专题04 直线的倾斜角与斜率讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，系统梳理倾斜角定义及取值范围、斜率概念与过两点斜率公式，延伸至两条直线平行和垂直的判定条件，构建从基础概念到应用的知识支架。 资料通过表格对比斜率存在与否时平行垂直的判定，培养分类讨论的数学思维，结合多样题型（选择、填空、解答）及参数问题实例，提升用数学语言解决问题的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题04 直线的倾斜角与斜率 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，， 则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关。 （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 知识点2：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点3：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 考点一　直线的倾斜角与斜率 考点二　直线方向向量的应用 考点三　已知倾斜角或斜率求参数 考点四　三点共线求参数 考点五　两直线平行的判定以及求参 考点六　两直线垂直的判定以及求参 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 考点八　直线平行、垂直的判定在几何中的应用 考点一　直线的倾斜角与斜率 1．（2026·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 考点二　直线方向向量的应用 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 8．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 9．（25-26高二上·广东·期中）已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·吉林长春·期中）经过、两点的直线的一个方向向量为，则的值是______． 考点三　已知倾斜角或斜率求参数 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 12．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 13．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 14．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 16．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 考点四　三点共线求参数 17．（25-26高二上·全国·专题训练）若，且三点共线，求的值． 18．（25-26高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 19．（25-26高二上·全国·专题训练）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 20．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 22．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 考点五　两直线平行的判定以及求参 23．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 24．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 26．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点六　两直线垂直的判定以及求参 27．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 28．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 29．（25-26高二上·全国·专题训练）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 30．（2026高二·全国·专题练习）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 31．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 33．（25-26高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 34．（25-26高二上·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 35．（25-26高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点八　直线平行、垂直的判定在几何中的应用 37．（25-26高二上·全国·专题训练）已知点，，，，试判定四边形的形状． 38．（25-26高二上·全国·专题训练）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 39．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 41．（25-26高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 42．（25-26高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线的倾斜角与斜率 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，， 则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关。 （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 知识点2：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点3：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 考点一　直线的倾斜角与斜率 考点二　直线方向向量的应用 考点三　已知倾斜角或斜率求参数 考点四　三点共线求参数 考点五　两直线平行的判定以及求参 考点六　两直线垂直的判定以及求参 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 考点八　直线平行、垂直的判定在几何中的应用 考点一　直线的倾斜角与斜率 1．（2026·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 _____. 【答案】 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 5．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】因为的倾斜角满足，，所以解得， 所以的倾斜角为，其斜率． 故选：A． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 考点二　直线方向向量的应用 7．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 8．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【答案】A 【分析】由方向向量求倾斜角正切值，再用两角和公式计算即可. 【详解】因为倾斜角为的直线的方向向量为， 所以 所以. 故选：A. 9．（25-26高二上·广东·期中）已知直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求得倾斜角. 【详解】由直线的方向向量是，得直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 10．（25-26高二上·吉林长春·期中）经过、两点的直线的一个方向向量为，则的值是______． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出的值. 【详解】因为经过、两点的直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 故. 故答案为：. 考点三　已知倾斜角或斜率求参数 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：B 12．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 13．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（    ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案. 【详解】因为，所以， 故选：D 14．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，，若直线AB的斜率为2，则（   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【答案】D 【分析】由斜率的定义式计算即可. 【详解】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出其斜率，再由过两点，的直线的斜率公式为求出的值. 【详解】直线的倾斜角为，故其斜率， 根据两点间斜率公式可得：，解得. 故选：B 16．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知过和的直线斜率为2，则的值是___________ 【答案】 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 考点四　三点共线求参数 17．（25-26高二上·全国·专题训练）若，且三点共线，求的值． 【答案】10 【分析】根据斜率相等列方程，由此求得的值. 【详解】由题意，可知直线的斜率存在， 又三点共线，则， 即， 解得． 18．（25-26高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【答案】A，B，C共线，A，B，D不共线． 【分析】若三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式求解判断即可. 【详解】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 19．（25-26高二上·全国·专题训练）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 21．（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 22．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率公式进行求解判断即可. 【详解】A：设 ， 因为，显然， 所以这三点不共线； B：设， 因为，显然， 所以这三点共线； C：设， 因为，显然， 所以这三点共线； D：设， 因为，显然， 所以这三点共线； 故选：A 考点五　两直线平行的判定以及求参 23．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 24．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 25．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行时斜率相等，直接解题即可. 【详解】因为直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），所以直线l₁的斜率为， 因为直线l₂的倾斜角为，所以直线l₂的斜率为， 因为，所以，所以，所以. 故选：B 26．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】通过向量平行的坐标关系建立方程,求解得到的可能值. 【详解】，， 由,得， 展开并整理得，解得或. 当时，, 由图可知，符合题意. 当时，， 由图可知，符合题意. 综上所述，或. 故选：BC 考点六　两直线垂直的判定以及求参 27．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【详解】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 28．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线平行确定斜率，再利用斜率的坐标运算列方程求解实数m的值； （2）根据直线的方向向量确定直线的斜率，结合直线垂直的斜率关系列方程求解实数m的值. 【详解】（1）∵直线l经过点、， ∴其斜率， ∵的斜率为1，且， ∴解得. （2）由题知，直线的斜率， 又直线l的斜率，， ∴，解得. 29．（25-26高二上·全国·专题训练）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 30．（2026高二·全国·专题练习）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，直线的斜率分别为：，， ，，， 由得，故A正确； 由得，由得，故B，D正确； 而得与不平行，即C不正确. 考点七　直线与线段的相交关系求斜率范围 31．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线，再由斜率的定义求解即可； 【详解】直线l过点. 如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为， 于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是. 故选：D. 32．（25-26高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 33．（25-26高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)，，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    34．（25-26高二上·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 35．（25-26高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 36．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线在轴上的截距的取值范围利用两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 点点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 综上可知直线的斜率的取值范围为. 故选：C 考点八　直线平行、垂直的判定在几何中的应用 37．（25-26高二上·全国·专题训练）已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【分析】根据题意求直线的斜率，利用斜率结合平行、垂直关系分析判断. 【详解】由斜率公式可得：，，，， 因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知， 所以四边形ABCD是直角梯形． 38．（25-26高二上·全国·专题训练）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】 证明：， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】略 39．（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 40．（2026高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 41．（25-26高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行. 【分析】（1），所以直线与不平行； （2）直线与y轴重合，所以直线与平行； （3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 【详解】解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行. （2）直线与y轴重合，所以直线与平行. （3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 42．（25-26高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【详解】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $