2.2.3 直线的一般式方程（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

2．2.3　直线的一般式方程 [学习目标] 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程，培养数学运算的核心素养(重点).2.会进行直线方程的五种形式间的转化，提升逻辑推理的核心素养． 要点　直线的一般式方程 1．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． 2．一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示　(1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)直线的一般式方程都可以化为截距式方程．(　　) (2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　　) (3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．(　　) (4)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　　) 解析 (1)错误．直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0，当C＝0时，一般式不能化为截距式． (2)错误．当A，B都同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，此时方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形． (3)正确．由一般式方程的概念可知． (4)错误．当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线． 答案 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　直线的一般式方程 规律总结 直线方程最终都可以转化为一般式，反过来，直线的一般式方程也可以向其他形式转化，但它的参数要有限制． (1)若A≠0，B＝0，则直线垂直于x轴，它不能转化为其余的四种形式． (2)若B≠0，A＝0，则直线与y轴垂直，它只能转化为点斜式和斜截式． (3)若AB≠0，C＝0，则直线的方程可转化为点斜式、斜截式和两点式，不能用截距式表示． (4)若ABC≠0，则直线的方程可转化为任何形式． 【例题1】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是 ，且经过点A(2,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－1； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x，y轴上的截距分别是3，－1. 解析 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－2)，化为一般式方程为x－y＋3－2＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－1，化为一般式方程为4x－y－1＝0. (3)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x－3y－3＝0. 【变式1】 根据下列各条件写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为______________； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________. 解析 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y＋6＝－(x－8)，化为一般式方程为x＋2y＋4＝0. (2)由截距式方程可知，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为2x－y－3＝0. (3)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为x＋y－1＝0. 答案 (1)x＋2y＋4＝0　(2)2x－y－3＝0　(3)x＋y－1＝0 探究二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 解题技巧 (1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． ②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0