2.1 直线的倾斜角与斜率 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，系统梳理确定直线位置的几何要素、倾斜角定义与范围、斜率公式及与倾斜角的关系，进而延伸到直线图象特征、两直线平行垂直的斜率关系及方程组解与位置关系，构建从几何要素到代数表示的递进学习支架。 该资料以题型为导向，每个题型配套解题知识、方法点拨及典例变式，通过具体问题引导学生用数学眼光抽象直线几何要素，用数学思维推理斜率与倾斜角的逻辑关系，用数学语言表达直线方程与位置关系。例如题型1结合实例培养抽象能力，题型5-6训练推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2.1 直线的倾斜角与斜率 内 容 导 航 题型1 确定直线位置的几何要素 题型2 直线的倾斜角 题型3 直线的斜率 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 考 点 演 练 题型1 确定直线位置的几何要素 解｜题｜知｜识 如何确定一条直线，其实相当于如何求出这条直线的表达式，一般满足以下几点直线便可确定，第一：两点确定一条直线，只要知道直线上的两个点即可；第二，已知直线的斜率和直线上的某一个点；第三，与某条已知直线有确切的关系，如关于某某直线对称，已知互相平行的直线彼此间的距离，求另一条直线． 【解题方法点拨】 当我们知道确定直线的几何要素的时候，最终还是要用这些要素来求出直线的方程，下面以例题作为解说： 例：若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c＝0，求直线的方程． 解：设所求的直线的方程为bx﹣ay+m＝0，把原点的坐标代入解得m＝0， 故所求的直线的方程为：bx﹣ay＝0． 这个例题非常的好，既考查了两条直线垂直时斜率之积为﹣1，又考查已知斜率和直线上某点，求直线方程，其解题流程可以写成y﹣y0＝k（x﹣x0），然后把斜率k和已知点（x0，y0）带进去即可，可以说也是待定系数法． 【命题方向】 这个考点很基础，一般高考中占的分值不大，如果出题的话一般五分左右，但只要他可能会考，又比较容易，那么就有必要掌握好来． 【典例1】如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：直线Ax+By+C＝0化为：yx． ∵AC＜0，BC＞0， 假设C＞0，则B＞0，A＜0．∴0，0．则直线Ax+By+C＝0不通过第二象限． 假设C＜0，则B＜0，A＞0．∴0，0．则直线Ax+By+C＝0不通过第二象限． 故选：B． 【变式1】直线ax+by+c＝0经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（　　） A．ab＞0，bc＜0 B．ab＜0，bc＜0 C．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＞0 【答案】A 【解答】解：直线的斜截式方程为yx， ∵直线ax+by+c＝0通过第一，二，四象限． 即直线的斜率k0，截距0， ∴ab＞0，bc＜0， 故选：A． 【变式2】已知直线l方程：kx﹣y+2k﹣2＝0（k∈R），若l不经过第二象限，则k的取值范围为（　　） A．k≤1 B．k≥0 C．0≤k≤1 D．k≤0 【答案】C 【解答】解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，2k﹣2， ∵直线不经过第二象限， ∴，解得0＜k≤1．当k＝0时，直线变为y＝﹣2满足题意． 综上可得：k的取值范围是[0，1]． 故选：C． 【变式3】在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由y＝x+a得斜率为1排除B、D， 由y＝ax与y＝x+a中a同号知若y＝ax递增，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上； 若y＝ax递减，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上； 故选：C． 题型2 直线的倾斜角 解｜题｜知｜识 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 【解题方法点拨】 直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． 【典例1】直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直线y+1＝0 即 yx+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于α， 则 0≤α＜π，且tanα，故 α＝60°， 故选：B． 【变式1】直线x＝cos75°的倾斜角为（　　） A．0° B．90° C．75° D．25° 【答案】B 【解答】解：因为直线x＝cos75°的斜率不存在，即直线垂直于x轴， 所以该直线的倾斜角为90°． 故选：B． 【变式2】若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（　　） A．15° B．75° C．15°或75° D．15°或30° 【答案】C 【解答】解：设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α， 两平行直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0的距离为， ∵直线m被两平行直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0所截得的线段长为， ∴sinα， ∴α＝30°， ∵直线l1：x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°， ∴直线m的倾斜角可以是15°或75°． 故选：C． 【变式3】经过A（﹣1，2），B（0，3）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若倾斜角为θ∈[0，π） 因为A（﹣1，2），B（0，3） 所以，即． 故选：B． 题型3 直线的斜率 解｜题｜知｜识 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 【解题方法点拨】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． 【命题方向】 （1）已知倾斜角范围求斜率的范围； （2）已知斜率求倾斜角的问题． （3）斜率在数形结合中的应用． 【典例1】经过点M（﹣1，2）和N（3，4）的直线斜率为（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：∵直线过M（﹣1，2），N（3，4）两点， ∴直线的斜率为：． 故选：B． 【变式1】已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D． 【答案】D 【解答】解：A（2，3），B（3，﹣1），P（0，1）， 则，kPB， 直线l过点P（0，1）且与线段AB相交， 则直线l的斜率k的取值范围是． 故选：D． 【变式2】经过A（0，2），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，λ），则λ＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：经过A（0，2），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，λ）， ∴， 解得λ＝2， 故选：B． 【变式3】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率范围是（　　） A．[，1] B．（﹣∞，]∪[1，+∞） C．（﹣∞，）∪[1，+∞） D．[，1] 【答案】B 【解答】解：如图示： 当直线l过B时，设直线l的斜率为k1， 则k1， 当直线l过A时，设直线l的斜率为k2， 则k21， ∴要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，]∪[1，+∞）． 故选：B． 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 【典例1】如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k4＜k3＜k2＜k1 B．k1＜k2＜k3＜k4 C．k3＜k4＜k1＜k2 D．k2＜k1＜k3＜k4 【答案】C 【解答】解：由图象知：k3＜k4＜0＜k1＜k2， 故选：C． 【变式1】已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C．k≥0或 D．k≥0或 【答案】C 【解答】解：当直线的倾斜角为0°≤α＜90°，则直线l的斜率为[0，+∞）， 当90°＜α＜120°时，直线的斜率（﹣∞，）， 当α＝90°时，直线的斜率不存在， 综上所述：直线的斜率的范围为：[0，+∞）∪（﹣∞，）． 故选：C． 【变式2】如图所示，直线l1：y＝﹣ax﹣b与l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在A项的图象中，根据直线l1的分布，可知﹣a＞0，﹣b＜0， 即a＜0，b＞0，与直线l2交y轴于正半轴矛盾，故A错误； 在B项的图象中，由直线l1的分布，可知﹣a＜0，﹣b＞0， 即a＞0，b＜0，与直线l2单调递增矛盾，故B错误； 在C项的图象中，由直线l1的分布，可知﹣a＞0，﹣b＜0，即a＜0，b＞0， 与直线l2单调递增，且交y轴于负半轴，可知C项正确； 在D项的图象中，由l1的分布，可知﹣a＞0，﹣b＞0，即a＜0，b＜0，与直线l2单调递增矛盾，故D错误． 故选：C． 【变式3】已知直线方程为x﹣ytan60°﹣3＝0，则该直线的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解答】解：直线方程为x﹣ytan60°﹣3＝0， 即xy﹣3＝0，由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为30°． 故选：A． 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 【典例1】已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：3x﹣（a﹣2）y+2a﹣1＝0，若l1∥l2，则a的值为（　　） A． B．3 C．﹣1 D．3或﹣1 【答案】B 【解答】解：因为l1∥l2，所以a×[﹣（a﹣2）]﹣（﹣1）×3＝0，且﹣（2a﹣1）≠﹣（a﹣2）， 整理得a2﹣2a﹣3＝0，且a≠﹣1， 解得a＝3． 故选：B． 【变式1】“”是“两直线kx+5y﹣2＝0和（4﹣k）x+y﹣7＝0互相平行”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由两直线kx+5y﹣2＝0和（4﹣k）x+y﹣7＝0互相平行得：k×1＝5×（4﹣k），且﹣7k≠﹣2（4﹣k）， 解得， 所以“”是“两直线kx+5y﹣2＝0和（4﹣k）x+y﹣7＝0互相平行”的充要条件． 故选：A． 【变式2】若直线3x+2my+7＝0与直线（1﹣2m）x+（m﹣1）y﹣6＝0平行，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 【答案】D 【解答】解：因为直线3x+2my+7＝0与直线（1﹣2m）x+（m﹣1）y﹣6＝0平行， 可得3（m﹣1）＝2m（1﹣2m），且7（m﹣1）≠﹣6×2m， 解得m或m＝﹣1． 故选：D． 【变式3】已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（　　） A．l1在x轴上的截距为﹣1 B．l2恒过定点（0，﹣1） C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2 D．若l1⊥l2，则 【答案】ABD 【解答】解：直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0， 对于选项A：因为直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，令y＝0，解得x＝﹣1， 所以l1在x轴上的截距为﹣1，故A正确； 对于选项B：直线l2：ax+2y+2＝0中x＝0⇒y＝﹣1，即B正确； 对于选项C：因为l1∥l2，1×2＝a（a﹣1），且a×1≠1×2，解得a＝﹣1，故C错误； 对于选项D：若l1⊥l2，则a+2（a﹣1）＝0，解得a，故D正确． 故选：ABD． 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 【典例1】若直线l1：x﹣ay+3＝0和l2：4x+y﹣1＝0互相垂直，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：因为直线l1：x﹣ay+3＝0和l2：4x+y﹣1＝0互相垂直， 所以1×4﹣a×1＝0， 解得：a＝4． 故选：D． 【变式1】已知直线l1：x﹣λy+1＝0，l2：2x﹣4y+7＝0，若l1⊥l2，则实数λ＝（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】D 【解答】解：因为直线l1：x﹣λy+1＝0，l2：2x﹣4y+7＝0，若l1⊥l2， 可得1×2﹣λ×（﹣4）＝0， 解得λ． 故选：D． 【变式2】已知点A（2，1），B（2，﹣5），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x＝2 B．y＝﹣2 C．y＝1 D．x＝﹣2 【答案】B 【解答】解：由点A（2，1），B（2，﹣5）， 可得：线段AB的中点坐标为（2，﹣2），直线AB的斜率不存在， 故线段AB的垂直平分线的斜率为k＝0， 所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝﹣2． 故选：B． 【变式3】已知三点A（4，3），B（2，﹣3），C（5，m）在同一条直线上，则m＝（　　） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：因为A、B、C三点共线，所以∥， 又因为（﹣2，﹣6），（1，m﹣3）， 所以﹣2（m﹣3）＝﹣6×1，解得m＝6． 故选：C． 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣方程组：涉及到两条直线的方程： a1x+b1y+c1＝0 a2x+b2y+c2＝0 ﹣位置关系： ﹣相交：两条直线有唯一的交点． ﹣平行：如果方程组的系数比相同，但常数项不成比例，直线平行且没有交点． ﹣重合：如果两条直线的系数比和常数项的比都相同，直线重合． 【解题方法点拨】 ﹣判定位置关系： 1．平行：计算直线的斜率，若斜率相同但常数项不同，说明平行． 2．重合：检查两条直线的系数比和常数项比是否相等． 3．相交：若上述条件不满足，直线相交，解得交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线位置关系：考查方程组的解的个数和直线的位置关系，如平行、重合、相交． 【典例1】曲线y＝|x|与y＝kx+1的交点的情况是（　　） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解答】解：联立两条直线方程得：得到|x|＝kx+1， 两边平方得：（k2﹣1）x2+2kx+1＝0，当k2﹣1≠0即k≠±1时，Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当k＝±1时，得到y＝±x+1，与曲线只有一个交点． 所以曲线y＝|x|与y＝kx+1的最多有两个交点． 故选：A． 【变式1】写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为 　1　 .（写出一个即可） 【答案】1． 【解答】解：，则， ∵关于x、y的方程组无解， 即方程所对应的两直线平行， 可得， ∴a2﹣1＝0，解得a＝±1， 故a的值可以为1． 故答案为：1． 过 关 验 收 1．直线l1：y＝kx+b（kb≠0）和直线l2：1在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，kb≠0， 对于A、B、C，由l1可知，b＜0，k＞0， 所以，l2： 的斜率为正数，故A、B、C不正确． 对于D，由l1可知，b＞0，k＞0，此时l2： 的斜率0，在y轴上的截距b＞0， 符合条件，故D正确． 故选：D． 2．下列说法正确的是　①③　 ． ①直线y＝ax﹣2a+4（a∈R）恒过定点（2，4） ②直线y+1＝3x在y轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为150° ④已知直线l过点P（2，4），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣6＝0 【答案】①③． 【解答】解：对于①，直线y＝ax﹣2a+4＝a（x﹣2）+4恒过定点（2，4），①正确； 对于②，直线y+1＝3x，令x＝0，可得y＝﹣1，故直线在y轴上的截距为﹣1，②错误； 对于③，直线的斜率为，其倾斜角为150°，③正确； 对于④，直线y＝2x过点（2，4），在x，y轴上截距相等，直线l的方程可以为y＝2x，④错误， 所以说法正确的是①③． 故答案为：①③． 3．直线（2t﹣3）x+2y+t＝0不经过第二象限，则t的取值范围是 　[0，]　 ． 【答案】[0，]． 【解答】解：直线的方程整理可得t（2x+1）﹣3x+2y＝0， 可得，解得x，y， 即直线恒过定点P（，），在第三象限， 可得kOP， 所以直线不经过第二象限时，满足0， 解得0≤t． 即t的范围为：[0，]． 故答案为：[0，]． 4．已知是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由直线的方向向量可知直线的斜率， 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）， 所以tanθ，解得θ． 故选：D． 5．已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【解答】解：∵点P（b，b+c），点Q（a，c+a），∴直线PQ的斜率为k1 设直线的倾斜角为α，则tanα＝1 ∵α∈[0，π），∴α 故选：B． 6．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是　　 ． 【答案】 【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π），则k＝tanα， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 7．若过点P（1﹣a，1+a）与点Q（3，2a）的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是　（﹣2，1）　 ． 【答案】（﹣2，1）． 【解答】解：∵过点P（1﹣a，1+a）和点Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角， ∴直线的斜率小于0， 即0，即 0，解得﹣2＜a＜1， 即实数a的取值范围是（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． （多选）8．