1.2菱形的性质与判定 习题2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合推理的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形定义、性质（边、角、对角线）、判定|单选1-6直接考查性质判断，填空11-12基础计算与作图判定依据，培养抽象能力| |中档|菱形性质综合应用（面积、勾股定理结合）|单选7-9涉及动态情境与几何计算，填空13-14中点、动点问题，发展推理意识| |提升|菱形与平行四边形综合证明、探究性问题|解答16-25含证明推理、尺规作图探究，单选10多结论判断，强化应用意识|

2026年9月3日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接、，则下列说法可能错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 4．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 5．菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（     ） A． B． C． D． 6．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 7．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 8．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 10．如图菱形的周长为，对角线，相交于点，，垂足为E，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是（   ） A．①②⑤ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 二、填空题 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 12．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，则直线即为所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是菱形，判定四边形是菱形的依据是________． 13．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 14．如图，在平行四边形中，以为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接．若，，则四边形的面积是________． 15．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题 16．如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 17．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，，垂足为E．求的长． 18．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 19．已知：如图，四边形是菱形，两条对角线相交于点O，为的平分线，交于点E，为的平分线，交于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 20．已知：如图，E是菱形的边的中点，于点H，交的延长线于点F，交于点G．求证：与互相平分． 21．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，．求点B的坐标． 22．如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 23．如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 24．如图，在菱形中，，连接对角线，E，F分别是边，的中点，分别连接，，．求证：是等边三角形． 25．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月3日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B A C B C D 1．C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 2．A 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 3．C 【分析】根据作图步骤可得：，从而判定四边形为菱形，利用菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据作图步骤可得：、， ， 四边形为菱形， 平分、、， 选项、、说法正确，不符合题意； ，当时， 不是等边三角形， 无法说明， 选项说法错误，符合题意． 4．C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 5．B 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设另一条对角线长为 cm， ∵菱形的面积为，一条对角线是， ∴， ， ． 6．A 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 7．C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 8．B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 9．C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 10．D 【分析】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合可判断①正确；根据可判断⑤正确；在中由勾股定理可求得，则可求得，可判断②正确；在中由勾股定理可求得，可判断③正确；根据，可判断④不正确． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故⑤正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； ∵，， ∴，故④不正确； 综上所述正确的有①②③⑤． 11．96 【分析】根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 12．四边相等的四边形是菱形 【分析】根据作图方法，即可依据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形得出结论． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，根据画弧半径相等，可得， ∴根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可得四边形是菱形． 13．或或 【分析】连接，可证是等边三角形得，分点在菱形四条边上讨论，结合勾股定理和特殊角的性质计算得到符合条件的长度． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，，， 点，分别是，的中点， ， 是等边三角形， ，， 当点运动到点处时，如图①， ，， ，符合题意， ， ， ； 当点运动到边的中点时，如图②， 是的中点， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， 此时； 当点运动到边的中点时，如图③， 是的中点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，符合题意， ， ； 当点运动到点处时，如图④， ，， ，符合题意， 此时； 综上，的长为或或． 14．120 【分析】由作法可得，平分，即，根据平行四边形的性质可得，有，接着证明，即可得四边形是平行四边形，又，可得四边形是菱形．根据菱形的对角线性质和面积公式即可求得答案． 【详解】解：由作法可得，平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ． 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查作图痕迹的判断，平行四边形的性质、菱形的判定和性质、菱形面积公式的综合运用，熟练掌握作图方法和各类性质判定是解决此题的关键． 15．/ 【分析】连接，根据对称性得到，进而得到，易得为等边三角形，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为4，， ∴，垂直平分， ∴为等边三角形，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是. 16．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)． 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【详解】（1）略． （2）∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 17． 【分析】由菱形的性质得菱形的面积为，，，，由勾股定理得，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，对角线，相交于点O，且，， ∴菱形的面积为，，，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， ∴． 18．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)证明：设点到的距离为，则，， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由菱形的性质可得，，再证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）设点到的距离为，则，，再结合即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 19．证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 【分析】先证明，得出，再证明四边形是平行四边形，最后结合，即，即可得证． 【详解】略． 20．证明：如图，连接，，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E是菱形的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【分析】连接，，，由菱形的性质可得，，证明四边形是平行四边形，得出，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】略． 21． 【分析】过点B作轴于点D，先推导出，，得到，再根据勾股定理，得到，求出，得到，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点D，如图 ∴， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．(1)证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 23． 菱形的四个内角度数分别为，，， 【分析】利用菱形对角线平分内角、对角相等、邻角互补的性质，结合已知计算各内角． 【详解】解： ∵四边形是菱形，为对角线， ∴平分，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，菱形各内角的度数为，，，． 24．证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵，分别是边，的中点， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】先由及菱形四条边相等的性质，可以得到和均为等边三角形，再依据等腰三角形“三线合一”的性质结合三角形全等完成证明． 【详解】略 25．(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)证明过程补充如下： 由作图可知：直线垂直平分， ，， 在等腰三角形中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． (3) 四边形即为所求作的菱形（答案不唯一） 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得是菱形； （2）由作图可知，直线垂直平分，，，再利用等腰三角形和平行四边形的性质证明，则有，即可证明四边形是菱形； （3）①在，上截取，，连接，四边形即为所求作的菱形； ②过点作的角平分线，交于点，连接，在边上截取，交于点，连接，四边形即为所求作的菱形； ③过点作的角平分线，交于点，在边上截取，连接，四边形即为所求作的菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $