专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程的核心知识点，系统梳理点斜式（由点和斜率确定）、斜截式（斜率和y轴截距）、两点式（两点坐标）、截距式（x,y轴截距）及一般式（统一所有直线）的原理，构建从特殊到一般、从代数到向量的递进学习支架。 资料按9大题型分类，例题与变式结合，注重方程辨析（如截距式适用条件）和实际应用（面积问题）。通过具体实例培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维），课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习巩固，弥补知识盲点，提升应用意识（数学语言）。

专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 3 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 5 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 7 【题型5 直线的一般式方程】 10 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 12 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 13 【题型8 直线的方向向量的求解】 17 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 18 考点1 直线的点斜式、斜截式方程 知识点1 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 知识点2 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2026高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【解答过程】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【变式1.1】（25-26高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点斜式方程，可得答案. 【解答过程】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【解答过程】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D. 【变式2.2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【解题思路】首先求出边上的中点的坐标，再求出，即可求出直线的方程. 【解答过程】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 【变式2.3】（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可. 【解答过程】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 考点2 直线的两点式、截距式方程 知识点3 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 知识点4 直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线的两点式方程求解即可； 【解答过程】由题意得，整理得． 故选：A． 【变式3.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【解题思路】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【解答过程】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【解答过程】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【解答过程】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解. 【解答过程】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 【变式4.1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【解答过程】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 【变式4.2】（2026高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 【答案】或 【解题思路】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【解答过程】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案． 【解答过程】显然直线的斜率是存在的. 若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，因为过点，所以，所以直线方程为； 若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，因为过点，所以，故，所以直线方程为，即； 故答案为：或. 考点3 直线的一般式方程 知识点5 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（25-26高二上·河北保定·阶段练习）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得. 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意写出直线的两点式方程，化简可得直线的一般式方程. 【解答过程】由直线的两点式方程得，，整理得. 所以直线的一般式方程为. 故选：D. 【变式5.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线的斜截式方程直接写出，化为一般式方程即可. 【解答过程】由斜截式方程得直线的方程为，即一般式方程为． 故选：D. 【变式5.3】（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（25-26高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【解答过程】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【解题思路】根据一般方程与直线方程的斜截式互化可得结果. 【解答过程】由直线可化为， 因此可得，. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式； （2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式． 【解答过程】（1）由已知直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）由题意直线的斜率为， 直线方程为，即． 【变式6.3】（25-26高二上·广西河池·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； （3）由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（25-26高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解题思路】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 【变式7.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B. 【变式7.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式7.3】（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【解题思路】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【解答过程】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 考点4 方向向量与直线的参数方程 知识点6 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（25-26高二上·安徽宣城·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【解答过程】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与不共线，A不合题意； 对于B，因，即向量与不共线，B不合题意； 对于C，因，即向量与不共线，C不合题意； 对于D，因，即向量与共线，D符合题意. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解即可. 【解答过程】根据题意得直线的一个方向向量为， 因为，所以也是直线的一个方向向量. 故选：. 【变式8.2】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方向向量与斜率关系直接求解即可. 【解答过程】直线的方向向量为，，解得：. 故选：B. 【变式8.3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【解答过程】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与共线，所以A正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与不共线，所以C不正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：A. 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【解答过程】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 【变式9.1】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【解答过程】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式9.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线的方向向量得到直线的斜率，结合点斜式方程列出方程即可； 【解答过程】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式9.3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【解答过程】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 2 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 2 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 4 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 5 【题型5 直线的一般式方程】 6 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 7 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 7 【题型8 直线的方向向量的求解】 9 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 9 考点1 直线的点斜式、斜截式方程 知识点1 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 知识点2 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2026高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【变式2.3】（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 考点2 直线的两点式、截距式方程 知识点3 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 知识点4 直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【变式3.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4.1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4.2】（2026高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 【变式4.3】（25-26高二上·重庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 考点3 直线的一般式方程 知识点5 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（25-26高二上·河北保定·阶段练习）直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（25-26高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【变式6.2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【变式6.3】（25-26高二上·广西河池·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（25-26高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式7.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【变式7.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式7.3】（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 考点4 方向向量与直线的参数方程 知识点6 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（25-26高二上·安徽宣城·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【题型9 根据直线的方向向量求直线方程】 【例9】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9.3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $