第30章 综合与实践 生活中的优化问题（课件PPT）-【顶尖课课练】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦直线与圆的位置关系及生活优化问题，通过排队安检、航海避险、收纳空间等生活场景导入，连接二次函数、几何推理、空间计算等知识，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 其亮点是以真实生活问题为载体，通过构建函数模型（如排队人数函数求最值）、几何推理（如危险角利用圆周角性质比较）、空间利用率计算，培养学生数学眼光、思维和语言。采用问题驱动教学，小结引导反思模型验证，提升学生应用能力和创新意识，为教师提供情境化教学案例。

1 第三十章 直线与圆的位置关系 综合与实践 生活中的优化问题 《顶尖课课练·数学 九年级上册（人教版）》配套课件 2 1.【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某 数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时 间、安排通道数之间的关系. 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在 任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；条件2：若该演 出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人. 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人 数与安检时间之间满足关系式： . 3 【模型应用】结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道，安检时间 分钟时，已入场人数为_____，排 队人数与安检时间 的函数关系式为_____________________. 4 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值?最大人数为 多少人？ 解： , 当时， . 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人. （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减 少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支. 若同时满足以上两个要求，请问可开设几条安检通道，并说明理由. 【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性， 未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分 析，以提高模型的准确性和实用性. 6 解：设开了 条通道，则 排队人数10分钟（包括10分钟）内减少, ,即 . 又 最多开通9条， . 为正整数， 的最小值为7. 最少开7条通道. , 对称轴为 . 7 2.【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会 遇到暗礁.如图1，，表示灯塔，暗礁分布在经过， 两点的一个圆 形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点， 就是 “危险角”.当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角 与“危险 角” 有怎样的大小关系？ 图1 图2 图3 图4 8 【解决问题】 （1）数学小组用已学知识判断与“危险角” 的大小关系，步 骤如下：如图2，与相交于点，连接 ，由同弧或等弧所对的 圆周角相等，可知 . 是 的外角， ___.（填“ ”“”或“ ”） ___.（填“ ”“”或“ ”） 图1 图2 图3 图4 9 【问题探究】 （2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过， 两点， 作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点 ，连 接，，请比较与 的大小，并说明理由. 图1 图2 图3 图4 10 解： ，理由如下： 如图，设与交于点，连接 ， ， . 是 的外角， . . 11 【问题拓展】 （3）如图4，某球员在球场底线点处接到球后，沿射线 方向带球 跑动， ，球门宽为， ，若该球员在射 线上的点处射门角度最大，即最大，试求出此时 的长. 解： . 图1 图2 图3 图4 12 图1 3.日常生活收纳物品时，人们通常 以空间利用率（空间利用率 ）来 衡量收纳效果.如图1，某长方体储 物箱的内部尺寸为长，宽，高 ，收纳口在储物箱的 上方.现计划收纳，两种长方体物品（数量足够多），其中 物品的 尺寸为长，宽，高，物品的尺寸为长 ，宽 ，高 . 13 图2 根据实际要求，收纳物品时，储物 箱内的同一层只能以同一种方式摆 放同一种物品，不同层可以改变摆 放方式，但物品的叠加高度不得超 过储物箱的高度，物品叠加时储物 箱及物品都不会产生形变.如图2，A物品可选择方式①②③进行摆放， B物品只按方式④进行摆放. 14 阅读以上材料，完成下列问题： （1）若储物箱只收纳A物品且以方 式①摆放，求储物箱最多可收纳A物 品的数量（单位：件）； 解：储物箱最多可收纳 物品24件. 图2 15 （2）若储物箱同时收纳A，B两种物 品且A物品以方式①摆放，请判断： 储物箱的空间利用率是否可以达到 ？若能，分别求出收纳A，B 两种物品的数量（单位：件）；若 不能，请说明理由； 图2 16 解：空间利用率可以达到 ，理 由如下： ， 每一层以方式④ 摆放16件B物品且无空隙. 设以方式①摆放A物品 层，以方式 ④摆放B物品 层， 依题意，得 ， 图2 17 或 当， 时，A物品有4件，B 物品有112件； 当， 时，A物品有16件， B物品有48件. 图2 （3）若储物箱同时收纳A，B两种物 品，且箱子的承重量足够，已知每个 A物品重，每个B物品重 ， 现选择其中若干种摆放方式进行组合， 请直接写出一种空间利用率最大的组 合方式及收纳物品的总重量. 解：三层①，一层②，一层④组合，总重量 . 图2 19 $