1.2 菱形的性质（第1课时） 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念辨析到综合实践应用，适配新授课知识巩固与数学思维培养，体现几何直观与推理能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|菱形边、对角线、对称性等单一性质|选择题直接考查性质辨析，填空题强化基础计算，如边长与周长关系| |能力应用|性质综合应用（勾股定理、面积公式）|解答题结合推理与计算，如用对角线求边长及面积，培养推理能力| |综合拓展|跨情境实践与规律探究|综合与实践题设置生活情境（纸条重叠）和动态探究（动点问题），发展应用意识与创新意识|

学年北师大版数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定（第课时：菱形的性质） 课时练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 菱形的性质定理：菱形的四条边相等。 · 菱形的性质定理：菱形的对角线互相垂直。 · 菱形既是轴对称图形（条对称轴），又是中心对称图形。 · 菱形的对角线把菱形分成个全等的直角三角形。 · 菱形的面积＝对角线乘积的一半（＝··）。 · 菱形中常见的计算：勾股定理、等边三角形（一个内角为时）。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．菱形的周长为，则的长为（　　） ．　　． ．　　． ．菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　） ．对角相等 ．对边平行 ．对角线互相垂直 ．两组对边分别相等 ．菱形的对称轴（直线）共有（　　） ．条　　．条 ．条　　．无数条 ．菱形不具有的性质是（　　） ．四条边相等 ．对角线互相垂直 ．对角线互相平分 ．对角线相等 ．菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的边长为（　　） ．　　． ．　　． ．菱形中，＝，对角线的长为，则菱形的边长为（　　） ．　　． ．　　． ．菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的面积为（　　） ．　　． ．　　． ．菱形的两条对角线把菱形分成的三角形中，全等的直角三角形共有（　　） ．个　　．个 ．个　　．个 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．若菱形的边长为，则它的周长为＿＿＿。 ．菱形的对角线互相＿＿＿，并且每一条对角线＿＿＿一组对角。 ．菱形的边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为＿＿＿。 ．一条对角线长为，面积为的菱形，它的另一条对角线长为＿＿＿。 ．菱形的一个内角为，周长为，则它的较短的对角线长为＿＿＿。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）如图，在菱形中，对角线与相交于点。求证：。 ．（本题分）菱形的周长为，一条对角线的长为。求另一条对角线的长；求菱形的面积。 ．（本题分）如图，在菱形中，对角线与相交于点＝＝。求和的长；求菱形的面积。 ．（本题分）如图，在菱形中，对角线＝＝是菱形的一条高（到的距离）。求的长。 ．（本题分）已知菱形的两条对角线＝＝。用含、的式子表示菱形的边长；证明：菱形的面积＝。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【生活数学】如图，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起（重叠部分不留空隙），设重叠部分的四边形为。 判断四边形的形状，并证明你的结论； 若两张纸条的宽都是，重叠部分的一条对角线长为，求重叠部分的面积。 ．（本题分）【规律探究】如图，在菱形中，＝，边长为是对角线上一动点（不与、重合），于点于点。 连接，利用、与的面积关系，证明：＋为定值； 求这个定值； 求对角线的长，并直接写出与＋之间的数量关系。 学年北师大版数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定（第课时：菱形的性质） 课时练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ．垂直；平分 ． ． ． 三、解答题 ．证明见详解 【分析】由菱形的四条边相等得＝，即是等腰三角形；再由菱形对角线互相平分得＝，由等腰三角形“三线合一”得。 【详解】四边形是菱形， ＝＝（菱形的对角线互相平分）。 又＝是等腰三角形。 在等腰三角形中，＝， （等腰三角形底边上的中线与高重合）， 即。 【评分标准】得出＝、＝各得分；运用三线合一得出结论得分（共分）。 ．； 【分析】由周长求边长，在由对角线的一半、另一对角线的一半与边构成的直角三角形中用勾股定理；面积用对角线乘积的一半。 【详解】菱形的周长为边长＝÷＝。 菱形的对角线互相平分，＝＝。 菱形的对角线互相垂直，是直角三角形。 由勾股定理，得＝＝＝。 ＝＝。 菱形的面积＝··＝＝。 【评分标准】第问求出得分、得分；第问得分（共分）。 ．＝＝； 【分析】＝且＝，故是等边三角形；在中用勾股定理求。 【详解】四边形是菱形，＝（菱形的四条边相等），＝＝＝。 ＝＝是等边三角形，＝＝。 在中，由勾股定理得＝＝＝。 ＝＝。 菱形的面积＝··＝＝。 【评分标准】第问求出得分、得分；第问得分（共分）。 ． 【分析】先用对角线乘积的一半求面积，再由“面积＝底高”用边长求高。 【详解】四边形是菱形，＝＝， ＝＝，且。 在中，由勾股定理得＝＝＝。 菱形的面积＝··＝＝。 又菱形的面积＝·， ＝÷＝。 【评分标准】求出边长得分；用对角线求面积得分；由面积法求出得分（共分）。 ．边长＝；证明见详解 【分析】菱形对角线互相垂直平分，边长、半对角线构成直角三角形；面积可拆成四个全等直角三角形或用对角线乘积的一半。 【详解】四边形是菱形，＝＝，且。 在中，由勾股定理得 ＝＝＝。 设对角线与相交于点， 菱形的面积＝＋ ＝··＋··＝·· ＝··＝。 【评分标准】第问得分；第问拆分面积得分、得出结论得分（共分）。 四、综合与实践 ．菱形，证明见详解； 【分析】重叠部分两组对边分别平行是平行四边形；利用“平行四边形面积＝底高”与两纸条等宽，证邻边相等。设菱形边为，则与对边之间的距离等于纸条宽；结合对角线与勾股定理列方程。 【详解】四边形是菱形。理由： 纸条的对边互相平行，重叠部分四边形的两组对边分别平行，四边形是平行四边形。 设两张纸条的宽都是，则平行四边形中，与之间的距离为与之间的距离也为。 以为底：▱＝·；以为底：▱＝·。 ·＝·，即＝。 平行四边形有一组邻边相等，它是菱形。 设对角线与相交于点，则＝＝，且。 由知与之间的距离为菱形＝·。 又菱形＝··＝＝。 ·＝，得＝。 在中，＝＝， ＝＋＝＋，解得＝＝。 菱形＝·＝＝（）。 【评分标准】第问判断正确得分、证明得分；第问得分（共分）。 ．证明见详解；；＝＝ 【分析】在上，与恰好拼成，用面积法把两条垂线段联系起来；是等边三角形，作高用勾股定理求高；设对角线交于点，在中用勾股定理求，得＝。 【详解】连接。， ＝··＝··。 在对角线上，与拼成， 即＋＝。 ··＋··＝。 四边形是菱形，＝， ··＝， ＋＝。 与都是确定的量，＋为定值。 ＝＝＝是等边三角形，＝。 过作于，则＝·＝， ＝··＝＝。 ＋＝＝。 设对角线与相交于点，则＝＝，且。 在中，由勾股定理得 ＝＝＝。 ＝＝，此时＝。 【评分标准】第问证明得分；第问得分；第问求得分、写出数量关系得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $