-， ∴kAC·kAB=-1， ∴AC⊥AB. 又|AC|===2， |AB|===2， ∴|AC|=|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 跟踪训练1　已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　A 解析　由两点间的距离公式及|AB|=|AC|得，=， 解得a=-2. 四、坐标法的应用 例4　(课本例4)　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 证明　如图，四边形ABCD是平行四边形.以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在▱ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b，c). 由两点间的距离公式，得 |AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2， |AB|2=a2，|AD|2=b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)， |AB|2+|AD|2=a2+b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 例4　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|=|c|. 由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|==， ∴|DE|=|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟　(1)用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). ∴|AC|==， |BD|==. 故|AC|=|BD|. 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线过定点问题. (3)两点间的距离公式. (4)坐标法证明平面几何问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法、待定系数法、坐标法. 3.常见误区： (1)对两直线相交条件认识模糊. (2)已知距离求参数问题易漏解. 1.两条直线l1：2x-y-1=0与l2：x+3y-11=0的交点坐标为(　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(-2，-3) D.(-3，-2) 答案　B 解析　解方程组得 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　) A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为 m(x+2y+1)-x-3y=0， 令解得 ∴直线l恒过定点(-3，1). 3.已知M(2，1)，N(-1，5)，则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 答案　A 解析　|MN|==5. 4.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为　　　　.  答案　 解析　BC的中点坐标为(0，1)， 则BC边上的中线长为=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.直线2x+y+1=0与直线x-y+2=0的交点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　联立解得∴交点(-1，1)在第二象限. 2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则该定点为(　　) A.(1，3) B.(-1，3) C.(3，1) D.(3，-1) 答案　D 解析　直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，得解得 因此所求定点为(3，-1). 3.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为(　　) A.y=6x+ B.y=6x- C.y=6x±6 D.y=6x± 答案　C 解析　设所求直线l的方程为y=6x+b.令x=0，得y=b，直线l与y轴的交点为(0，b)；令y=0，得x=-，直线l与x轴的交点为.∵直线l被两坐标轴所截得的线段长为，∴+b2=37，解得b=±6，因此所求直线方程为y=6x±6. 4.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为(2，p)，则p-m-n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 答案　C 解析　∵直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直， ∴2×3-2m=0， 解得m=3， 由垂足在两直线上可得 解得 ∴p-m-n=4. 5.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离 D.可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离 答案　BCD 解析　= = =， 可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离， 可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离， 可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离，故选项A不正确. 6.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　联立解得故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以解得-<k<. 7.(5分)已知点P(x，1-x)是第一象限内的动点，则动点P到原点O的距离|OP|的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　因为点P(x，1-x)在第一象限内， 所以解得0<x<1， 由|OP|== =， 得≤|OP|<1. 8.(5分)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　x+y+1=0或3x+4y=0 解析　由得 ①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y=kx，代入点(-4，3)，得k=-， ∴3x+4y=0； ②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为+=1.代入(-4，3)，得a=-1. ∴x+y+1=0. 综上所述，所求直线方程为 x+y+1=0或3x+4y=0. 9.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解　由题易知a≠0，直线ax+2y-1=0中， 令y=0，有x=，则A，令x=0，有y=， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴=，解得a=±2. 10.(10分)已知直线l1的方程为x+2y-3=0，若l2在y轴上的截距为，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(3分) (2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.(7分) 解　(1)由直线l1的方程为x+2y-3=0，l1⊥l2，可得直线l2的斜率为2， 又l2在y轴上的截距为， 所以直线l2的方程为y=2x+， 即4x-2y+1=0. (2)联立解得 因为直线l3在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，且过点， 当直线l3过原点时， l3的方程为y=x=x， 即13x-4y=0； 当直线l3不过原点时， 设l3的方程为+=1，a≠0， 则+=1，解得a=， 故l3的方程为2x+y=2a， 即20x+10y-21=0. 综上所述，l3的方程为13x-4y=0或20x+10y-21=0. 11.以点A(-3，0)，B(3，-2)，C(-1，2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 答案　C 解析　|AB|== ==2， |BC|=== =4，|AC|===2， ∵|AC|2+|BC|2=|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 12.(多选)平面上三条直线x-2y+1=0，x-1=0，x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　　) A.0 B.2 C.-1 D.-2 答案　ACD 解析　因为平面上三条直线x-2y+1=0， x-1=0，x+ky=0将平面分为六部分， 所以包含以下情况： ①直线x-2y+1=0和直线x-1=0的交点是(1，1)，直线x+ky=0过这两条直线的交点，所以k=-1； ②直线x+ky=0与直线x-1=0平行或与直线x-2y+1=0平行，所以k=0或-2. 综上，实数k的取值集合是{0，-1，-2}. 13.(多选)如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是(　　) A.(1，-) B.(1，0) C.(1，1) D.(1，6) 答案　ABC 解析　直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1，0)，与y轴的交点为B(0，3)，而C(3，0)， 故抛物线的对称轴为x=1. 设Q(1，a)，当|AB|=|AQ|时， =， 解得a=±，所以Q(1，-)或Q(1，)， 所以A选项正确； 当|BA|=|BQ|时， =， 解得a=0或a=6，由于点(1，6)在直线y=3x+3上，故舍去，所以Q(1，0)， 所以B选项正确，D选项错误； 当|QA|=|QB|时， =， 解得a=1，所以Q(1，1)，所以C选项正确. 14.(5分)直线l1：x-my-2=0与直线l2：mx+y+2=0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是　　　　.  答案　2 解析　因为l1：x-my-2=0与l2：mx+y+2=0的交点坐标为Q， 所以|OQ|= ==， 当m=0时，|OQ|max=2， 所以|OQ|的最大值是2. 15.(5分)已知x，y为实数，代数式++的最小值是　　　　.  答案　10 解析　设点P(x，0)，Q(0，y)，A(2，4)， B(-6，-2)，则++ =++=|BP|+|PQ|+|QA| ≥|AB|==10， 当且仅当P，Q分别为AB连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 16.(12分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.设B(b，c)， C(a，0)，依题意得A(-a，0). |AB|2+|BC|2-|AC|2 =(a+b)2+c2+(a-b)2+c2-(2a)2 =2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2， 2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2， 所以|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 学科网（北京）股份有限公司 $