下列说法中，正确的是（　　） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于y轴的直线倾斜角为0 【答案】CD 【解答】解：A选项：当直线平行y轴或为y轴，此时直线的斜率不存在，所以A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大； 当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角α均唯一存在，且α∈[0，π），C选项正确； D选项：垂直于y轴的直线与x轴平行或为x轴，则该直线倾斜角为0，所以D选项正确． 故选：CD． 9．已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标； （3）若E（m，n）是线段AC上一动点，求：的取值范围． 【答案】（1）k＝1，倾斜角为； （2）D（3，5）； （3）的取值范围[，1]． 【解答】解：（1）因为A（﹣2，﹣4），B（2，0），可得kAB1， 所以可得倾斜角为； （2）A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）． 由题意设D（x，y），由四边形ABDC 为平行四边形，可得kAC＝kBD，kCD＝kAB， 即5，即y＝5（x﹣2）， 1，即y＝x+2， 可得x＝3，y＝5， 即D（3，5）； （3）E（m，n）是线段AC上一动点，则即为线段AC上的点E与B点的斜率的范围， kBE∈[kBC，kBA]，而kBC，kBA1， 所以的取值范围[，1]． （多选）10．如图所示，下列四条直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是（　　） A．k2＜k1＜k4＜k3 B．k3＜k2＜k1＜k4 C．α2＜α1＜α4＜α3 D．α3＜α2＜α1＜α4 【答案】BC 【解答】解：结合图像，α3＞90°＞α4＞α1＞α2， 则k3＜k2＜k1＜k4， 故选：BC． 11．已知直线l的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 　{k|k或k＞1}　 ． 【答案】{k|k或k＞1}． 【解答】解：根据题意知，斜率k＝tanθ在上单调递增，且tan1，所k＞1； k＝tanθ在上单调递增，且tan，所以； 又时，直线l的斜率不存在， 所以直线l的斜率的取值范围是{k|k或k＞1}． 故答案为：{k|k或k＞1}． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 直线的倾斜角与斜率 内 容 导 航 题型1 确定直线位置的几何要素 题型2 直线的倾斜角 题型3 直线的斜率 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 考 点 演 练 题型1 确定直线位置的几何要素 解｜题｜知｜识 如何确定一条直线，其实相当于如何求出这条直线的表达式，一般满足以下几点直线便可确定，第一：两点确定一条直线，只要知道直线上的两个点即可；第二，已知直线的斜率和直线上的某一个点；第三，与某条已知直线有确切的关系，如关于某某直线对称，已知互相平行的直线彼此间的距离，求另一条直线． 【解题方法点拨】 当我们知道确定直线的几何要素的时候，最终还是要用这些要素来求出直线的方程，下面以例题作为解说： 例：若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c＝0，求直线的方程． 解：设所求的直线的方程为bx﹣ay+m＝0，把原点的坐标代入解得m＝0， 故所求的直线的方程为：bx﹣ay＝0． 这个例题非常的好，既考查了两条直线垂直时斜率之积为﹣1，又考查已知斜率和直线上某点，求直线方程，其解题流程可以写成y﹣y0＝k（x﹣x0），然后把斜率k和已知点（x0，y0）带进去即可，可以说也是待定系数法． 【命题方向】 这个考点很基础，一般高考中占的分值不大，如果出题的话一般五分左右，但只要他可能会考，又比较容易，那么就有必要掌握好来． 【典例1】如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】直线ax+by+c＝0经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（　　） A．ab＞0，bc＜0 B．ab＜0，bc＜0 C．ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＞0 【变式2】已知直线l方程：kx﹣y+2k﹣2＝0（k∈R），若l不经过第二象限，则k的取值范围为（　　） A．k≤1 B．k≥0 C．0≤k≤1 D．k≤0 【变式3】在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 直线的倾斜角 解｜题｜知｜识 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 【解题方法点拨】 直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． 【典例1】直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【变式1】直线x＝cos75°的倾斜角为（　　） A．0° B．90° C．75° D．25° 【变式2】若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（　　） A．15° B．75° C．15°或75° D．15°或30° 【变式3】经过A（﹣1，2），B（0，3）两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 题型3 直线的斜率 解｜题｜知｜识 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 【解题方法点拨】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． 【命题方向】 （1）已知倾斜角范围求斜率的范围； （2）已知斜率求倾斜角的问题． （3）斜率在数形结合中的应用． 【典例1】经过点M（﹣1，2）和N（3，4）的直线斜率为（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【变式1】已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D． 【变式2】经过A（0，2），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，λ），则λ＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式3】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率范围是（　　） A．[，1] B．（﹣∞，]∪[1，+∞） C．（﹣∞，）∪[1，+∞） D．[，1] 题型4 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 【典例1】如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则（　　） A．k4＜k3＜k2＜k1 B．k1＜k2＜k3＜k4 C．k3＜k4＜k1＜k2 D．k2＜k1＜k3＜k4 【变式1】已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C．k≥0或 D．k≥0或 【变式2】如图所示，直线l1：y＝﹣ax﹣b与l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知直线方程为x﹣ytan60°﹣3＝0，则该直线的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型5 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 【典例1】已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：3x﹣（a﹣2）y+2a﹣1＝0，若l1∥l2，则a的值为（　　） A． B．3 C．﹣1 D．3或﹣1 【变式1】“”是“两直线kx+5y﹣2＝0和（4﹣k）x+y﹣7＝0互相平行”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若直线3x+2my+7＝0与直线（1﹣2m）x+（m﹣1）y﹣6＝0平行，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 【变式3】已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（　　） A．l1在x轴上的截距为﹣1 B．l2恒过定点（0，﹣1） C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2 D．若l1⊥l2，则 题型6 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 解｜题｜知｜识 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 【典例1】若直线l1：x﹣ay+3＝0和l2：4x+y﹣1＝0互相垂直，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知直线l1：x﹣λy+1＝0，l2：2x﹣4y+7＝0，若l1⊥l2，则实数λ＝（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【变式2】已知点A（2，1），B（2，﹣5），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x＝2 B．y＝﹣2 C．y＝1 D．x＝﹣2 【变式3】已知三点A（4，3），B（2，﹣3），C（5，m）在同一条直线上，则m＝（　　） A．12 B．24 C．6 D．10 题型7 方程组解的个数与两直线的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣方程组：涉及到两条直线的方程： a1x+b1y+c1＝0 a2x+b2y+c2＝0 ﹣位置关系： ﹣相交：两条直线有唯一的交点． ﹣平行：如果方程组的系数比相同，但常数项不成比例，直线平行且没有交点． ﹣重合：如果两条直线的系数比和常数项的比都相同，直线重合． 【解题方法点拨】 ﹣判定位置关系： 1．平行：计算直线的斜率，若斜率相同但常数项不同，说明平行． 2．重合：检查两条直线的系数比和常数项比是否相等． 3．相交：若上述条件不满足，直线相交，解得交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线位置关系：考查方程组的解的个数和直线的位置关系，如平行、重合、相交． 【典例1】曲线y＝|x|与y＝kx+1的交点的情况是（　　） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式1】写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为 　 　 .（写出一个即可） 过 关 验 收 1．直线l1：y＝kx+b（kb≠0）和直线l2：1在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是　 ． ①直线y＝ax﹣2a+4（a∈R）恒过定点（2，4） ②直线y+1＝3x在y轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为150° ④已知直线l过点P（2，4），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣6＝0 3．直线（2t﹣3）x+2y+t＝0不经过第二象限，则t的取值范围是 ． 4．已知是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 5．已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．135° 6．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是　 ． 7．若过点P（1﹣a，1+a）与点Q（3，2a）的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是　 ． （多选）8．下列说法中，正确的是（　　） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于y轴的直线倾斜角为0 9．已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）． （1）求直线AB的斜率和倾斜角； （2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标； （3）若E（m，n）是线段AC上一动点，求：的取值范围． （多选）10．如图所示，下列四条直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是（　　） A．k2＜k1＜k4＜k3 B．k3＜k2＜k1＜k4 C．α2＜α1＜α4＜α3 D．α3＜α2＜α1＜α4 11．已知直线l的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $