第十五章 轴对称 单元小测 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册轴对称单元卷，含知识点总结、典型例题及达标小测，覆盖轴对称图形、等腰三角形等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称图形识别（1）、等边三角形对称轴（2）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|7/28|等腰三角形周长（13）、坐标对称（14）|易错点强化，联系实际| |解答题|8/56|等腰三角形分类讨论（20）、最短路径问题（25）|综合应用，体现转化思想与空间观念|

人教版八年级数学上册　第十五章　轴对称　单元小测 人教版八年级数学上册 第十五章　轴　对　称 单元知识总结与达标小测（含答案及详细解析） 　 【适用范围】人教版八年级上册第十五章“轴对称”（含“综合与实践　最短路径问题”）。 【试卷结构】选择题 12 小题（每题 3 分，共 36 分）；填空题 7 小题（每题 4 分，共 28 分）；解答题 8 小题（共 56 分）。满分 120 分，建议用时 100 分钟。 【命题原则】紧扣教材，不超纲、不涉及后续章节（如勾股定理、二次根式化简、四边形）的内容。 【使用建议】本章图形性质多、结论多，建议边读边在草稿纸上画图，把每条性质与对应的图形结构对应起来记忆。 第一部分　单元知识点总结 一、轴对称与轴对称图形 1. 两个概念 （1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 图 1-1　等腰三角形有 1 条对称轴，长方形有 2 条对称轴 2. 两者的区别与联系 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系；轴对称图形是指一个图形自身的性质。 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，这两个图形关于对称轴成轴对称。 3. 常见图形的对称轴条数 线段： 条（它所在直线与它的垂直平分线）；角： 条（角平分线所在的直线）； 等腰三角形（非等边）： 条；等边三角形： 条；长方形： 条；正方形： 条； 圆：无数条；平行四边形（非矩形、非菱形）： 条。 二、线段的垂直平分线 图 1-2　直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言： 垂直平分 ，点 在 上，。 2. 判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：， 点 在线段 的垂直平分线上。 推论：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 3. 尺规作图：作线段的垂直平分线 图 1-3　作线段 AB 的垂直平分线 MN 作法：分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 、 两点，作直线 ，则直线 即为所求。 原理：，，所以 、 都在 的垂直平分线上，两点确定一条直线。 注意：半径必须大于 ，否则两弧不能相交。 三、画轴对称图形与用坐标表示轴对称 1. 轴对称变换的性质 （1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同（全等）； （2）新图形上的每一点，都是原图形上某一点关于直线 的对称点； （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 2. 画法 先找出原图形的关键点（如各顶点），分别画出这些点关于对称轴的对称点，再按原图形的连接顺序把这些对称点连接起来。 3. 用坐标表示轴对称 图 1-4　P 关于 x 轴、y 轴的对称点分别是 P₁、P₂ 点 关于 轴对称的点的坐标为 ，即“横坐标不变，纵坐标变为相反数”； 点 关于 轴对称的点的坐标为 ，即“纵坐标不变，横坐标变为相反数”。 记忆口诀：关于 轴对称， 不变、 相反；关于 轴对称， 不变、 相反。 4. 轴对称作图的三种基本类型 图 1-8　(1) 作点 P 关于直线 l 的对称点；(2) 作两个成轴对称图形的对称轴 （1）作已知点关于已知直线的对称点。如图 1-8(1)，作点 关于直线 的对称点 ，有两种作法： 　　尺规作法：在直线 上任取两点 、，分别以 、 为圆心，、 的长为半径画弧，两弧在 的另一侧交于点 ，点 即为所求； 　　三角尺作法：过点 作 于点 ，在 的延长线上截取 ，点 即为所求。 （2）作已知图形关于已知直线的对称图形。先作出图形中各关键点（多边形取各顶点）的对称点，再按原图形的连接顺序把这些对称点依次连接起来。 （3）作两个成轴对称图形的对称轴。如图 1-8(2)，连接任意一组对应点（如 与 ），作线段 的垂直平分线，这条直线就是对称轴 。 　　依据：对称轴垂直平分连接两个对应点的线段。因此只要用一组对应点就能作出对称轴，再用另一组对应点（如 与 ）验证，可以检验作图是否正确。 5. 网格中的轴对称作图 在方格纸或平面直角坐标系中作轴对称图形，关键是“数格子”： （1）对称轴是网格线（或坐标轴）时，数出关键点到对称轴的格数，在对称轴另一侧取相同的格数； （2）对称轴是网格的对角线（与网格线成 角）时，把关键点的“横向格数”与“纵向格数”互换；若把这条对角线看成直线 ，则点 的对应点就是 ； （3）已建立平面直角坐标系时，也可以先用坐标规律算出各对称点的坐标，再描点、连线。 6. 作图题的书写要求 （1）尺规作图必须保留作图痕迹（弧线与辅助线不能擦去），只有结果没有痕迹一般不给分； （2）题目要求“写出作法”时才写作法，否则只需作出图形并写出结论，如“点 即为所求”； （3）网格作图要用直尺连线，图形的顶点必须落在格点上。 四、等腰三角形 图 1-5　等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 为底边上的中线 1. 等腰三角形的性质 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言：，。 性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 符号语言（三种用法）：在 中，，则 　　① 平分 ，，； 　　② ，，； 　　③ ，，。 性质 3：等腰三角形是轴对称图形，底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴。 2. 等腰三角形的判定 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 符号语言：，。 易错提醒：“三线合一”只能用于等腰三角形；反之，若一条线段同时是三角形的中线与高（或角平分线与高等），则这个三角形是等腰三角形。 3. 等腰三角形的分类讨论 （1）已知两边求周长　→　分别讨论哪条边是腰，并用三边关系检验； （2）已知一个角求其余角　→　分别讨论这个角是顶角还是底角； （3）注意：顶角可以是锐角、直角或钝角，底角一定是锐角。 五、等边三角形 1. 性质 等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于 。 等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴。 2. 判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 六、含 30° 角的直角三角形 图 1-6　Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30° 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：，，。 这个结论可以由等边三角形“对折”得到：把两个这样的直角三角形拼在一起就得到一个等边三角形。 逆用：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 。 七、综合与实践　最短路径问题 图 1-7　“将军饮马”问题：作 A 关于 l 的对称点 A′ 1. 两个基本事实 （1）两点之间，线段最短；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 2. “将军饮马”模型 问题：点 、 在直线 的同侧，在 上求作一点 ，使 最小。 作法：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，则点 即为所求。 理由：由轴对称的性质得 ，所以 对于 上任意异于 的点 ，由三角形三边关系得 所以当点 是 与 的交点时， 最小，最小值为 的长。 3. 解题要领 “同侧化异侧”是核心思想：利用轴对称把折线转化为线段，再用“两点之间线段最短”求解。 八、易错提醒 易错 1：把“轴对称”与“轴对称图形”混为一谈。 易错 2：等腰三角形的分类讨论中漏解，或没有用三边关系检验，保留了不成立的情况。 易错 3：把“三线合一”误用于一般三角形。 易错 4：使用“ 角所对的直角边等于斜边的一半”时，忘记“直角三角形”这一前提。 易错 5：坐标对称中把 轴、 轴的规律记混。 易错 6：作图题擦掉了作图痕迹，或者作完图不写结论；网格作图时数错格数，尤其是对称轴为网格对角线时忘记把横、纵格数互换。 第二部分　典型例题精讲 例 1　等腰三角形的分类讨论（边） 已知等腰三角形的两条边长分别为 和 ，求它的周长。 解：分两种情况讨论。 （1）若腰长为 ，底边为 ，则 ，不满足三角形的三边关系，舍去； （2）若腰长为 ，底边为 ，则 ，满足三边关系，此时周长为 所以这个等腰三角形的周长为 。 点评：分类之后必须逐一检验三边关系，这是最容易失分的地方。 例 2　等腰三角形的分类讨论（角） 已知等腰三角形的一个内角为 ，求它的另外两个内角的度数。 解：分两种情况讨论。 （1）若 是顶角，则两个底角相等，每个底角为 此时另外两个角为 、； （2）若 是底角，则另一个底角也是 ，顶角为 此时另外两个角为 、。 补充：若已知角是钝角或直角，则它只能是顶角，不需要分类。 例 3　垂直平分线与周长 例 3 图 如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 。若 的周长为 ，，求 的长。 解： 是 的垂直平分线，。 的周长为 所以 ，即 。 点评：垂直平分线的作用是“转移线段”，把 换成 ，从而把折线拼成整条 。 例 4　三线合一的应用 如图 1-5，在 中，， 于点 。若 ，，求 的度数和 的长。 解：，， 平分 ，且 （三线合一）。 ， 例 5　等边三角形与全等 例 5 图 如图， 是等边三角形，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 。求证：。 证明： 是等边三角形， ，。 在 和 中， 　　（已证）， 　　（已证）， 　　（已知）， （SAS）。 例 6　含 30° 角的直角三角形 例 6 图 如图，在 中，，，。求 的长和 的度数。 解：，， 。 ， 是 所对的直角边， 例 7　最短路径问题 例 7 图 如图，牧马人从点 出发，先到河边 上某处饮马，再到点 处宿营。已知 、 在河的同侧，问在何处饮马可使所走的总路程最短？ 解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交直线 于点 ，则点 就是所求的饮马位置。 理由：由轴对称的性质得 ，所以 。 设 是 上不同于 的任意一点，连接 、、，则 ，在 中由三边关系得 所以在点 处饮马，所走的总路程最短。 例 8　网格中的轴对称作图 例 8 图 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 、、。 　　（1）画出 关于 轴对称的 ，并写出各顶点的坐标； 　　（2）画出 关于 轴对称的 ，并写出各顶点的坐标。 解：分别作出各顶点的对称点，再按 的顺序连线，所得图形如下图所示。 例 8 答图 （1）关于 轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数，所以 （2）关于 轴对称，纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以 点评：画轴对称图形的通法是“找关键点 → 作对称点 → 按序连线”。在坐标系中还可以先用坐标规律算出对称点坐标再描点，两种方法可以互相检验。 例 9　尺规作图：作两个成轴对称图形的对称轴 例 9 图 如图， 与 关于某条直线成轴对称， 与 、 与 、 与 是对应点。请用尺规作出它们的对称轴 （保留作图痕迹）。 解：作法如下（如答图）。 　　① 连接 ； 　　② 分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于两点； 　　③ 过这两点作直线 ，直线 即为所求。 例 9 答图 理由：由轴对称的性质，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，所以 的垂直平分线就是所求的对称轴。 点评：只需要一组对应点就能作出对称轴。作完后可以再连接 ，检验它是否也被 垂直平分，以此判断作图是否正确。 第三部分　第十五章单元达标小测 （满分 120 分　　时间 100 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） 　　A．等腰三角形　　　B．长方形　　　C．圆　　　D．不等边三角形 2．等边三角形的对称轴的条数是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D．无数 3．点 关于 轴对称的点的坐标是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．若等腰三角形的一个内角为 ，则它的顶角的度数为（　　） 　　A．　　　B．　　　C． 或 　　　D． 或 5．如图，在 中，， 于点 。若 ，则 的长为（　　） 第 5 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．在 中，，，，则 的长为（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．下列说法中，错误的是（　　） 　　A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 　　B．等边三角形是特殊的等腰三角形 　　C．等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合 　　D．若一个三角形一条边上的中线与这条边上的高重合，则这个三角形不一定是等腰三角形 8．如图，在 中，，，，则 的度数为（　　） 第 8 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 9．如图，直线 是一条河，、 是同侧的两个村庄。要在 上修建一个水泵站 ，使 最小，正确的作法是（　　） 第 9 题图 　　A．连接 ，取 的中点作为 　　B．过 作 的垂线，垂足即为 　　C．作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 　　D．作 的垂直平分线交 于点 10．已知点 与点 关于 轴对称，则 的值为（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 11．如图，网格中每个小正方形的边长为 ， 的顶点都在格点上，直线 是网格的一条对角线。将 沿直线 翻折，则点 的对应点是（　　） 第 11 题图 　　A．点 　　　B．点 　　　C．点 　　　D．点 12．用直尺和圆规作线段 的垂直平分线时，分别以点 、 为圆心， 为半径画弧，使两弧交于两点。则半径 必须满足（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 13．等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为　　　　　　。 14．点 关于 轴对称的点的坐标是　　　　　　。 15．如图， 是线段 的垂直平分线，点 在 上，若 ，则 　　　　　　。 第 15 题图 16．在 中，，，则 　　　　　　。 17．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 。若 ，，则 的周长为　　　　　　。 第 17 题图 18．一个等腰三角形的顶角比一个底角大 ，则它的顶角为　　　　　　。 19．已知点 、 是直线 外的两点，且直线 与直线 不平行。要在直线 上作一点 ，使 ，只需作线段 的　　　　　　，它与直线 的交点就是所求的点 。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 56 分） 20．（本小题 6 分）已知等腰三角形 中，，周长为 。 　　（1）若腰长比底边长多 ，求各边的长； 　　（2）若 ，求底边 的长。 21．（本小题 7 分）已知点 与点 关于 轴对称。 　　（1）求 、 的值； 　　（2）求点 关于 轴对称的点 的坐标。 22．（本小题 7 分）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 。已知 ， 的周长为 ，。 第 22 题图 　　（1）求 的度数； 　　（2）求 的长。 23．（本小题 8 分）如图， 是等边三角形，点 在边 上，连接 ；延长 到点 。 第 23 题图 　　（1）求 的度数； 　　（2）若 ，求 的度数。 24．（本小题 9 分）如图，在 中，， 的平分线 与 的平分线 相交于点 。 第 24 题图 　　（1）求证：； 　　（2）求证： 是等腰三角形。 25．（本小题 9 分）如图，、 是直线 同侧的两个点。 第 25 题图 　　（1）请在直线 上作出一点 ，使 的值最小（保留作图痕迹，写出作法）； 　　（2）说明你的作法为什么能使 最小； 　　（3）小丽的作法是：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 。请判断点 与点 是否是同一个点，并说明理由。 26．（本小题 5 分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上。 第 26 题图 　　（1）画出 关于 轴对称的 ，并写出点 、、 的坐标； 　　（2）在 轴上作出一点 ，使 的值最小（保留作图痕迹，不写作法），并写出点 的坐标。 27．（本小题 5 分）如图，在 中，，。 第 27 题图 　　（1）用尺规作边 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）； 　　（2）连接 ，求 的度数。 第四部分　参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10　　11　　12 答案 D　　C　　B　　C　　C　　B　　D　　B　　C　　B　　B　　B 　 第 1 题　答案：D 解析：等腰三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有无数条对称轴，它们都是轴对称图形；不等边三角形（三边都不相等）沿任何直线折叠两旁都不能重合，不是轴对称图形。故选 D。 第 2 题　答案：C 解析：等边三角形的三条边都相等，每条边上的中线（高、对角的平分线）所在直线都是它的对称轴，共 条。故选 C。 第 3 题　答案：B 解析：关于 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点 的对称点为 。故选 B。 第 4 题　答案：C 解析：分两种情况讨论。 （1）若 是顶角，则顶角为 ； （2）若 是底角，则另一个底角也是 ，顶角为 所以顶角为 或 。故选 C。 第 5 题　答案：C 解析：，，（三线合一），所以 故选 C。 第 6 题　答案：B 解析：在 中，，， 是 所对的直角边，由“ 角所对的直角边等于斜边的一半”得 故选 B。 第 7 题　答案：D 解析：A 是等腰三角形的判定定理“等角对等边”，正确； B 中等边三角形的三条边都相等，当然有两条边相等，是特殊的等腰三角形，正确； C 是等腰三角形的“三线合一”性质，正确； D 中，设 既是 边上的中线又是 边上的高，则 ，。 在 和 中，，，， （SAS），， 即这样的三角形一定是等腰三角形，所以 D 的说法错误。故选 D。 第 8 题　答案：B 解析：设 。 ，（等边对等角）。 在 中， 是它的一个外角，所以 。 ，。 ，。 在 中，由内角和定理得 即 ，。所以 ，故选 B。 第 9 题　答案：C 解析：这是“将军饮马”模型。作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 为最小值。故选 C。 第 10 题　答案：B 解析：两点关于 轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 由 与 关于 轴对称得 所以 。故选 B。 第 11 题　答案：B 解析：把网格左下角的顶点看作原点 ，向右、向上分别为 轴、 轴的正方向，则直线 就是直线 ，点 的坐标为 。 沿直线 翻折时，点的横、纵坐标互换，即点 的对应点为 ，所以 对照图形，坐标为 的格点是点 。 检验：连接 ，可以看出 与 垂直，且被 平分，符合轴对称的性质。故选 B。 第 12 题　答案：B 解析：设两弧交于点 ，则 。点 不在直线 上，由三角形三边关系得 即 ，所以 。 若 ，两弧只在 的中点处有一个公共点，得不到两个交点，无法确定一条直线；若 ，两弧根本不相交。 而 虽然也能相交，但它只是充分条件，不是必须满足的条件。故选 B。 二、填空题参考答案与解析 第 13 题　答案： 解析：分两种情况讨论。 （1）若腰长为 ，底边为 ，则 ，不满足三边关系，舍去； （2）若腰长为 ，底边为 ，则 ，满足三边关系，周长为 第 14 题　答案： 解析：关于 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，所以 的对称点为 。 第 15 题　答案： 解析：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以 。 第 16 题　答案： 解析：，（等边对等角）。 由内角和定理得 第 17 题　答案： 解析： 垂直平分 ，。 所以 的周长为 第 18 题　答案： 解析：设底角为 ，则顶角为 。由内角和定理得 即 ，。 所以顶角为 。 第 19 题　答案：垂直平分线 解析：由“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可知，满足 的点都在线段 的垂直平分线上。 又点 在直线 上，所以点 是线段 的垂直平分线与直线 的交点。 因为直线 与 不平行， 的垂直平分线与 必相交，所以这样的点 存在且只有一个。 三、解答题参考答案与解析 第 20 题（6 分） 解：（1）设底边 ，则腰长 。由周长为 得 即 ，，。 所以 ，。 检验：，符合三边关系。……………………………（3 分） （2），周长为 ， 检验：，符合三边关系，所以 。………………（6 分） 第 21 题（7 分） 解：（1） 点 与点 关于 轴对称， 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即 解得 ，。……………………………………………（4 分） （2）由（1）得 ，所以点 的坐标为 。 点 关于 轴对称的点 的横坐标为 ，纵坐标不变为 ， 所以点 的坐标为 。…………………………………（7 分） 第 22 题（7 分） 解：（1） 是 的垂直平分线，。 （等边对等角）。……………（3 分） （2）， 的周长为 所以 ， 即 的长为 。………………………………………………（7 分） 第 23 题（8 分） 解：（1） 是等边三角形，。 点 在 的延长线上， 与 互为邻补角， 点 、、 在同一条直线上， …………………………………………………………………………（4 分） （2） 是等边三角形，，。 ，。 在 中，由内角和定理得 …………………………………………………………………………（8 分） 第 24 题（9 分） （1）证明：，（等边对等角）。 平分 ， 平分 ， 。 在 和 中， 　　（已证）， 　　（已知）， 　　（公共角）， （ASA）。……………………（5 分） （2）证明：，、 分别平分 、， （等角对等边）。 是等腰三角形。………………………………（9 分） 第 25 题（9 分） 解：（1）作法： 　　① 作出点 关于直线 的对称点 （即过 作 的垂线，垂足为 ，在垂线上截取 ）； 　　② 连接 ，交直线 于点 ； 　　③ 点 即为所求。…………………………………………（3 分） （2）理由： 点 与 关于直线 对称，点 在 上， ，所以 设 是直线 上不同于 的任意一点，同理 。 在 中，由三角形三边关系得 即 。 所以点 使 最小。……………………………………（7 分） （3）解：点 与点 是同一个点。 理由：设 、 到直线 的距离分别为 、，、 在 上的垂足分别为 、。 对第（1）问的作法： 与 分居直线 的两侧，，由内错角相等与对顶角相等可知点 分线段 所成的两部分满足 对小丽的作法：同理 与 分居直线 的两侧，点 分线段 所成的两部分满足 两者把线段 分成的两部分之比完全相同，且点 、 都在 、 之间，所以 与 重合。 更直观的解释：把整个图形沿直线 翻折，点 与 互换位置，点 与 互换位置，于是线段 恰好变成线段 ，而直线 上的点保持不动，因此这两条线段与 的交点必然是同一个点。 所以两种作法得到的是同一个点，都能使 最小。 …………………………………………………………………………（9 分） 第 26 题（5 分） 解：（1）关于 轴对称，纵坐标不变、横坐标变为相反数。由图知 、、，所以 描出这三点并顺次连接，即得 （如答图）。..............................（3 分） （2）作法：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，点 即为所求，此时 为最小值。由图可知点 的坐标为 。................................................（5 分） 第 26 题答图 点评：第（2）问中 、 在 轴的同侧，必须先把其中一点“翻”到另一侧，才能用“两点之间，线段最短”。只连接 取交点是常见的错误作法。 第 27 题（5 分） 解：（1）分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交 于点 ，交 于点 ，直线 即为所求（作图痕迹如答图）。..............（3 分） 第 27 题答图 （2） 是 的垂直平分线，。 （等边对等角）。 在 中，由内角和定理得 所以 即 的度数为 。......................................（5 分） 附：本章知识结构与备考提示 1．本章的主线是“轴对称”这一图形变换：由轴对称得到线段垂直平分线的性质，再由此得到等腰三角形的性质与判定，最后用轴对称解决最短路径问题。 2．等腰三角形的题目要牢记两个字：分类。已知边求周长要分类，已知角求角要分类，分类之后一定要检验。 3．“三线合一”是本章使用频率最高的性质，看到“等腰 + 中点”“等腰 + 垂直”“等腰 + 角平分线”，立刻联想到另外两条结论。 4．垂直平分线的核心作用是“转移线段”，常与三角形周长问题结合。 5．最短路径问题的通法：把同侧的点通过轴对称变到异侧，化折线为线段。 6．作图是本章的必考技能：尺规要会作线段的垂直平分线、作点关于直线的对称点、作两个对称图形的对称轴；网格中要会数格子作对称图形并写出坐标。动手作图时先想清楚“依据哪条性质”，作完一定要保留痕迹并写出结论。 本章知识网络 轴对称　→　（1）轴对称与轴对称图形；（2）线段的垂直平分线的性质与判定；（3）画轴对称图形与用坐标表示轴对称；（4）等腰三角形的性质与判定；（5）等边三角形；（6）含 角的直角三角形；（7）综合与实践：最短路径问题。 评分标准说明 解答题中的分数标注为参考给分点。涉及分类讨论的题目，漏掉一种情况一般扣一半分；未作三边关系检验而保留了不成立的解，同样要扣分。 作图题以“保留作图痕迹”为给分前提：只有结果、没有痕迹的，作图分一般不给；痕迹正确但没有写出结论或没有标注字母的，酌情扣 分；网格作图中顶点没有落在格点上的，该点不得分。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $