第04讲：裂项全解与通项归纳【从奥数到思维】-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）通用版

品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第04讲：裂项全解与通项归纳【从奥数到思维】 学 思维 ⑧自专题名称 第04讲：裂项全解与通项归纳 知专题导引 本专题主要研究裂项法在整数和分数计算中的应用。 裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，具体步骤是将数列中的每 ©思维解读 项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，对于比较 复杂的式子，我们可以先找通项，再进行分组裂项。 本讲作为整数裂项和分数裂项的高阶内容，更多总结通项公式，难度极大，建 旦讲解建议 议作为奥数高阶内容进行讲解。 回考点数量 七大考点 讲 思维 原【考点一】整数裂项 吕【典型例题】 计算。 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10 第2页共10页 6学科网 0【对应练习1】 计算。 1×2+2×3+3×4+.+49×50 0【对应练习2】 计算。 1×4+4×7+7×10+..+49×52 p【对应练习3】 计算。 1×2+3×4+5×6+.99×100 2×3+3×4+..+98×99 原【考点二】整数裂项进阶 名 【典型例题】 计算。 1X2X3+2×3×4+3X4×5+· www.zxxk.com 让教与学更高效 +9×10×11 第3页共10页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习1】 计算。 1×3×5+3×5×7+..+17×19×21 即【对应练习2】 计算。 10×16×22+16×22×28+..+70×76×82+76×82×88 肥【对应练习3】 计算。 1×2×3×4×5+2×3×4×5×6+..+10×11×12×13×14 原【考点三】整数裂项拓展 吕【典型例题】 计算。 1×1!+2×21+3×3++2008×2008! 第4页共10页 丽学科网 www.zxxk.com 0【对应练习1】 计算。 3×31+4×41+5×51+..+1980×1980则 即【对应练习2】 已知1×1+3×31+5×5+..+9×91=a,2×21+4×41+6×61+..+10×101 即【对应练习3】 计算。 原【考点四】分数裂项其一 吕【典型例题】 观察下列等式： 高六女 请将以上三个等式两边分别相加得： 1+1+1=1-1+11+11=1-13 1×22×33×4 22334 44 第5页共10页 让教与学更高效 b,求ab的值。 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)猜想并写出： 1 nn+)( (2) 1411 1x22x3+3x4+ 2016×2017=( （3)你究并计第：点6。 1 2016×2018-( ) 0计年位+立品+动安六高同 肥【对应练习1】 简便计算。 肥【对应练习2】 简便计算。 1+1+1+1+1 26122030 第6页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 泉【考点五】分数裂项其二 吕【典型例题】 简便计算。 1 1 1 1 1 +入+ 1×2×32×3×43×4×54×5×6 8×9×10 肥【对应练习】 简便计算。 2 2 2 2 1×2×32×3×43×4×5.+98×99×100 原【考点六】分数裂项其三 吕【典型例题】 计算。 1 1 1 1 1+2+1+2+31+2+3+4+…+1+2+3+.+99 第7页共10页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 计算。 1 1 1 1+21+2+31+2+3+4+.+ 1+2+3+..+50 原【考点七】分数裂项其四 侣【典型例题】 简便计算。 12+22,22+32 182+192,192+202 1×22x3++ 18×19 19×20 肥【对应练习】 计算。 3 5 7 ,15 1Px2+2×3+3×4++7×8 第8页共10页 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 练 思维 1.计算。 1x2+3×4+5×6+.+29x30=( ) 2.计算。 2012×2011-2011×2010+2010×2009-2009×2008+.+4×3-3×2+2×1=( )。 3.观察下面的等式，探究并计算。 1 X2=11111--1。那么 2’2×323’3×4341 1 (1)nx(n+1) 1+1+1 1 (2)12+2k33x4+…+2024×2025 4.计算。 1+1+1+1+11+1+1+1 2612203042567290 第9页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.计算。 3 5 7 19 +…十 1×2×32×3×43×4×5 9×10×11 6.计算。 5 9 1×2x32×3x43×4×5++5 6×7×8 7.计算。 1+5+11+19+29 26122030 8.计算。 3+3+3+3 1×44×77×1010×13 9.计算。 121124 1 1 1+2+3++100 第10页共10页 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第04讲：裂项全解与通项归纳【从奥数到思维】 专题名称 第04讲：裂项全解与通项归纳 专题导引 本专题主要研究裂项法在整数和分数计算中的应用。 思维解读 裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，具体步骤是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，对于比较复杂的式子，我们可以先找通项，再进行分组裂项。 讲解建议 本讲作为整数裂项和分数裂项的高阶内容，更多总结通项公式，难度极大，建议作为奥数高阶内容进行讲解。 考点数量 七大考点 【考点一】整数裂项 【典型例题】 计算。 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10 解析： 总结通项公式： 【对应练习1】 计算。 1×2+2×3+3×4+…+49×50 解析：41650 【对应练习2】 计算。 1×4+4×7+7×10+…+49×52 解析：15572 【对应练习3】 计算。 解析： 【考点二】整数裂项进阶 【典型例题】 计算。 1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11 解析： 总结通项公式： 【对应练习1】 计算。 1×3×5+3×5×7+…+17×19×21 解析：19503 【对应练习2】 计算。 10×16×22+16×22×28+…+70×76×82+76×82×88 解析：2147376 【对应练习3】 计算。 1×2×3×4×5+2×3×4×5×6+…+10×11×12×13×14 解析：600600 【考点三】整数裂项拓展 【典型例题】 计算。 1×1!+2×2!+3×3!+…+2008×2008! 解析： 总结通项公式：n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)!-n! 1×1!=(2-1)×1!=2!-1! 2×2!=(3-1)×2!=3!-2! 3×3!=(4-1)×3!=4!-3! …… 2008×2008!=(2009-1)×2008!=2009!-2008! 所以1×1!+2×2!+3×3!+…+2008×2008!=2009!-1 答：结果为2009!-1。 【对应练习1】 计算。 3×3!+4×4!+5×5!+…+1980×1980! 解析：1981！－3！ 【对应练习2】 已知1×1!+3×3!+5×5!+…+9×9!=a，2×2!+4×4!+6×6!+…+10×10!=b，求a+b的值。 解析：11！－1 【对应练习3】 计算。 解析： 【考点四】分数裂项其一 【典型例题】 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习1】 简便计算。 ＋＋ 【答案】 【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】＋＋ ＝＋＋ ＝（－＋－） ＝（） ＝ ＝ 【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。 【对应练习2】 简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点五】分数裂项其二 【典型例题】 简便计算。 解析： 【对应练习】 简便计算。 +++…+ 【答案】 【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题． 解：+++…+ =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =﹣ = 点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果． 【考点六】分数裂项其三 【典型例题】 计算。 。 【答案】 【分析】由于，所以题目中的式子可变形为： ，根据分数裂项变形可得： ，一加一减抵消后可得，最后通分计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握是解题的关键。 【对应练习】 计算。 【答案】 【详解】略 【考点七】分数裂项其四 【典型例题】 简便计算。 【答案】 【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。 【详解】 ＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋ ＝2×19＋（＋＋＋……＋＋） ＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－） ＝38＋（1－） ＝38＋ ＝ 【对应练习】 计算。 【答案】 【详解】原式 1．计算。 ( )。 【答案】4720 【分析】可以看出这道题的每一项都可以写成（2n－1）×2n，也就是从2开始，每一个偶数都乘比它小1的数，展开为4×n×n－2×n，分组求和。 前面是分组套用平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2＝；后面是等差数列求和计算，确定项数，依次代入公式算出总和。 【详解】原式＝1×2＋3×4＋5×6＋……＋29×30 ＝4×（12＋22＋…＋152）－2×（1＋2＋…＋15） 1到15平方和为1240；1到15自然数和为120 4×1240－2×120 ＝4960－240 ＝4720 2．计算。 ( )。 【答案】 【分析】先将算式中相邻两项（即带有减号的两项）组合在一起，接着用乘法分配律的逆用进行计算；接着可以发现每个乘法算式中都有数字，可以用乘法分配律的逆用计算；然后可以发现括号里面是一个首项为，末项为，公差为的等差数列；最后利用等差数列求和进行计算即可。 【详解】 括号里面是一个首项为，末项为，公差为的等差数列，项数： 原式 3．观察下面的等式，探究并计算。 ，，。那么： (1)_____________。 (2)________________。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察题干给出的三个等式，发现左边分数的分母是两个连续自然数的乘积，分子是1；右边是这两个自然数为分母、分子为1的两个分数的差。据此归纳出通项公式。 （2）计算求和算式时，利用第（1）问得出的规律，将算式中的每一个分数都拆分成两个分数的差。观察拆分后的算式，除首项和末项外，中间各项一加一减刚好可以抵消，最后计算首项减末项的结果。 【详解】（1）观察已知等式：，，，可以发现规律：分子是1，分母是两个连续自然数n与（n＋1）乘积的分数，等于这两个自然数为分母、分子为1的分数的差。即：。 （2）根据上述规律： 4．计算。 【答案】 【分析】根据题意，先观察各分数分母的规律，每个分数的分母可分解为两个连续自然数的乘积，再利用裂项相消法将每个分数拆分为两个分数的差，即分数可以写成，然后通过抵消中间项简化计算即可。 【详解】根据题意，每个分数的分母可分解为两个连续自然数的乘积： ，，，，，，，，. 利用公式：， ，，，……， 将拆分后的式子代入原式，中间项相互抵消： 5．计算。 【答案】/ 【分析】根据已知的分数式，列出第n个分数的通项：。 对通项进行裂项拆分并化简，并将化简后的分数式继续裂项，利用裂项后的规律，中间项相互抵消，从而快速求和。 【详解】列出通项公式并将其初步裂项： ＝ ＝＋ ＝＋ 继续对进行裂项：＝ 对进行裂项：＝ 所以通项公式转化为：＋ 将n＝1~9代入通项公式中： ＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝ 【点睛】本题的难点在于求出通项公式后，需要对其进行两次裂项，然后将n的数值带入，分成两部分两两相消，最终求出答案。 6．计算。 【答案】 【分析】根据通项可以对原式中的分数进行拆分；将分数分成两组，第一组通过裂项可以凑出能够正负相消的分数，进行简算；第二组首先提取公因式，再进行裂项和正负抵消；最后按照四则运算顺序进行计算即可。 【详解】解： 7．计算。 【答案】 【分析】观察每一个分数：、、、、，它们都接近，统一拆成的形式，原式转化为个相加减一串分数。括号里的分数、、…，可以拆解成两个分数相减，中间项相互抵消，只保留首尾，快速算出这部分的和。用5减去抵消后剩余的分数结果，算出最终答案。 【详解】 8．计算。 【答案】 【分析】发现分子都是3，分母是两个差为3的数相乘，符合裂项相消的特征：＝－，就是＝－，＝－，＝－，＝－，将拆分后的式子代入原式，计算出最终结果。 【详解】 ＝（－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 【点睛】这道题的核心是分数裂项相消，当分子等于分母两个因数的差时，可以把分数拆成两个分数的差，中间项会全部抵消，快速简化计算，避免复杂的通分运算。 9．计算。 【答案】 【分析】观察算式可知，除第一项外，其余各项均为分数，且分母为从1开始公差为1的等差数列的和，根据等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2，每个分母用求和公式表示，例如1＋2＝（1＋2）×2÷2＝2×3÷2，1＋2＋3＝（1＋3）×3÷2＝3×4÷2，1＋2＋3＋4＝（1＋4）×4÷2＝4×5÷2，以此类推，把每个分母表示为两个连续自然数相乘再除以2的形式，利用分数的基本性质，将每个分数的分子和分母都乘2，将每个分数转化为 的形式，再运用裂项相消法，将 拆分为 。提取公因数 2后，中间各项相互抵消，仅剩首尾两项，最后计算得出结果。 【详解】 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 —宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共13页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第2页共13页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第04讲：裂项全解与通项归纳【从奥数到思维】 学 思维 专题名 第04讲：裂项全解与通项归纳 称 到专题导 本专题主要研究裂项法在整数和分数计算中的应用。 引 裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，具体步骤是将数列中 思维解 的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的， 读 对于比较复杂的式子，我们可以先找通项，再进行分组裂项。 讲解建 本讲作为整数裂项和分数裂项的高阶内容，更多总结通项公式，难度极 议 大，建议作为奥数高阶内容进行讲解。 考点数 七大考点 第3页共13页 学科网 量 原 【考点一】整数裂项 8 【典型例题】 计算。 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6 肥 【对应练习1】 计算。 1×2+2×3+3×4+..+49×50 肥 【对应练习2】 计算。 1×4+4×7+7×10+..+49×52 www.zxxk.com 讲 思维 7+7×8+8×9+9×10 第4页共13页 函学科网 【对应练习3】 计算。 1×2+3×4+5×6+…99×100 2×3+3×4+…+98×99 (考点二】整数裂项进阶 【典型例题】 计算。 1×2×3+2×3×4+3×4×5+.+9×10 【对应练习1】 计算。 1×3×5+3×5×7+..+17×19×21 【对应练习2】 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 第5页共13页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算。 10×16×22+16×22×28+..+70×76×82+76×82×88 【对应练习3】 计算。 1×2×3×4×5+2×3×4×5×6+..+10×11×12×13×14 【考点三】整数裂项拓展 吕 【典型例题】 计算。 1×1I+2×2!+3×3!+..+2008×2008! 【对应练习1】 计算。 3×3!+4×41+5×51+..+1980×1980则 第6页共13页 可学科网 www.zxxk.com 【对应练习2】 已知1×11+3×31+5×51+.+9×91=a,2×2!+4×4!+6×61+..+10×10! 【对应练习3】 计算。 +子+3+…+ 2!3!4！ 131 原 【考点四】分数裂项其一 号【典型例题】 观察下列等式： 高点女 1 请将以上三个等式两边分别相加得： 1+1+1=1- 111,11 1x22×33x×42233451 44。 第7页共13页 让教与学更高效 b,求a+b的值。 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 (1)猜想并写出：n(n+)( )。 1.11 1 (2)1k22×3+3×4+…+2016×2017-（ )。 1+1+1 (3)探究并计算：2×44×66×8 …十 2016×2018( )。 1,1,1,1,1,1,1,1,1 (4)计算：4+12+24+406084112144180 职 【对应练习1】 简便计算。 111 3x5+5x7+7x9 职 【对应练习2】 简便计算。 1.1,1,1,1 2+6+12+2030 第8页共13页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【考点五】分数裂项其二 8 【典型例题】 简便计算。 1 1 1 十十 1×2×32×3×43×4×54×5×6 8×9x10 即 【对应练习】 简便计算。 2 2 2 1×2×3+2×3×4+3×4×5+.+98×99×100 原 【考点六】分数裂项其三 8 【典型例题】 第9页共13页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 计算。 1.1 1 1 1+2+1+2+3+1+2+3+4+.+1+2+3++99 即 【对应练习】 计算。 1+,1+1 1 1+21+2+3”1+2+3+4 1+2+3+..+50 原 【考点七】分数裂项其四 8 【典型例题】 简便计算。 12+2222+32 182+192192+202 1x2+2x3+.+ 18×1919×20 第10页共13页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即 【对应练习】 计算。 x2*2对+3++，5 3 5 ，7 T72×82 练 思维 1.计算。 1×2+3×4+5×6十+29×30( )。 2.计算。 2012×2011-2011×2010+2010×2009-209×2008++4x3-3×2+2×1=( )。 第11页共13页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.观察下面的等式，探究并计算。 1 =1-11=1_1111 1×22’2×323,3×434。那么： 1 (1)nx(n+1) 1+1+1 1 (2)1x2+2x3+3x4++ 2024×2025 4.计算。 1,1,1,1,1,1,1,1,1 2+6+12+20+30+42+56+72+90 5.计算。 3 7 19 1×2×32x3x43x4x5+…+。 9×10×11 6.计算。 5 7 9 1x2×32×3x43x4x5+.+15 6×7×8 第12页共13页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.计算。 1,5,11,19,29 26122030 8.计算。 33 3 3 1×44×77×1010×13 9.计算。 11 1 1-1+21+2+31+2+3+41+2+3++100 第13页共13页品学科网 众里寻他千百度。 www.zxxk.com 让教与学更高效 蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。 一宋·辛弃疾《青玉案·元夕》 第1页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「通用版」 第04讲：裂项全解与通项归纳【从奥数到思维】 学 思维 ⑧的专题名称 第04讲：裂项全解与通项归纳 团专题导引 本专题主要研究裂项法在整数和分数计算中的应用。 裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，具体步骤是将数列中的每 ©思维解读 项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，对于比较 复杂的式子，我们可以先找通项，再进行分组裂项。 本讲作为整数裂项和分数裂项的高阶内容，更多总结通项公式，难度极大，建 旦讲解建议 议作为奥数高阶内容进行讲解。 回考点数量 七大考点 讲 思维 原【考点一】整数裂项 吕【典型例题】 计算。 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10 解析： 总结通项公式： (=an1)(m2)(n-1m(ntDn()(2)(a-1)a(n) 3 第2页共17页 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 原式-写12x3+(*2x3x4写1x2x3++(9x10x1-写×8x9x10)-写×9x10x 11=330 肥【对应练习1】 计算。 1×2+2×3+3×4+..+49×50 解析：41650 肥【对应练习2】 计算。 1×4+4×7+7×10+..+49×52 解析：15572 肥【对应练习3】 计算。 1×2+3×4+5×6+-99×100 2×3+3×4+…+98×99 解析： 3383 3283 原【考点二】整数裂项进阶 吕【典型例题】 计算。 1×2×3+2×3×4+3×4×5++9×10×11 解析： 总结通项公式：n(m+1)m+2)=n0m+1)0m+2)m+3)-(m-1)n0m+1)0m+2] 原式=二×1×2×3×4+ (合×2x3x4x5×1x2x3x4）++(}x9x10x1Ix12-x8x9x10x11） ×9x10x11×12=2970 1 0【对应练习1】 计算。 第3页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1×3×5+3×5×7+.+17×19×21 解析：19503 肥【对应练习2】 计算。 10×16×22+16×22×28+..+70×76×82+76×82×88 解析：2147376 肥【对应练习3】 计算。 1×2×3×4×5+2×3×4×5×6+..+10×11×12×13×14 解析：600600 原【考点三】整数裂项拓展 吕【典型例题】 计算。 1×1!+2×2!+3×3!++2008×2008! 解析： 总结通项公式：n×nl=[n+1)-1]×n=m+1)-nl 1×1=(2-1)×11=21-1川 2×21=(3-1)×21=31-21 3×31(4-1)×31=41-31 2008×20081-(2009-1)×20081=20091-2008! 所以1×11+2×21+3×31+..+2008×20081=20091-1 答：结果为20091-1。 肥【对应练习1】 计算。 3×31+4×41+5×51+..+1980×19801 解析：1981！一3！ 第4页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习2】 已知1×1！+3×3！+5×51+..+9×91=a,2×2+4×41+6×6+..+10×101=b,求a+b的值。 解析：11！一1 肥【对应练习3】 计算。 123 12 2元++平+…+i 解析：1- 1 13 原【考点四】分数裂项其一 吕【典型例题】 观察下列等式： 1 1111111 121-克23233x44 请将以上三个等式两边分别相加得： 1,11 12+23341 1+1+11-3 2=1- 22334144° 1 (1)猜想并写出：m+D( )。 (2)+1+1 1 1×22×33×4' 2016×2017=( ) (3》究并计算：4立66。中 1 2016×2018( 。 (4)计算： 1,1,1,1,11,1,1,1 41224406084112144180 11 【答案】(1) nn+1 (2) 2016 2017 252 (3) 1009 (4) 20 【分析】(1)先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； (2)根据(1)中的猜想计算出结果： 第5页共17页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3) 根据乘法分配律提取子再计算即可求解： (4)先拆项，再抵消结果即可求解。 1 【详解】(1) (n+1) =11 n+1 2)1+11 1×22×33×42016×2017 =1-1+11+11 11 22334++ 20162017 1 =1- 2017 2016 2017 (3)1+1+1+.…+ 1 2×44×66×8 2016×2018 =1(1+1+1 1 41x22×33×4 1008×1009 1.1008 41009 252 1009 (4)2+1+1+1+1+1+1+1+1 41224406084112144180 =1(1+1+1+1 21×22×33×49×10 1- 210 19 210 9 = 20 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 即【对应练习1】 简便计算。 【答案】) 第6页共17页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分】根批裂项求和的方法，六5)文信》行》 然后根 据加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】，++79 G+店)+传 1 2 12 29 -6 【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。 0【对应练习2】 简便计算。 台6立*动+品 【解】分甘立动 =a-)+2马+马)+2马+1) 223344556 =1-+1+11+1111 223344556 1 =1- 6 5 6 原【考点五】分数裂项其二 吕【典型例题】 简便计算。 1 1 +入+1 1×2×32×3×43×4×54×5×6 8×9×10 解析： 第7页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 +入+ 1×2×32×3×43×4×54×5×6 8×9×10 1、11 11 11 1 1 21x2 2×32×33×43×44×5 8×99x10 1/11 2(1×29×10 111 =2(290) 122 245 11 45 即【对应练习】 简便计算。 2 2 2 2 1×2×3 2×3×43×4×5. 98×99×100 【答案】 4949 9900 2 2 【详解】试题分析：因为 1 1 1×2×3 1×2 2×3 2×3×4 2×3 3×41 因此通 过拆分，加减相互抵消，解决问题。 解： 2 2 2 2 1×2×32×3×4'3×4×5 98×99×100 11 11 11 1 1 =( 1×22×3 )+( 2×3 3X4)+ 3×44×5+.+ 98×99 99×100 11 29900 4949 9900 点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果 原【考点六】分数裂项其三 吕【典型例题】 计算。 1 1 1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+.+99 【答案】号 【分析】由于1+2+3++nn+1)' 所以题目中的式子可变形为： 第8页共17页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1 1 1 2×2×3+3x4 十 99×100 根据分数裂项变形可得： 11,11 11 1 2 1) 1 1 (23+34++ 989999100' 一加一减抵消后可得2× 2100 最后通分计算即可。 1 1 【详解】 1 1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+..+99 1 =2× 11 2×33×4 99×100 11,11 ,1111 =2×2334 989999100 =210 49 50 【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握 2 1+2+3++nn(n+1) 是解题的关键。 即【对应练习】 计算。 11 1 1 +.+ 1+21+2+3“1+2+3+4 1+2+3+..+50 【答案】1 51 【详解】略 原【考点七】分数裂项其四 侣【典型例题】 简便计算。 12+22.22+32 182+192192+202 1×2 2×3 18×19 19×20 【答案】3819 0 【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与 裂项。 12-2*22g9-2+3 3+4_9+16_25=2+ 1×222 1×2 2×366 3×41212 1 18+19 -2+1,19+20-2 11 11111 3×4 18×19 18×19'19×20 +19x20°12=1-，23=号-33x4= 1 1 111 11 4…18×19-1819’19×20-1920 第9页共17页 的学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】1+22+32 ,182+192,192+202 1×22×3 18×1919×20 二2+1×2 2+3+2+4++2+18 1 1 +2+19x20 1 1 11+1-1) =8+4-+-+片+…西+g0 =38+(1- 20 =38+19 0 =3819 20 肥【对应练习】 计算。 3 5 、> 15 12×22 32×42++ 22×32+ 2×82 【答案】 64 【详解】原式-2-+3-24-3 82-72 1Px22+2x3+32x4 72×82 =1-1+1-111 .11 2+2交京+京苹++7京8 第10页共17页 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 练 思维 1.计算。 1×2+3×4+5×6+.+29x30=( 【答案】4720 【分析】可以看出这道题的每一项都可以写成(2n-1)×2n,也就是从2开始，每一个偶数都 乘比它小1的数，展开为4×n×n一2×n,分组求和。 前面是分组套用平方和公式：1P+22+3++n2=n+1)(2m+ 2; 后面是等差数列求和计算， 6 确定项数，依次代入公式算出总和。 【详解】原式=1×2+3×4+5×6+.+29×30 =4×(12+22+..+152)-2×(1+2+..+15) 1到15平方和为1240：1到15自然数和为120 4×1240-2×120 =4960-240 =4720 2.计算。 2012×2011-2011×2010+2010×2009-2009×2008+.+4×3-3×2+2×1=( 【答案】2024072 【分析】先将算式中相邻两项（即带有减号的两项）组合在一起，接着用乘法分配律的逆用进 行计算：接着可以发现每个乘法算式中都有数字2，可以用乘法分配律的逆用计算：然后可以 发现括号里面是一个首项为2011，末项为1，公差为2的等差数列：最后利用等差数列求和进 行计算即可。 【详解】2012×2011-2011×2010+2010×2009-2009×2008++4×3-3×2+2×1 =2011×(2012-2010)+2009×(2010-2008)++3×(4-2)+2×1 =2011×2+2009×2+.+3×2+2×1 =2×(2011+2009+…+3+1) 括号里面是一个首项为2011，末项为1，公差为2的等差数列，项数： 第11页共17页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2011-1)÷2+1 =2010÷2+1 =1005+1 =1006 原式=2×1+201D×1006÷2 =2012×1006 =2024072 3.观察下面的等式，探究并计算。 3分3村4背子那么： 1 1 (1)nx(n+1) C 1 1 一十 +2024×2025 【答案】（①nn+ 11 o恶 【分析】(1)观察题干给出的三个等式，发现左边分数的分母是两个连续自然数的乘积，分 子是1：右边是这两个自然数为分母、分子为1的两个分数的差。据此归纳出通项公式。 (2)计算求和算式时，利用第(1)问得出的规律，将算式中的每一个分数都拆分成两个分数 的差。观察拆分后的算式，除首项和末项外，中间各项一加一减刚好可以抵消，最后计算首项 减末项的结果。 【详解】少双察已知等式立1号3片4京可以发现规作：分了是 分母是两个连续自然数n与(n+1)乘积的分数，等于这两个自然数为分母、分子为1的分数 的差。即： 111 nx(n+1)nn+1° (2)根据上述规律： 1+1+1 1×22×33×4 2024×2025 =0-日6+ 1) 1+1_111,1 1 22334++ =1- 20242025 第12页共17页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 2024 -2025 4.计算。 1+1+1+1+1+1+1+1+1 2612203042567290 【答案】日 【分析】根据题意，先观察各分数分母的规律，每个分数的分母可分解为两个连续自然数的乘 111 积，再利用裂项相消法将每个分数拆分为两个分数的差，即分数可以写成+D元n十1，然 后通过抵消中间项简化计算即可。 【详解】根据题意，每个分数的分母可分解为两个连续自然数的乘积： 111111111111111111 21×2’62x3’123×4’204x5’305×6’426×7’567×8’728×9’909×10 111 利用公式：nn+)nn+1' 片点高片 111 ,9×10910 将拆分后的式子代入原式，中间项相互抵消： 1+1+1+1+1+1+1+1+1 2+612203042567290 -动g+6司 =1-1+11+11+111 223+34+9+910 11 10 9 10 5.计算。 3 5 > 19 1x2x32x3x43x4x5+ 9×10×11 【答案】0品 【分析】根据已知的分数式，列出第n个分数的通项： 2n+1 nx(n+1)x(n+2) 对通项进行裂项拆分并化简，并将化简后的分数式继续裂项，利用裂项后的规律，中间项相互 抵消，从而快速求和。 第13页共17页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】列出通项公式并将其初步裂项： 2n+1 nx(n+1)x(n+2) (+1)+n n×+1)×(n+2) (n+1) n×(+1)×(0+2) n×(2+1)×(0+2) 1 nxm+2)）+0m+10×0m+2) 1 继续对 =1x11 n×(n+2) 进行裂项： n×(n+2)2(nn+2 1+)xm+2)进行裂项： 对 11 0m+0x0+2)=n+1n+2 2n+1 1×1-1 所以通颐公式x+Dx+2》转化为：☒[n十2 11 n+1n+2 将n=19代入通项公式中： +》++6品品 =+++6+…品》 0片44。与+6+》+6》 = 品+ 1 = 11449 2110千2 72 45 110110 117 110 【点睛】本题的难点在于求出通项公式后，需要对其进行两次裂项，然后将的数值带入，分 成两部分两两相消，最终求出答案。 6.计算。 5 7 9 1×2×32×3×43×4×5 +.+15 6×7×8 【答案】 165 112 【分析】根据通项 n(n+D(m+2n(m+Dn十Dm十2可以对原式中的分数进行拆分：将 a A B 分数分成两组，第一组通过裂项可以凑出能够正负相消的分数，进行简算；第二组首先提取公 因式，再进行裂项和正负抵消；最后按照四则运算顺序进行计算即可。 第14页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解： ga +.…+15 6×7×8 1 6×8 -哈-动6步6周 =-》+++合月 61691 7+562 6169 7112 =165 112 7.计算。 1+5+11+19+29 26122030 【答案】 25 6 【分折】观察每个分数：名日员动它们春接近，统拆成一分的形式 原式转化为5个1相加减一串分数。括号里的分数：、合日，可以拆解成两个分数相减 +D”中，中间项相互抵消，只保留首尾，快速算出这部分的和。用5减去抵消后剩余 1-11 的分数结果，算出最终答案。 【详解】台品品 4)动)0 =1-}1-21-+1-+1- 2161121-20130 =1x5-+2+1+11） (26122030 =1x5-1+1+11 1x22×33x44x55。 第15页共17页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.11.11.1111 =5-12+23344+56 一十一 =5-- 5-6 5 25 -6 8.计算。 33 3 1×44×77×1010×13 【答案】片 【分析】发现分子都是3，分母是两个差为3的数相乘，符合裂项相消的特征： 3 a0+3)元 中3就是是。京品，=片号n-品0品0品将拆分后的式子代 1 入原式，计算出最终结果。 【详解1子品00 3 =+(片+品+（品吉 月+片+片0+0后 1 =1一13 12 13 【点睛】这道题的核心是分数裂项相消，当分子等于分母两个因数的差时，可以把分数拆成两 个分数的差，中间项会全部抵消，快速简化计算，避免复杂的通分运算。 9.计算。 1、、1 1 1 1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+…+100 【答案】品 【分析】观察算式可知，除第一项1外，其余各项均为分数，且分母为从1开始公差为1的等 差数列的和，根据等差数列的和=（首项十末项）×项数2，每个分母用求和公式表示，例如 1+2=(1+2)×2÷2=2×3÷2,1+2+3=(1+3)×3÷2=3×4÷2,1+2+3+4=(1+4)×4÷2 =4×5÷2,以此类推，把每个分母表示为两个连续自然数相乘再除以2的形式，利用分数的基 第16页共17页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2 本性质，将每个分数的分子和分母都乘2，将每个分数转化为n+D的形式，再运用裂项相 2 消法，将 n(n+1) 拆分为2x(1)。 提取公因数2后，中间各项相互抵消，仅剩首尾两 n+1 项，最后计算得出结果。 1 【详解】1-十21+2+323 1+2+3+.+100 1人1 1 1 1 1+21+2+31+23+4 123+..t00 1 1+ 1 1 2x33x4十4x5++ 100×101 、 2 2 2 21 2十 2 . 2 =1-2k33x44×5 100×101 1-2x,1+1+1 2×33×44x5 100×101 =1-2[G传+4+0 26品 =1-2x 99 202 9 110 2 01 第17页共17页