精品解析：四川省巴中市南江博骏学校2021-2022学年上学期九年级数学期中考试试卷

2021-2022学年度第一学期初2019级期中考试 数学试题卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0两个条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数中，二次根式的被开方数需非负，分式分母不能为0， ∴，， 解得， 解得， 因此自变量的取值范围是且． 2. 如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知， AC=AB•sinα=9sin31°（米）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用． 3. 将方程x2﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（ ） A. (x+3)2=﹣2 B. (x﹣3)2=﹣2 C. (x﹣3)2=7 D. (x＋3)2=7 【答案】C 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形后，即可得到结果． 【详解】方程x2−6x+2=0,变形得：x2−6x=−2，配方得：x2−6x+9=7,即(x−3)2=7，故选C. 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握解一元二次方程-配方法. 4. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据得出，即可得解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解：， ，即， 故选：C． 5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1：4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比． 【详解】∵两个相似三角形的面积之比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2． ∴两个相似三角形的周长之比是1：2． 故选择A． 6. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴△AEF∽△ACD， ∴，故选项A错误； ∴， ∵， ∴△CEG∽△CAB， ∴， ∴，故选项B错误；，故选项D错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长． 【详解】延长CE交AB于F，如图， 根据题意得，四边形CDBF为矩形， ∴CF=DB=b，FB=CD=a， 在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b， tan∠ACF= ∴AF=, AB=AF+BF=， 故选：A． 【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在． 8. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 【答案】A 【解析】 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD//BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=， ∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A． 10. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C,连接AC、AD′,设∠BAC=α, ∠C′AD′=β,那么sinα+sinβ等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形， ∴α=∠CBA=45°， ∴sinα=， ∵边DC绕点A旋转后，点C落在AB的延长线的C′处， ∴BC′=BC=1， ∴AC′=AB+BC′=1+1=2， ∴AD′=， ∴sinβ= ∴sinα+sinβ=． 故选D． 考点：1.正方形的性质；2.勾股定理；3.旋转的性质；4.锐角三角函数的定义． 11. 如图，空地上（空地足够大）有一段长为的旧墙，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长，矩形菜园的面积为.若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据矩形面积公式列出方程． 【详解】解：设，则， 由题意，得． 故选． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长． 【详解】解：作MH⊥AC于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAH=45°， ∴△AMH为等腰直角三角形， ∴AH=MH=AM=×2=， ∵CM平分∠ACB， ∴BM=MH=， ∴AB=2+， ∴AC=AB=（2+）=2+2， ∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+， ∵BD⊥AC， ∴ON∥MH， ∴△CON∽△CHM， ∴，即， ∴ON=1． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：20210=_______． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据零次幂定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了零次幂，熟记：任何不为零的数的零次幂都为1是解题关键． 14. 如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝_____________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵AC＝2，AE＝5， ∴CE＝3， AB∥CD∥EF， ∴，即， ∴BD＝2.4， 故答案为：2.4 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式． 15. 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________． 【答案】x2=-2 【解析】 【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2=-2，解答出即可． 【详解】解：设方程的另一根为x2， ∵关于x的方程2x2+mx-4=0的一根为x=1， 则1×x2= =-2， 解得x2=-2． 故答案为：x2=-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=． 16. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案. 【详解】连接AB如图所示： 设小正方形的边长为1， ∴==10，，， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 17. y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5． 【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数， ∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1， ∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0， ∴a=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1． 18. 如图，在中，，，，，分别为、上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的处，当恰好为直角三角形时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC=6cm，再根据折叠的性质得到BE=DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE=90°，②∠AED=90°，设BE=x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴BC=3． 直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时， 根据折叠的性质：BE=DE 设BE=x，则DE=x，AE=10-x ①当∠ADE=90°时，则DE∥BC， ∴， ∴， 解得：， ②当∠AED=90°时， 则△AED∽△ACB， ∴， ∴， 解得：x=， 故所求BE的长度为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键． 三、解答题（本大题共7道小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上．） 19. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，请从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2）， （3）化简结果为，代入后值为 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，代入锐角三角函数，再合并即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可； （3）先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件确定，再代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，， 解得：，. 【小问3详解】 解： ； ∵，，， 当时，原式． 20. 如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）． （1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）； （2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）． 【答案】（1）如图： B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（2）（－2x，－2y） 【解析】 【分析】（1）延长BO，CO，在延长线上分别截取OB′=2OB，OC′=2OC，连接B'C'，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据各点的所在的位置写出点的坐标即可；（2）M点的横坐标、纵坐标分别乘以-2即可得M′的坐标． 【详解】解：（1）略 B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2） （2）M′（﹣2x，﹣2y）． 【点睛】本题考查位似变换，利用数形结合思想解题是关键． 21. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 23. 公园里有一座假山，在B点测得山顶H的仰角为45°，在A点测得山顶H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH．（结果保留根号） 【答案】（）米． 【解析】 【分析】设CH=xm, 根据仰角的定义得到 再根据等腰三角形的性质得BC=CH=x，根据含的直角三角形三边的关系得解出即可． 【详解】解： 如图,设CH=xm,由题意得 在中，BC=CH=x， 在中, ∵AB+BC=AC， 解得 所以假山的高度CH为 米． 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 25. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元． (1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用）为275万元？ 【答案】（1）24；（2）10.5万元或15万元 【解析】 【详解】解：（1）∵ ∴能租出30-6=24间 （2）设每间商铺的年租金增加x万元，则， ∴或 ∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元． 26. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒． （1）求t的取值范围； （2）若以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求此时t的值； （3）是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或． 【解析】 【分析】（1）通过与的长度直接建立不等式解决即可； （2）分两种情况进行讨论，分别利用相似的性质建立等式求解； （3）根据等腰三角形的性质进行分类讨论，再建立相应的等式解决． 【详解】解：（1）由题意得： 解得： （2）设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与相似 ，， 分两种情况讨论： ①如果∽，则，，解得 ②如果∽，则 ，，解得 故当或时，以O，P，Q为顶点的三角形与相似 （3）当或或时，为等腰三角形．（每写对一个给1分） 提示：当为等腰三角形时，分三种情况： ①如果，那么，解得： ②如果，如图，过点P作于F，则 在中，，，， 解得： ③如果，如图，过点Q作于F， 则 在中，，， ，解得： 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，正确讨论出相似三角形的不同情形，分别求解是解决第二问的关键；在第三问中，能够不遗漏地分析出三种可能的等腰三角形情况是关键，随后的计算注意仔细． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年度第一学期初2019级期中考试 数学试题卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 将方程x2﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（ ） A. (x+3)2=﹣2 B. (x﹣3)2=﹣2 C. (x﹣3)2=7 D. (x＋3)2=7 4. 已知为锐角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 6. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 10. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C,连接AC、AD′,设∠BAC=α, ∠C′AD′=β,那么sinα+sinβ等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，空地上（空地足够大）有一段长为的旧墙，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长，矩形菜园的面积为.若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( ) A. B. C. 1 D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：20210=_______． 14. 如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝_____________． 15. 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为________． 16. 如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________． 17. y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________． 18. 如图，在中，，，，，分别为、上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的处，当恰好为直角三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共7道小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上．） 19. 计算： （1）． （2）． （3）先化简，再求值：，请从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）． （1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）； （2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）． 21. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 23. 公园里有一座假山，在B点测得山顶H的仰角为45°，在A点测得山顶H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH．（结果保留根号） 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 25. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元． (1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用）为275万元？ 26. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒． （1）求t的取值范围； （2）若以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求此时t的值； （3）是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $