第一单元 确定位置【从课本到奥数】-2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版·新教材

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 —宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「新教材」 第一单元确定位置【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.地铁19号线某站点位置用数对表示为(5,6)，若该站点向东平移3站，用数对表示为 ( ),再向南平移2站，新位置用数对表示是( ) 2.成语是中国传统文化的一大特色。从图中可以选取数对( )、( )( 和( )上的汉字，组成成语( 。 4大心灵手 3不义色巧 2动声凛然 1平易近人 1234 3.小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点（如图）。此时， 小亮回头看A点，发现A点在C点的( )偏( )°方向。 北 40m. G 辱 A 4.以学校为观测点，填一填。 北 商店 9 459 学校 西 30 45° →东 ● 少年宫 书店 南 书店在学校的( )偏( ) )°的方向上；少年宫在学校的( )偏 第2页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ( )( )°的方向上；( )在学校北偏西( )°的方向上。 二、解答题。 5.下面是动物园部分场馆平面图。 10 大象馆 9 8 熊猫馆 ● 6 长颈鹿馆 5 4 3 猴山 ● 老虎馆 2 0 1 大门 2345678910 萍萍的参观路线是(10,0)→（7,3)→(5,5)→(2,2)→（1,7)→（4,9)请把她 去过的地方依次写出来。 6.下面是光明小学今年的春游路线图。 9 P 科技展览中心 雷锋纪念馆 7 博物馆 6 5 游乐场 4 学校 3 中心公园( 2 动物园 01 少年宫 1 2345 67891011 (1)学校的位置在( ),雷锋纪念馆的位置在( ),科技展览中心的位置在 ),游乐场的位置在( ),少年宫的位置在( ),动物园的位置在 ),中心公园的位置在( ),博物馆的位置在( ) (2)同学们吃午饭的位置在第六行第五列，请你用“△”在图中标出来。 7.我会操作。 第3页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 北 图书馆个 学校 200米 (1)图书馆在学校的( )偏( )( )°方向，距离( )米处。 (2)少年宫在学校的西偏南50°方向，距离400米处。请在图上画出少年宫的位置。 8.说一说，明明从学校到商场的路线图。 体育场跏 :电影院 45y 北 学校 30 1309 45 商场 文化宫 200m 第4页共16页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】中国象棋游戏 象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还：车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不 出院。如图，下一步相”可以走到哪些位置？请你用数对分别表示出来；( )( ) )、( ) 相 走“日”， 馬 (相”走“田” 0 6 > 职【对应练习】 1.下面是中国象棋的一部分，如图所示。 > 6 5 楚河 凿☒ 2 将 1 2 34 5 678 画代表红子方， 将将代表黑子方) (1) @所在的位置是(3,9)，请分别写出以下几个棋子的位置。 图( )①( )围( (2)象棋规定过河的国 一 步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的国下一步 第5页共16页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可以走到的位置( )( )( )。周走“日”，在该局中周下一步可以走到 (5,5)处，还可以走到( )( )。（写二种) 2.如图是中国象棋棋盘的一部分。棋子马”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一 个对角线，俗称马走日”。棋子象”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象走田”。 5 4 卒 3 炮 2 象士将士 马车 234 56789 (1I)用数对表示棋盘中棋子炮x将x卒的位置。 炮( ),将( ),卒( ) (2)用数对表示棋盘中棋子马x象”走一步分别到达的位置。 “马”走一步可以到达( ),也可以到达( ),还可以到达( ) “象”走一步可以到达( ),也可以到达( ) 3.象棋中马走日，象走田”是人们熟知的象棋口诀。根据下图回答： 5 4 卒 3(象 士 马 2 将 1 2 5 6 8 9 (1)象在下一步有( )个位置能走。用数对表示其中一个是( ) (2)马在下一步有( )个位置能走。用数对表示表示其中一个是( ) 吕【奥数培优2】国际象棋游戏 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3 的棋盘控制了，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？ 第6页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。现在已经建了 两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。 ★ 2.在“植物大战僵尸”游戏中，疯狂的戴夫培育了一种新的植物，这种植物可以向上、下、 左、右以及对角线这八个方向发射子弹。请你在下图的小格中画“O”表示这种植物在尽可能 少的放置这种植物的情况下，使得全部位置都能被子弹攻击到。 3.有一个5×5的棋盘，每个格子中都放着一枚棋子，如果想让每一枚棋子与它相邻的另一枚 棋子交换位置，能办到吗？ 吕【奥数培优3】方格游戏 扫雷是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格)。 第7页共16页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 ① ② ③ 3 3 ⑧ ★ ④ 4 ⑦ ⑥ ⑤ 5 4 4○ 扫雷前 扫雷后（打○的是雷） 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标。，不是雷的标×） 12 1 2 了 43 2 123 2 2 2 1 1 1221 肥【对应练习】 1.如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中 每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有 )个雷。 4 3 2 1 1 2 3 3 1 2 3 23 3 3 2.下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑 脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画o”,其他画×） 第8页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： (1)图中共有6个宝物 (2)数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量： (3)数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用o表示） 1 O 3 O 0 5 0 5 3 2 3 图1 图2 吕【奥数培优4】数独游戏 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个2×3长方形 框内数字都不重复。那么数“ABCDE”是多少？ 42 1 5ABCDE 6 56 1 5 3 2 肥【对应练习】 1.请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个2x3长方形框内的数字都不重复。 1 6 5 3 6 63 45 4 1 31 2 4 24 3 1 第9页共16页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个方框内的 数字都不重复。那么A是多少？B是多少？C是多少？D是多少？ 4 2 1 5 A 63 B 5 6 1 C 5 3 D 2 3.请你在下面的空格内填入数字1~9，使得每行、每列和每个3×3正方形框内的数字都不重 复。 3 7 4 6 2 4 1 5 3 967 4 3 6 8 7 35 9 7 2 71 8 2 4 1 6 8 9 4 5 3 吕【奥数培优5】数阵图游戏 把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的（里，使每条线上三个数的和都相等。 第10页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的()里，使每条直线上的和都等于12。 2.把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈 填完整) 3.将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到下图的圆圈中，使得每个正方形 的四个角上的数字之和都相等，这个相等的和是( ) 二【奥数培优6】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。己知∠2=40°，AC=BC。点B在点C的( )方向上， 点A在点C的东偏北( )°方向上。 北 3 东 第11页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的 )偏( )( )°方向( )厘米处。 北 个 A B 吕【奥数培优7】有序数对与位置综合应用 看图填空。 北 8 B 4 3 2 A 0米 012345678 (1)如果A点的位置用数对(1,2)表示，那么B点的位置可用数对( )表示。 (2)如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图 上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。 (3)连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 第12页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一 个方格的对角线长代表10m,所研究的点都是网格的交点。 10 北 9 8 7 5 4 3 2 012345678910 (1)点(0,0)北偏东45°方向30m是点A,它的位置用数对表示是( ) (2)点A北偏西45方向20m是点B,点B北偏东45°方向20m是点C,点C南偏东45方 向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ (3)请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积 与第(2)题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设 计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E:( )、( )、( ) ( ) 二【奥数培优8】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 (1)根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 (2)芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 第13页共16页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 北 医院 超市400m 个 200m 130° .360m 1609 学校 即【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西 偏北30°方向行300米到达终点C地。 北 100m 家 (1)根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 (2)如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 吕【奥数培优9】在数列中寻找分数的位置 已知数列时·5点，则第10个数是( )。 肥【对应练习】 1.找短律子、1小、吕是9、…这串数中第7个数( ) 2。一列分数：分、分、子子、子、子、片按规律，是这列分数中的第 )个。 3.瑞上数学较师巴尔术碳功施从光瑞数指号台祭 ,中得到巴尔末公式，从而打开了 光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( ),第8个数是( ) 第14页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【奥数培优10】在数表中寻找数的位置 把自然数按下表规律排列后，可分成A、B、C、D、E五列，例如，3在第一行C列。那么， 2026在哪一行，哪一列？ A B C D E 1 2 3 4 8 6 5 9 10 11 12 13 肥【对应练习】 1.如下表所示，将奇数1,3,5,7,9，依次排成五列，把最左边的一列叫作第一列，按表 将每列依次编号。这样一直排下去，数“2027”出现在第几列？ 13 5 7 1513 11 9 17 19 21 23 3129 27 25 2.用部分小数排三角形数阵。照这样排下去，0.2026是第几行左起第几个数？ 0.1 0.20.3 0.40.5 0.6 0.70.80.90.10 0.110.120.130.140.15 。 3.有一串数按如下规律排列，9904是第几行的第几个数？ 第15页共16页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1,2 3,4,5,6 7,8,9,10,11,12 13,14,15,16,17,18,19,20 第16页共16页 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「新教材」 第一单元确定位置【从课本到奥数】 一、填空题。 1．地铁19号线某站点位置用数对表示为（5，6），若该站点向东平移3站，用数对表示为( )，再向南平移2站，新位置用数对表示是( )。 2．成语是中国传统文化的一大特色。从图中可以选取数对( )、( )、( )和( )上的汉字，组成成语( )。 3．小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点（如图）。此时，小亮回头看A点，发现A点在C点的( )偏( )( )°方向。 4．以学校为观测点，填一填。 书店在学校的( )偏( )( )°的方向上；少年宫在学校的( )偏( )( )°的方向上；( )在学校北偏西( )°的方向上。 二、解答题。 5．下面是动物园部分场馆平面图。 萍萍的参观路线是（10，0）→（7，3）→（5，5）→（2，2）→（1，7）→（4，9）请把她去过的地方依次写出来。 6．下面是光明小学今年的春游路线图。 （1）学校的位置在( )，雷锋纪念馆的位置在( )，科技展览中心的位置在( )，游乐场的位置在( )，少年宫的位置在( )，动物园的位置在( )，中心公园的位置在( )，博物馆的位置在( )。 （2）同学们吃午饭的位置在第六行第五列，请你用“△”在图中标出来。 7．我会操作。 （1）图书馆在学校的( )偏( )( )°方向，距离( )米处。 （2）少年宫在学校的西偏南50°方向，距离400米处。请在图上画出少年宫的位置。 8．说一说，明明从学校到商场的路线图。 【奥数培优1】中国象棋游戏 象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院。如图，下一步“相”可以走到哪些位置？请你用数对分别表示出来；( )、( )、( )、( )。 【对应练习】 1．下面是中国象棋的一部分，如图所示。 （代表红子方，将代表黑子方） (1) 所在的位置是（3，9），请分别写出以下几个棋子的位置。 ( )  ( )  ( ) (2)象棋规定过河的一步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的下一步可以走到的位置( ) ( )  ( )。走“日”，在该局中下一步可以走到（5，5）处，还可以走到( ) ( )。（写二种） 2．如图是中国象棋棋盘的一部分。棋子“马”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“象”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象走田”。    (1)用数对表示棋盘中棋子“炮”“将”“卒”的位置。 炮( )，将( )，卒( )。 (2)用数对表示棋盘中棋子“马”“象”走一步分别到达的位置。 “马”走一步可以到达( )，也可以到达( )，还可以到达( )。 “象”走一步可以到达( )，也可以到达( )。 3．象棋中“马走日，象走田”是人们熟知的象棋口诀。根据下图回答： （1）象在下一步有( )个位置能走。用数对表示其中一个是( )。 （2）马在下一步有( )个位置能走。用数对表示表示其中一个是( )。 【奥数培优2】国际象棋游戏 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后(图中五角星)就把整个3×3的棋盘控制了，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后? 【对应练习】 1. 在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。 2. 在“植物大战僵尸”游戏中，疯狂的戴夫培育了一种新的植物，这种植物可以向上、下、左、右以及对角线这八个方向发射子弹。请你在下图的小格中画“○”表示这种植物在尽可能少的放置这种植物的情况下，使得全部位置都能被子弹攻击到。 3. 有一个5×5的棋盘，每个格子中都放着一枚棋子，如果想让每一枚棋子与它相邻的另一枚棋子交换位置，能办到吗? 【奥数培优3】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 【奥数培优4】数独游戏 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个2×3长方形框内数字都不重复。那么数“ABCDE”是多少? 【对应练习】 1. 请你在下面的空格内填入数字1～6,使得每行、每列和每个2×3长方形框内的数字都不重复。 2. 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个方框内的数字都不重复。那么A是多少?B是多少?C是多少?D是多少? 3. 请你在下面的空格内填入数字1～9，使得每行、每列和每个3×3正方形框内的数字都不重复。 【奥数培优5】数阵图游戏 把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 【对应练习】 1．把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 2．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 3．将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到下图的圆圈中，使得每个正方形的四个角上的数字之和都相等，这个相等的和是( )。 【奥数培优6】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【奥数培优7】有序数对与位置综合应用 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【奥数培优8】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【奥数培优9】在数列中寻找分数的位置 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【对应练习】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【奥数培优10】在数表中寻找数的位置 把自然数按下表规律排列后，可分成A、B、C、D、E五列，例如，3在第一行C列。那么，2026在哪一行，哪一列? 【对应练习】 1. 如下表所示，将奇数1，3，5，7，9，…依次排成五列，把最左边的一列叫作第一列，按表将每列依次编号。这样一直排下去，数“2027”出现在第几列? 2. 用部分小数排三角形数阵。照这样排下去，0.2026是第几行左起第几个数? 3. 有一串数按如下规律排列，9904是第几行的第几个数? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 —宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共33页 而学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「新教材」 第一单元确定位置【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.地铁19号线某站点位置用数对表示为(5,6)，若该站点向东平移3站，用数对表示为 ),再向南平移2站，新位置用数对表示是( ) 【答案】 (8,6) (8,4) 【分析】数对中第一个数表示列，第二个数表示行。向东（即向右）平移对应列数增加，用原 数对的第一个数加平移的站数，第二个数保持不变，得到向东平移后的数对。向南（即向下） 平移对应行数减少，用向东平移后数对的第二个数减平移的站数，第一个数保持不变，得到最 终位置的数对。 【详解】原位置是(5,6)，向东（右）平移3站，只有列数增加3，行数不变：5+3=8，平 移后位置为(8,6)：再向南（下）平移2站，只有行数减少2，列数不变：6一2=4，最终新 位置为(8,4)。 2.成语是中国传统文化的一大特色。从图中可以选取数对( )、( )( 和( )上的汉字，组成成语( 4大心灵手 3 不义色巧 2动声凛然 1平易近人 1234 【答案】 (2,4) (3,4) (4,4) (4,3) 心灵手巧 【分析】成语有很多，比如心灵手巧、不动声色，大义凛然等，再根据数对第一个数表示列， 第二个数表示行，填出相对应的位置即可，答案不唯一。 【详解】从图中可以选取数对(2,4)，(3,4)，(4,4)和(4,3)上的汉字，组成成语心灵 手巧。 第2页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点（如图)。此时， 小亮回头看A点，发现A点在C点的( )偏( )( )°方向。 北 B 40m.C A 【答案】 西 南 45 【分析】根据题意结合图示可知，AB=BC=40米，所以三角形ABC是等腰直角三角形，则 ∠BCA=45°，根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以C点为观测点，确定出A点 的位置，进而解答。 【详解】如图：连接AC 北 B- 40m A 可以发现三角形ABC正好为一个等腰直角三角形，两腰都为40米，右拐形成直角。以C点 为参照物，A在C的左下方，且夹角为等腰三角形的底角45°： 90°-45°=45° 小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点。小亮回头看A点， 发现点A在点C的西偏南45°（南偏西45°）方向。 4.以学校为观测点，填一填。 北 商店 ●、 459 学校 30 45° →东 ●- 少年宫 书店 南 书店在学校的( )偏( )( )°的方向上：少年宫在学校的( )偏 ) )°的方向上；( )在学校北偏西( )°的方向上。 【答案】 东 南 45 西 南 30 商店 45 第3页共33页 的学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】以学校为观测中心，按照上北下南、左西右东的方位规则，判断各个地点偏离正东、 正西等主方向的偏向，以及对应的夹角度数。 【详解】书店在学校的东偏南45°的方向上；少年宫在学校的西偏南30°的方向上；商店在学 校北偏西45°的方向上。 二、解答题。 5.下面是动物园部分场馆平面图： 10 大象馆 9 8 ● 熊猫馆 6 长颈鹿馆 5 4 3 猴山 2 ● 老虎馆 0 1 0大门 234567891 萍萍的参观路线是（10,0)→(7,3)→(5,5)→(2,2)→(1,7)→(4,9)请把她 去过的地方依次写出来。 【答案】大门：老虎馆；长颈鹿馆：猴山：熊猫馆；大象馆 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往 右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，隔开， 数对加上小括号。 【详解】萍萍的参观路线是大门→老虎馆→长颈鹿馆→猴山→熊猫馆→大象馆。 6.下面是光明小学今年的春游路线图。 第4页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9 8 科技展览中心 雷锋纪念馆 7 博物馆 6 5 游乐场) 4 学校 3 中心公园( 2 动物园 0 少年宫 1234567891011 (1)学校的位置在( ),雷锋纪念馆的位置在( ),科技展览中心的位置在 ( ),游乐场的位置在( ),少年宫的位置在( ),动物园的位置在 ( ),中心公园的位置在( ),博物馆的位置在( ) (2)同学们吃午饭的位置在第六行第五列，请你用“△”在图中标出来。 【答案】(1)(8,5)：(7,8)：(2,7)：(3,5)：(1,1)：(7,2)：(9,3)：(11,6) (2)图见详解 【分析】(1)根据图中各个地点的位置写出数对，数对中第一个数表示列数，第二个数表示行 数： (2)根据所给的同学们吃午餐的位置在地图的第六行第五列，找出其相应数对(5,6)，据此 作图即可。 【详解】(1)学校的位置在(8,5)，雷锋纪念馆的位置在(7,8)，科技展览中心的位置在(2， 7),游乐场的位置在(3,5)，少年宫的位置在(1,1)，动物园的位置在(7,2)，中心公园 的位置在(9,3)，博物馆的位置在(11,6)。 (2)如下图： 第5页共33页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 科技展览中心 雷锋纪念馆 7 博物馆 6 5 游乐场 学校 4 3 中心公园( 2 动物园 0 少年宫 2 34567891011 7.我会操作。 北 图书馆 学衣 200米 (1)图书馆在学校的( )偏( )( )°方向，距离( )米处。 (2)少年宫在学校的西偏南50°方向，距离400米处。请在图上画出少年宫的位置。 【答案】(1)北，西，60,600： 北 图书馆 (2) 50( 学校 少年宫 200米 【分析】以学校为观测点，以图上的上北下南，左西右东”为准，表示图上1厘米相当于实际 距离200米。 (1)图书馆与学校图上相距3厘米，即实际相距(200×3)米，根据图上的方向、角度和距离， 得出图书馆与学校的位置关系。 第6页共33页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)在学校西偏南50°方向上画400÷200=2厘米长的线段，即是少年宫的位置。 【详解】(1)200×3=600（米） 所以图书馆在学校的北偏西60°方向，距离600米处。 (2)400÷200=2(段) 画图略。 8.说一说，明明从学校到商场的路线图。 体育场例 电影院 45y月 北 学校 30 30 45° 商场 :文化宫 200m 【答案】明明从学校到商场的路线图：明明从学校出发，向东偏南30°方向走600米到达文化 宫，然后向北偏东45°方向走800米到达体育场，再向正东方向走600米到达电影院，最后向 南偏东30°方向走400米到达商场。 【分析】以学校为观测点，文化宫在学校以东方向为主方向，在东方向的基础上向南方向偏转 30°方向上，图中1段代表200米，学校到文化宫有3段，所以距离是200×3=600（米）： 以文化宫为观测点，体育场在文化宫以北方向为主方向，在北方向的基础上向东方向偏转45° 方向上，图中1段代表200米，文化宫到体育场有4段，所以距离是200×4=800（米）： 以体育场为观测点，电影院在体育场以东方向为主方向，图中1段代表200米，体育场到电影 院有3段，所以距离是200×3=600（米）： 以电影院为观测点，商场在电影院以南方向为主方向，在南方向的基础上向东方向偏转30°方 向上，图中1段代表200米，商场到电影院有2段，所以距离是200×2=400（米）： 由此即可描述路线。 【详解】略 第7页共33页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数培优1】中国象棋游戏 象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还：车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不 出院。如图，下一步相可以走到哪些位置？请你用数对分别表示出来：( )( ) )、( )。 相 走“日”， 馬 相”走“田” 0 6 > 【答案】 2,4 2,0 6,4 6,0 【分析】竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数 数对的表示方法是（所在的列数，所在的行数），依此填空即可。 【详解】根据分析可知，下一步相”可以走到(2,4)、(2,0)、(6,4)、(6,0)的位置。 【点睛】熟练掌握数对的表示方法是解答此题的关键。 职【对应练习】 1.下面是中国象棋的一部分，如图所示。 8 7 6 5 楚河 凿☒ 4 3 2 0 将 1 2345 678 (画代表红子方，圈将代表黑子方) 第8页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ()画所在的位置是(3,9)，请分别写出以下几个棋子的位置。 图( )①( )周( ) (2)象棋规定过河的国 步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的国下一步 可以走到的位置( )( )( )。圃走“日”，在该局中周下一步可以走到 (5,5)处，还可以走到( )( )。(写二种) 【答案】(1) (4,0) (4,8) (7,6) (2) (2,1) (3,2) (1,2) (8,8) (6,8) 【分析】()根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空 即可； (2)国往前或往左或往右走一格，然后根据用数对表示位置的方法进行填空即可； 圃走“日”， 根据“日字的结构及用数对表示位置的方法填空即可。 【详解】(1) (4,0), ①(4,8)， 周(7,6) (2)象棋规定过河的 步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的下 步可以走到的位置（2,1)、(3,2)、(1,2)。 圃走“日”，在该局中围下一步可以走到(5， 5)处，还可以走到(8,8)、(6,8). 【点晴】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 2.如图是中国象棋棋盘的一部分。棋子“马”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一 个对角线，俗称马走日”。棋子象走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象走田”。 5 卒 3 炮 2 车 象士将士马车 2 3456789 (1)用数对表示棋盘中棋子炮x将卒的位置。 炮( ),将( ),卒( ) 第9页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)用数对表示棋盘中棋子马x‘象”走一步分别到达的位置。 “马”走一步可以到达( ),也可以到达( ),还可以到达( ) 象”走一步可以到达( ),也可以到达( )。 【答案】(1) (2,3) (5,1) (7,4) (2) (6,2) (7,3) (9,3) (1,3) (5,3) 【分析】(1)根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据 此用数对表示棋盘中棋子炮x将卒的位置。 (2)根据象棋中马走日”、“象走田的规则，得出马x象走一步分别可以到达的位置，并用 数对表示出来。 【详解】(1)炮(2,3)，将(5,1)，卒(7,4)。 (2)马走一步可以到达(6,2)，也可以到达(7,3)，还可以到达(9,3)。 “象”走一步可以到达(1,3)，也可以到达(5,3)。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置的方法是解题的关键。 3.象棋中马走日，象走田”是人们熟知的象棋口诀。根据下图回答： 5 卒 象 士 马 将 2 6 8 (1)象在下一步有( )个位置能走。用数对表示其中一个是( )a (2)马在下一步有( )个位置能走。用数对表示表示其中一个是( 【答案】 2 (3,5) 4 (7,1) 【分析】数对的第一个数表示列，数对的第二个数表示行：注意马走日，象走田”，只要符合 要求就可以走，据此即可解答。 【详解】(1)象在下一步有2个位置能走。用数对表示其中一个是(3,5)。 (2)马在下一步有4个位置能走。用数对表示表示其中一个是(7,1)。 【点睛】熟练掌握位置与数对的关系是解答本题的关键。 吕【奥数培优2】国际象棋游戏 第10页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3 的棋盘控制了，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？ ★ 解析： 根据要求，一个皇后能控制她所在的横线、竖线和斜线，在4×4的棋盘中，横线、竖线和斜 线都只有4个方格，因此皇后在每条线上最多控制除自己以外的另外3个方格。 一个皇后一共能控制4条线，因此，一共最多能控制3×3+2+1=12（个）方格，但是整个棋盘有 16个方格，所以，一个皇后不能控制整个棋盘。因此，需要2个皇后才能控制整个棋盘。下 图说明两个皇后满足要求： ★ ★ 肥【对应练习】 1.在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。现在已经建了 两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。 ★ ★ 解析： ★ 第11页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图，符合题意的是第二行第三列的那个方格。 2.在“植物大战僵尸”游戏中，疯狂的戴夫培育了一种新的植物，这种植物可以向上、下、 左、右以及对角线这八个方向发射子弹。请你在下图的小格中画“○”表示这种植物在尽可能 少的放置这种植物的情况下，使得全部位置都能被子弹攻击到。 解析： 答案不唯一。 3.有一个5×5的棋盘，每个格子中都放着一枚棋子，如果想让每一枚棋子与它相邻的另一枚 棋子交换位置，能办到吗？ 解析： 不能。如图所示，采用染色法，如果可以交换位置，那么黑格和白格的数量一样多，现在有 13个黑格，12个白格，所以不能办到。 第12页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【奥数培优3】方格游戏 扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷： ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★的方格周围有8个方格（标数的方格）。 ① ② ③ 3 ★ ⑧ ④ 4 ⑦⑥⑤ 5 4 扫雷前 扫雷后（打○的是雷） 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标o,不是雷的标×） 1 1 2 2 43 2 1 23 2 2 2 1 12 2 1 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2 个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷：第四行的数字3也已经有3个雷，所以这 个数字3周围其他阴影部分都不是雷：第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个 数字1周围其他阴影部分都不是雷：数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还 有1个是雷：第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷：第六行 第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷：第七行第一个数字2， 周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第 三个数字1有1个雷；第六行第三个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分 都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第三 个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷：据此作图。 【详解】如图所示： 第13页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2 【点晴】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标©，不是雷的标×，然 后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 即【对应练习】 1.如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中 每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有 )个雷。 4 32 1 1 3 3 2 3 3 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方 格中都是雷，总共16个。 【详解】如图所示： 3 2 3 2 图中共有16个雷。 第14页共33页 的学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能 够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2.下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑 脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画o,其他画×） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方 格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个 不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个 也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判 断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方 格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3.乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： (1)图中共有6个宝物： 第15页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量： (3)数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用o表示） 1 1 O 3 0 5 O 5 3 2 O 3 图1 图2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个号的可以标 记有宝物。 / W 3 3 ②分析5和另外一个3，如图，有两个“号的可以标记有宝物。 3 3 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】 第16页共33页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 O 5 3 3 吕【奥数培优4】数独游戏 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个2×3长方形 框内数字都不重复。那么数“ABCDE”是多少？ 42 1 5AB CD E 63 56 1 5 3 2 解析： 我们观察左边第一个2×3的长方形，还缺3和6，由于第三列有6，因此A为6，B为3，如 图1所示；再观察第三列，缺2和4，由于第六行有2，所以第三列上面填2，下面填4，如图 2所示。用类似的方法，我们可以填出剩下的数字，大家试一试吧！如图3所示。 4 2 1 421 356 5 6 3 C 563 4 6 3 2 63 3 5 56 1 5 6 3 5 3 5 3 2 6 2 4 2 6 45 12 图1 图2 图3 所以，数“ABCDE”是63124。 肥【对应练习】 1.请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个2×3长方形框内的数字都不重复。 第17页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1 6 5 3 6 63 45 4 1 3 1 2 4 24 3 1 解析：如图所示。 1 63524 52136 63 52 2453 6 2.数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1~6，使得每行、每列和每个方框内的 数字都不重复。那么A是多少？B是多少？C是多少？D是多少？ 4 2 1 5 A 63 B 5 6 1 C 5 3 D 2 解析：A是1，B是3，C是2，D是6。 3.请你在下面的空格内填入数字1~9，使得每行、每列和每个3×3正方形框内的数字都不重 复。 第18页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3 7 6 2 4 1 5 3 96 7 4 3 6 8 7 35 9 7 2 71 8 2 4 1 6 8 9 4 5 3 解析：如图所示。 2 二【奥数培优5】数阵图游戏 把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的()里，使每条线上三个数的和都相等。 【答案】见详解 【分析】由图可知，中间的数是重叠数，在三条线中被加了3次，而其他数都加了1次，所填 数的和为1+3+5+7+9+11+13=49，再加上2个重叠数就是三条线上数的和，而每条线上 数的和都相等，所以三条线的和一定是3的倍数，49+1×2=51,49+7×2=63,49+13×2= 75,所以中间的数可能是1、7、13，然后去掉中间的数，把余下的两个数分成一组，使每组 和相等。 第19页共33页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 ③ ③ ① ① 或 ⑦ 或 ③ ① 9 9 肥【对应练习】 1.把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的()里，使每条直线上的和都等于12。 【答案】见详解 【分析】 我们可以这样想：七个数的总和是1+2+3+4+5+6+7=28，每条直线上的和是12，三条直 线上数的总和是12+12+12=36,36一28=8，由于计算三条直线上三个数的总和时，中间 里的数多算了两次，就多出了8,82=4，所以中间() 里应该填4.12一4=8，每条直线上 两头的两个()里的和为8，除4外，把其余6个数配成对，1+7=8,2+6=8,3+5=8,1 和7、2和6、3和5就分别填在每条直线的两端。 【详解】 由分析可得： 2.把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈 填完整) 第20页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7 【答案】见详解 【分析】每条直线上的3个数的和都相等，且3个数中已经有一个7，则只要把16这6个数 分成三组，每组的两个数的和相等即可，据此解答。 【详解】因为1+6=2+5=3+4，所以1+6+7=14,2+5+7=14,3+4+7=14，把每组的两个数填 在每条直线的两个空自圈内即可（答案不唯一）。 3 【点晴】本题考查数阵图问题，解决此类问题时一是要理解图形的结构，二是确定关键位置、 重复的数字，三是建立等式，四是使用试验法尝试不同的数字组合，直到满足所有条件。 3.将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到下图的圆圈中，使得每个正方形 的四个角上的数字之和都相等，这个相等的和是( )。 【答案】36 【分析】图中共有6个正方形，为方便表述，将每个圆圈中的数字用字母表示，表示出每个正 方形的四个数之和，然后确定每个位置的重复次数，计算每个正方形的四个角上的数字之和。 【详解】如图所示： 第21页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 设每个正方形的四个角上的数字之和为k: a+b+d+e=k b+c+e+f=k d+e+g+h=k e+f+h+i=k a+c+8+i=k b+d+h+f=k 2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(b+d+f+h)+2e=6k 2×(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+k+2e=6k 162+2e=5k 只能是e=9,此时k=36。 【点睛】本题考查的是数阵图问题，求解此类问题关键是确定每个位置重复计算的次数。 吕【奥数培优6】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2=40°，AC=BC。点B在点C的( )方向上， 点A在点C的东偏北( )°方向上。 B 东 【答案】 正西 80 【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东描述方向，则点B在点C的正西方向， 等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个 第22页共33页 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 平角的度数，∠4=180°-∠3，求出∠4的度数，即可求得。 【详解】三角形ABC中，∠1=∠2=40°，且三角形的内角和为180°。 180°-40°-40° =140°-40° =100° 180°-100°=80° 所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是 解答题目的关键。 职【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的 )偏( )( )°方向( )厘米处。 北 A B 【答案】 北 东 30 【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC 是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方 向：据此解答。 【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征 是解答本题的关键。 吕【奥数培优7】有序数对与位置综合应用 看图填空。 第23页共33页 的学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 北 8 7 B 4 3 2 A 0米 012345678 (1)如果A点的位置用数对(1,2)表示，那么B点的位置可用数对( )表示。 (2)如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图 上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。 (3)连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【答案】(1)(3,6) (2)(3)见详解 【分析】(1)用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析： (2)弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场 所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 (3)作平移后的图形步骤：找点一找出构成图形的关键点；定方向、距离一确定平移方向和 平移距离；画线一过关键点沿平移方向画出平行线：定点一由平移的距离确定关键点平移后的 对应点的位置；连点一连接对应点。 【详解】(1)如果A点的位置用数对(1,2)表示，那么B点的位置可用数对(3,6)表示。 北 6 B (2) 4 C 2 0米 D 012 45 678 第24页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 北 8 6 5 (3) 3 2 0米 D 0123 4567 8 【点晴】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往 右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要 知道平移的方向、平移的距离。 即【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一 个方格的对角线长代表10m,所研究的点都是网格的交点。 10 北 9 8 7 4 3 2 012345678910 (1)点(0,0)北偏东45°方向30是点A,它的位置用数对表示是( ) (2)点A北偏西45方向20m是点B,点B北偏东45°方向20m是点C,点C南偏东45°方 向20是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ (3)请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积 与第(2)题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设 计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E:( )、( )、( ) ) 【答案】图见详解： (1)(3,3) 第25页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)1600m (3)11;(5,2)、(5,3)、(5,6)、(5,8) 【分析】(1)根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、 平面图上方向的辨别上北下南，左西右东、方格的对角线长代表10m,即可描出点A,并用 数对表示它的位置。 (2)同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描 出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成 一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是(20×2)米，根据正方形的面积计 算公式S=a即可求出它的面积。 (3)正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角 形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时， 其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E,与AC组成的三角形面积都与三角形ADC 的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共 有8个：(5,0)、(5,2)、(5,3)、5,4)、(5,6)、(5,7)、(5,8)、(5,10)。可以写出其 中四个（答案不唯一）。 【详解】(1)点(0,0)北偏东45°方向30是点A,它的位置用数对表示是(3,3) (2)点A北偏西45方向20m是点B,点B北偏东45°方向20m是点C,点C南偏东45°方 向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是： (20×2)2 =409 =1600(m2) (3)设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第 (2)题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的 设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E:(5,2)、(5,3)、(5,6)、(5,8)(答案不 唯一)。 第26页共33页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10 北 9 7 6 5 01 2345678910 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计 算、三角形面积的计算等。 吕【奥数培优8】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 (1)根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 (2)芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 北 医院 超市 400m 个 200m 30 360m 60 家 学校 【答案】(1)见详解。 (2)960米：40米 【分析】(1)先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市： 再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院：最后以医院为参照点建立方向标，向东 偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。 第27页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200+400+360，可求出 芳芳每天从家出发到学校走的米数：再用5+10+9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数(24 分钟)：最后根据路程时间=速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走 的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】(1)如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北60°（或北偏东30） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南30°（或南偏东60） 360米 9分钟 (2)200+400+360=960(米) 960÷(5+10+9) =960÷24 =40(米) 答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。 肥【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西 偏北30°方向行300米到达终点C地： 北 100m 家 (1)根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 (2)如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【答案】(1)见详解 (2)80米 第28页共33页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)以图上的上北下南，左西右东为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100 米。 小华从家出发，在家的正东方向画(200÷100)厘米长的线段，即是A地： 在A地的东偏北45°方向上画(500100)厘米长的线段，即是B地： 在B地的西偏北30°方向上画(300：100)厘米长的线段，即是C地。 (2)已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据1分=60秒”可知，用时12.5分： 用加法求出从C地返回家的总路程，再根据速度=路程-时间”，即可求出他返回时的速度。 【详解】(1)200100=2（厘米） 500÷100=5(厘米) 300÷100=3(厘米) 如图： C地 300米 北 30B地 500米 200米 45o 100m 家 A地 (2)12分30秒=12.5分 (300+500+200)÷12.5 =1000÷12.5 =80(米) 答：他返回时每分钟行80米。 吕【奥数培优9】在数列中寻找分数的位置 已知数列5府， 11 则第10个数是( 【答案】 1 399 1三1111 【分析】通过观察可知，写3535'后文7…以此类推，第n个数是(2)×2m 据此解答。 第29页共33页 的学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】根据分析可知，第10个数是 1 (2X10-1)×(2X10叶1 1 (20-1)×(201) 1 19×21 三 399 肥【对应练习】 找规律等、1、吕、片、S、,这串数中第7个数是( 1. 101316 【答案】号 【分折】根超日、、19可得相留两个分数的分子之美为3。分特之差为4.又因为和品的 11 分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是了，=1.所以这串数中第7个数应该是8 的分子加上3，分母加上4之后所得的数。 【详解】16+3=19 19+4=23 所以这串数中第7个数是器 2.一列分数：分、}、子、子、子、子、}，按规律， 是这列分数中的第( )个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有 3个，发现分母是n的分数有(n一1)个，分子从1到n一1依次排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有 4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个： 1+2+3+4+5+6+7 =(1+2+7)+(4+6)+(3+5) =10+10+8 第30页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =20+8 =28 则按规律， {是这列分数中的第28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3.瑞士数学教师巴尔未成功地从光增数弱吕票治。…巾得到巴尔未公式，从而打开了 光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( ),第8个数是( 【答案】 49 100 45 96 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、53、62.…分母的规律是：1×5、2×6、3×7、 4×8:…;通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即( +2)2,分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是 (n+4),由此即可解答。 【详解】当n=5时， (n+2)2 =(5+2)2 =72 =49 n(n+4) =5×(5+4) =5×9 =45 即第5个数是岩： 当n=8时， (n+2)2 =(8+2)3 =109 =100 n(n+4) =8×(8+4) 第31页共33页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =8×12 =96 即第8个数是g。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。 吕【奥数培优10】在数表中寻找数的位置 把自然数按下表规律排列后，可分成A、B、C、D、E五列，例如，3在第一行C列。那么， 2026在哪一行，哪一列？ A B C D E 1 2 3 4 8 1 6 5 9 10 11 12 13 解析： 思路点拨从表格中可以发现，每一行有四个数。我们不妨把四个数看作一组先计算，判断2026 在哪一行？再判断在哪一列？ 2026÷4=506..2 一共有506组，余2个数。需要特别注意的是奇数行是“ABCD”列，偶数行是“EDCB”列， 506是偶数，多出的两个数在第507组，因此，2026在第507行B列。 职【对应练习】 1.如下表所示，将奇数1,3,5,7,9，.依次排成五列，把最左边的一列叫作第一列，按表 将每列依次编号。这样一直排下去，数“2027”出现在第几列？ 1 3 5 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 第32页共33页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解析： (2027-1)÷2+1=1014(个)数 1014÷8=126..6 所以，数“2027”出现在第三列。 2.用部分小数排三角形数阵。照这样排下去，0.2026是第几行左起第几个数？ 0.1 0.20.3 0.40.5 0.6 0.70.80.9 0.10 0.110.120.130.140.15 解析： (1+63)×63÷2=2016 2026-2016=10(个) 所以，0.2026是第64行左起第10个数。 3.有一串数按如下规律排列，9904是第几行的第几个数？ 1,2 3,4,5,6 7,8,9,10,11,12 13,14,15,16,17,18,19,20 解析： 我们通过观察可以发现：第一行有2个数，第二行有4个数，因此，第n行共有2个数。那 么，前n行共有2+4+6+..+2mnn+1)(个)数，所以，第99行的最后一个数是99×(99+1)=9900， 9904是第100行的第四个数。 第33页共33页 2026-2027学年六年级数学上册典型例题系列「新教材」 第一单元确定位置【从课本到奥数】 一、填空题。 1．地铁19号线某站点位置用数对表示为（5，6），若该站点向东平移3站，用数对表示为( )，再向南平移2站，新位置用数对表示是( )。 【答案】 （8，6） （8，4） 【分析】数对中第一个数表示列，第二个数表示行。向东（即向右）平移对应列数增加，用原数对的第一个数加平移的站数，第二个数保持不变，得到向东平移后的数对。向南（即向下）平移对应行数减少，用向东平移后数对的第二个数减平移的站数，第一个数保持不变，得到最终位置的数对。 【详解】原位置是（5，6），向东（右）平移3站，只有列数增加3，行数不变：5＋3＝8，平移后位置为（8，6）；再向南（下）平移2站，只有行数减少2，列数不变：6－2＝4，最终新位置为（8，4）。 2．成语是中国传统文化的一大特色。从图中可以选取数对( )、( )、( )和( )上的汉字，组成成语( )。 【答案】 （2，4） （3，4） （4，4） （4，3） 心灵手巧 【分析】成语有很多，比如心灵手巧、不动声色，大义凛然等，再根据数对第一个数表示列，第二个数表示行，填出相对应的位置即可，答案不唯一。 【详解】从图中可以选取数对（2，4），（3，4），（4，4）和（4，3）上的汉字，组成成语心灵手巧。 3．小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点（如图）。此时，小亮回头看A点，发现A点在C点的( )偏( )( )°方向。 【答案】 西 南 45 【分析】根据题意结合图示可知，AB＝BC＝40米，所以三角形ABC是等腰直角三角形，则∠BCA＝45°，根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以C点为观测点，确定出A点的位置，进而解答。 【详解】如图：连接AC 可以发现三角形ABC正好为一个等腰直角三角形，两腰都为40米，右拐形成直角。以C点为参照物，A在C的左下方，且夹角为等腰三角形的底角45°； 90°－45°＝45° 小亮从A点出发，向北走40米到达B点，再从B点向东走40米到达C点。小亮回头看A点，发现点A在点C的西偏南45°（南偏西45°）方向。 4．以学校为观测点，填一填。 书店在学校的( )偏( )( )°的方向上；少年宫在学校的( )偏( )( )°的方向上；( )在学校北偏西( )°的方向上。 【答案】 东 南 45 西 南 30 商店 45 【分析】以学校为观测中心，按照上北下南、左西右东的方位规则，判断各个地点偏离正东、正西等主方向的偏向，以及对应的夹角度数。 【详解】书店在学校的东偏南45°的方向上；少年宫在学校的西偏南30°的方向上；商店在学校北偏西45°的方向上。 二、解答题。 5．下面是动物园部分场馆平面图。 萍萍的参观路线是（10，0）→（7，3）→（5，5）→（2，2）→（1，7）→（4，9）请把她去过的地方依次写出来。 【答案】大门；老虎馆；长颈鹿馆；猴山；熊猫馆；大象馆 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 【详解】萍萍的参观路线是大门→老虎馆→长颈鹿馆→猴山→熊猫馆→大象馆。 6．下面是光明小学今年的春游路线图。 （1）学校的位置在( )，雷锋纪念馆的位置在( )，科技展览中心的位置在( )，游乐场的位置在( )，少年宫的位置在( )，动物园的位置在( )，中心公园的位置在( )，博物馆的位置在( )。 （2）同学们吃午饭的位置在第六行第五列，请你用“△”在图中标出来。 【答案】（1）（8，5）；（7，8）；（2，7）；（3，5）；（1，1）；（7，2）；（9，3）；（11，6） （2）图见详解 【分析】（1）根据图中各个地点的位置写出数对，数对中第一个数表示列数，第二个数表示行数； （2）根据所给的同学们吃午餐的位置在地图的第六行第五列，找出其相应数对（5，6），据此作图即可。 【详解】（1）学校的位置在（8，5），雷锋纪念馆的位置在（7，8），科技展览中心的位置在（2，7），游乐场的位置在（3，5），少年宫的位置在（1，1），动物园的位置在（7，2），中心公园的位置在（9，3），博物馆的位置在（11，6）。 （2）如下图： 7．我会操作。 （1）图书馆在学校的( )偏( )( )°方向，距离( )米处。 （2）少年宫在学校的西偏南50°方向，距离400米处。请在图上画出少年宫的位置。 【答案】（1） 北，西，60，600； （2） 【分析】以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，表示图上1厘米相当于实际距离200米。 （1）图书馆与学校图上相距3厘米，即实际相距（200×3）米，根据图上的方向、角度和距离，得出图书馆与学校的位置关系。 （2） 在学校西偏南50°方向上画400÷200＝2厘米长的线段，即是少年宫的位置。 【详解】（1）200×3＝600（米） 所以图书馆在学校的北偏西60°方向，距离600米处。 （2）400÷200＝2（段） 画图略。 8．说一说，明明从学校到商场的路线图。 【答案】明明从学校到商场的路线图：明明从学校出发，向东偏南30°方向走600米到达文化宫，然后向北偏东45°方向走800米到达体育场，再向正东方向走600米到达电影院，最后向南偏东30°方向走400米到达商场。 【分析】以学校为观测点，文化宫在学校以东方向为主方向，在东方向的基础上向南方向偏转30°方向上，图中1段代表200米，学校到文化宫有3段，所以距离是200×3＝600（米）； 以文化宫为观测点，体育场在文化宫以北方向为主方向，在北方向的基础上向东方向偏转45°方向上，图中1段代表200米，文化宫到体育场有4段，所以距离是200×4＝800（米）； 以体育场为观测点，电影院在体育场以东方向为主方向，图中1段代表200米，体育场到电影院有3段，所以距离是200×3＝600（米）； 以电影院为观测点，商场在电影院以南方向为主方向，在南方向的基础上向东方向偏转30°方向上，图中1段代表200米，商场到电影院有2段，所以距离是200×2＝400（米）； 由此即可描述路线。 【详解】略 【奥数培优1】中国象棋游戏 象棋的玩法口诀：马走日，相走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院。如图，下一步“相”可以走到哪些位置？请你用数对分别表示出来；( )、( )、( )、( )。 【答案】 2，4 2，0 6，4 6，0 【分析】竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。数对的表示方法是（所在的列数，所在的行数），依此填空即可。 【详解】根据分析可知，下一步“相”可以走到（2，4）、（2，0）、（6，4）、（6，0）的位置。 【点睛】熟练掌握数对的表示方法是解答此题的关键。 【对应练习】 1．下面是中国象棋的一部分，如图所示。 （代表红子方，将代表黑子方） (1) 所在的位置是（3，9），请分别写出以下几个棋子的位置。 ( )  ( )  ( ) (2)象棋规定过河的一步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的下一步可以走到的位置( ) ( )  ( )。走“日”，在该局中下一步可以走到（5，5）处，还可以走到( ) ( )。（写二种） 【答案】(1) （4，0） （4，8） （7，6） (2) （2，1） （3，2） （1，2） （8，8） （6，8） 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可； （2）往前或往左或往右走一格，然后根据用数对表示位置的方法进行填空即可；走“日”，根据“日”字的结构及用数对表示位置的方法填空即可。 【详解】（1）（4，0），（4，8），（7，6） （2）象棋规定过河的一步只能往前或往左或往右走一格，用数对写出图中过河的下一步可以走到的位置（2，1）、（3，2）、（1，2）。走“日”，在该局中下一步可以走到（5，5）处，还可以走到（8，8）、（6，8）。 【点睛】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 2．如图是中国象棋棋盘的一部分。棋子“马”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“象”走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象走田”。    (1)用数对表示棋盘中棋子“炮”“将”“卒”的位置。 炮( )，将( )，卒( )。 (2)用数对表示棋盘中棋子“马”“象”走一步分别到达的位置。 “马”走一步可以到达( )，也可以到达( )，还可以到达( )。 “象”走一步可以到达( )，也可以到达( )。 【答案】(1) （2，3） （5，1） （7，4） (2) （6，2） （7，3） （9，3） （1，3） （5，3） 【分析】（1）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示棋盘中棋子“炮”“将”“卒”的位置。 （2）根据象棋中“马走日”、“象走田”的规则，得出“马”“象”走一步分别可以到达的位置，并用数对表示出来。 【详解】（1）炮（2，3），将（5，1），卒（7，4）。 （2）“马”走一步可以到达（6，2），也可以到达（7，3），还可以到达（9，3）。 “象”走一步可以到达（1，3），也可以到达（5，3）。 【点睛】掌握用数对表示物体的位置的方法是解题的关键。 3．象棋中“马走日，象走田”是人们熟知的象棋口诀。根据下图回答： （1）象在下一步有( )个位置能走。用数对表示其中一个是( )。 （2）马在下一步有( )个位置能走。用数对表示表示其中一个是( )。 【答案】 2 （3，5） 4 （7，1） 【分析】数对的第一个数表示列，数对的第二个数表示行；注意“马走日，象走田”，只要符合要求就可以走，据此即可解答。 【详解】（1）象在下一步有2个位置能走。用数对表示其中一个是（3，5）。 （2）马在下一步有4个位置能走。用数对表示表示其中一个是（7，1）。 【点睛】熟练掌握位置与数对的关系是解答本题的关键。 【奥数培优2】国际象棋游戏 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后(图中五角星)就把整个3×3的棋盘控制了，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后? 解析： 根据要求，一个皇后能控制她所在的横线、竖线和斜线，在4×4的棋盘中，横线、竖线和斜线都只有4个方格，因此皇后在每条线上最多控制除自己以外的另外3个方格。 一个皇后一共能控制4条线，因此，一共最多能控制3×3+2+1=12(个)方格，但是整个棋盘有16个方格，所以，一个皇后不能控制整个棋盘。因此，需要2个皇后才能控制整个棋盘。下图说明两个皇后满足要求： 【对应练习】 1. 在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。 解析： 如图，符合题意的是第二行第三列的那个方格。 2. 在“植物大战僵尸”游戏中，疯狂的戴夫培育了一种新的植物，这种植物可以向上、下、左、右以及对角线这八个方向发射子弹。请你在下图的小格中画“○”表示这种植物在尽可能少的放置这种植物的情况下，使得全部位置都能被子弹攻击到。 解析： 答案不唯一。 3. 有一个5×5的棋盘，每个格子中都放着一枚棋子，如果想让每一枚棋子与它相邻的另一枚棋子交换位置，能办到吗? 解析： 不能。如图所示，采用染色法，如果可以交换位置，那么黑格和白格的数量一样多，现在有13个黑格，12个白格，所以不能办到。 【奥数培优3】方格游戏 “扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下： ①图中阴影部分是雷区，共有10个雷； ②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。 例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。 请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×） 【答案】见详解 【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3也已经有3个雷，所以这个数字3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还有1个是雷；第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷；第七行第一个数字2，周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第三个数字1有1个雷；第六行第二个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第二个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷；据此作图。 【详解】如图所示： 【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。 【对应练习】 1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。 【答案】16 【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方格中都是雷，总共16个。 【详解】如图所示： 图中共有16个雷。 【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。 2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”） 【答案】 【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。 【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。 答案如下图： 【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。 3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下： （1）图中共有6个宝物； （2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量； （3）数字所在的方格内没有宝物。 请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示） 图1                                   图2 【答案】见详解 【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。 ①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标记有宝物。 ②分析5和另外一个3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。 往下类推，找出所有的宝物。 【详解】 【奥数培优4】数独游戏 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个2×3长方形框内数字都不重复。那么数“ABCDE”是多少? 解析： 我们观察左边第一个2×3的长方形，还缺3和6，由于第三列有6，因此A为6，B为3，如图1所示；再观察第三列，缺2和4，由于第六行有2，所以第三列上面填2，下面填4，如图2所示。用类似的方法，我们可以填出剩下的数字，大家试一试吧！如图3所示。 所以，数“ABCDE”是63124。 【对应练习】 1. 请你在下面的空格内填入数字1～6,使得每行、每列和每个2×3长方形框内的数字都不重复。 解析：如图所示。 2. 数独游戏风靡世界，请你在下面的空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个方框内的数字都不重复。那么A是多少?B是多少?C是多少?D是多少? 解析：A是1，B是3，C是2，D是6。 3. 请你在下面的空格内填入数字1～9，使得每行、每列和每个3×3正方形框内的数字都不重复。 解析：如图所示。 【奥数培优5】数阵图游戏 把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 【答案】见详解 【分析】由图可知，中间的数是重叠数，在三条线中被加了3次，而其他数都加了1次，所填数的和为1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49，再加上2个重叠数就是三条线上数的和，而每条线上数的和都相等，所以三条线的和一定是3的倍数，49＋1×2＝51，49＋7×2＝63，49＋13×2＝75，所以中间的数可能是1、7、13，然后去掉中间的数，把余下的两个数分成一组，使每组和相等。 【详解】 或或 【对应练习】 1．把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 【答案】见详解 【分析】 我们可以这样想：七个数的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，每条直线上的和是12，三条直线上数的总和是12＋12＋12＝36，36－28＝8，由于计算三条直线上三个数的总和时，中间里的数多算了两次，就多出了8，8÷2＝4，所以中间里应该填4。12－4＝8，每条直线上两头的两个里的和为8，除4外，把其余6个数配成对，1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8，1和7、2和6、3和5就分别填在每条直线的两端。 【详解】 由分析可得： 2．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 【答案】见详解 【分析】每条直线上的3个数的和都相等，且3个数中已经有一个7，则只要把1~6这6个数分成三组，每组的两个数的和相等即可，据此解答。 【详解】因为，所以，，，把每组的两个数填在每条直线的两个空白圈内即可（答案不唯一）。 【点睛】本题考查数阵图问题，解决此类问题时一是要理解图形的结构，二是确定关键位置、重复的数字，三是建立等式，四是使用试验法尝试不同的数字组合，直到满足所有条件。 3．将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到下图的圆圈中，使得每个正方形的四个角上的数字之和都相等，这个相等的和是( )。 【答案】36 【分析】图中共有6个正方形，为方便表述，将每个圆圈中的数字用字母表示，表示出每个正方形的四个数之和，然后确定每个位置的重复次数，计算每个正方形的四个角上的数字之和。 【详解】如图所示： 设每个正方形的四个角上的数字之和为k； 只能是，此时。 【点睛】本题考查的是数阵图问题，求解此类问题关键是确定每个位置重复计算的次数。 【奥数培优6】在图形中确定物体的位置 图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。    【答案】 正西 80 【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点B在点C的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。 【详解】三角形ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为180°。 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 180°－100°＝80° 所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。 【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是解答题目的关键。 【对应练习】 已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。    【答案】 北 东 30 4 【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方向；据此解答。 【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征是解答本题的关键。 【奥数培优7】有序数对与位置综合应用 看图填空。   （1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。     （2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。     （3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。 【答案】（1）（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 【详解】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示。     （2） （3） 【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 【对应练习】 曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。 （1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。 （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？ （3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。 【答案】图见详解； （1）（3，3） （2）1600m² （3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8） 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表10m，即可描出点A，并用数对表示它的位置。 （2）同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。 （3）正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时，其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E，与AC组成的三角形面积都与三角形ADC的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。 【详解】（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是（3，3） （2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是： （20×2）² ＝40² ＝1600（m²） （3）设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的 设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）（答案不唯一）。 【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计算、三角形面积的计算等。 【奥数培优8】描述并绘制路线图 如图是芳芳每天从家到学校的路线图。 （1）根据路线图把表格中的数据补充完整。 路线 方向 路程 时间 家→超市 5分钟 超市→医院 10分钟 医院→学校 9分钟 （2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见详解。 （2）960米；40米 【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。 （2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200＋400＋360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。 【详解】（1）如下图： 路线 方向 路程 时间 家→超市 东偏北60°（或北偏东30°） 200米 5分钟 超市→医院 东 400米 10分钟 医院→学校 东偏南30°（或南偏东60°） 360米 9分钟 （2）200＋400＋360＝960（米） 960÷（5＋10＋9） ＝960÷24 ＝40（米） 答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。 【对应练习】 小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。 （1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。 （2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）80米 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100米。 小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是A地； 在A地的东偏北45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是B地； 在B地的西偏北30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是C地。 （2）已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时12.5分； 用加法求出从C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。 【详解】（1）200÷100＝2（厘米） 500÷100＝5（厘米） 300÷100＝3（厘米） 如图： （2）12分30秒＝12.5分 （300＋500＋200）÷12.5 ＝1000÷12.5 ＝80（米） 答：他返回时每分钟行80米。 【奥数培优9】在数列中寻找分数的位置 已知数列，，…，则第10个数是( )。 【答案】 【分析】通过观察可知，＝，＝，＝…，以此类推，第n个数是，据此解答。 【详解】根据分析可知，第10个数是 ＝ ＝ ＝ 【对应练习】 1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 【答案】 【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。 【详解】16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第7个数是。 2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。 【答案】28 【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个； 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5） ＝10＋10＋8 ＝20＋8 ＝28 则按规律，是这列分数中的第28个。 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62⋯⋯分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8⋯⋯；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【详解】当n＝5时， （n＋2）2 ＝（5＋2）2 ＝72 ＝49 n（n＋4） ＝5×（5＋4） ＝5×9 ＝45 即第5个数是； 当n＝8时， （n＋2）2 ＝（8＋2）2 ＝102 ＝100 n（n＋4） ＝8×（8＋4） ＝8×12 ＝96 即第8个数是。 【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。 【奥数培优10】在数表中寻找数的位置 把自然数按下表规律排列后，可分成A、B、C、D、E五列，例如，3在第一行C列。那么，2026在哪一行，哪一列? 解析： 思路点拨 从表格中可以发现，每一行有四个数。我们不妨把四个数看作一组先计算，判断2026在哪一行?再判断在哪一列? 2026÷4=506……2 一共有506组，余2个数。需要特别注意的是奇数行是“ABCD”列，偶数行是“EDCB”列，506是偶数，多出的两个数在第507组，因此，2026在第507行B列。 【对应练习】 1. 如下表所示，将奇数1，3，5，7，9，…依次排成五列，把最左边的一列叫作第一列，按表将每列依次编号。这样一直排下去，数“2027”出现在第几列? 解析： (2027-1)÷2+1=1014(个)数 1014÷8=126……6 所以，数“2027”出现在第三列。 2. 用部分小数排三角形数阵。照这样排下去，0.2026是第几行左起第几个数? 解析： (1+63)×63÷2=2016 2026—2016=10(个) 所以，0.2026是第64行左起第10个数。 3. 有一串数按如下规律排列，9904是第几行的第几个数? 解析： 我们通过观察可以发现：第一行有2个数，第二行有4个数，因此，第n行共有2n个数。那么，前n行共有2+4+6+…+2n=n(n+1)(个)数，所以，第99行的最后一个数是99×(99+1)=9900，9904是第100行的第四个数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $