第2章 有理数的运算 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以有理数运算为核心，通过典例与跟踪训练结合，系统整合实际应用、运算技巧及跨知识拓展，突出方法提炼与知识逻辑链构建。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3道|实际问题正负数转化、拆项法与乘法分配律、进位制转换（按权展开/除基取余）|从概念（有理数意义）到运算（加减乘除），再到应用（游戏/利润）及拓展（进位制）| |跟踪训练|19题（选择8/填空6/解答5）|科学记数法、数轴距离计算、利润问题建模、符号化简|基础运算→性质应用（相反数/倒数）→实际问题解决→综合拓展（二进制运算）|

第2章有理数的运算典例精选 1．佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 2．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 3．综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 跟踪训练 一、单选题 1．体育用品专卖店中某品牌的乒乓球产品参数中标明球的直径是，下列待检查的乒乓球直径合格的是（    ） A． B． C． D． 2．2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 4．对856.783取近似值，正确的是（   ） A．856.79（精确到0.01） B．856.8（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 5．若数轴上点表示的数是，则与点相距3个单位长度的点表示的数是（   ） A．或1 B．5或1 C． D． 6．下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 7．，两个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则的值是（    ） A． B． C．或10 D．或 二、填空题 9．2025年江苏省城市足球联赛总决赛现场观看人数达到62300人．数据62300用科学记数法表示为__________． 10．计算：________． 11．在数轴上，到表示的点的距离为2的所有数是________． 12．已知，，且，，则______． 13．二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一，请根据上面相关知识，计算_________________． 14．如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 17．已知：非零有理数，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数，求代数式的值． 18．海沙子面是日照独有的美食之一，其汤色金黄、口感鲜美，是日照人难以割舍的家乡味道，也承载着当地的饮食文化．某海沙子面店计划每天卖出200碗海沙子面，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与计划量的差值/碗 (1)求该面店前五天海沙子面的实际销售总量； (2)该面店本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由； (3)若每碗海沙子面的售价为14元，成本为4元，求该面店本星期的利润． 19．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【分析】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【详解】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 2．(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 3．(1)11； (2) 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法算出对应的十进制数，再用十进制转三进制的方法得出21对应的三进制数即可． （2）先将转为十进制，再按十进制转五进制的规则将其转换为五进制数即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； 十进制数21转换为三进制数，可得 （2）解：转换为十进制数，可得， 再将转换为五进制数，可得 ， 将转换为五进制数为． 跟踪训练答案 1．B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可 【详解】解：∵，， ∴合格的是． 故选B． 2．A 【详解】解：万． 3．C 【详解】解：A、9是整数，属于有理数，故本选项说法错误； B、的倒数是，故本选项说法错误； C、0的相反数与绝对值都是0，即都是它本身，故本选项说法正确； D、若，则，故本选项说法错误． 4．B 【分析】本题考查了近似数的精确度，根据近似数的精确度要求，对856.783进行四舍五入，判断各选项的正确性． 【详解】解：A项：∵精确到0.01，∴需看千分位，千分位数字为，∴百分位不变，应为856.78，但选项为856.79，故A错误； B项：∵精确到十分位，∴需看百分位，百分位数字为，∴十分位进1，应为856.8，与选项一致，故B正确； C项：∵精确到百位，∴需看十位，十位数字为，∴百位进1，，但选项为，故C错误； D项：∵精确到十位，∴需看个位，个位数字为，∴十位进1，，但选项为，故D错误， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，分该点在A的左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是， ∴当所求点在点A左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A右侧时，该点表示的数为； ∴与点A相距个单位长度的点表示的数是或， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查正负数的实际应用．将四个季度的盈亏数值相加得到全年利润，利用正负数的加法法则化简即可． 【详解】解：∵盈利记为正，亏损记为负，全年利润为四个季度盈亏情况的总和， ∴全年利润， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查数轴的性质及有理数的大小比较、有理数的加减运算，关键是根据数轴确定、的正负性和绝对值大小关系：，且．根据，两个有理数在数轴上的位置及有理数的加减法法则逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可知，，且． 对于选项A，∵数轴上右边的数总比左边的数大，在的左侧， ∴，该选项正确； 对于选项B，，可得，该选项正确； 对于选项C，∵是正数，是负数，且， ∴，该选项正确； 对于选项D，∵，， ∴，该选项错误； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的大小比较，有理数的减法． 根据，，，求出、的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或． 故选：D． 9． 6.23× 【分析】本题考查了科学记数法，将62300转换为科学记数法形式，即，其中，n为整数. 【详解】解：， 故答案为：. 10． 【分析】本题考查了有理数加法．根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值． 【详解】解： 故答案为：． 11．或 【分析】本题主要考查了数轴两点间的距离，根据数轴上点到点的距离定义，到点的距离为的点有两个，分别位于的左侧和右侧． 【详解】解：到表示的点的距离为2的数为：或 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 13． 【分析】本题考查了二进制的运算，二进制加法运算，遵循满二进一原则，从最低位开始逐位相加，并处理进位，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：从右往左逐位相加： 第1位（最右边）：， 第2位：，满2进1，本位写0，向高位进1， 第3位：，满2进1，本位写0，向高位进1， 第4位：， 第5位：， 故， 故答案为：． 14． 【分析】依据程序图中的程序，利用有理数的混合运算的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并依据程序列式计算是解题的关键． 【详解】解：若输入的数是，则， 所以， 此时输入的数是，则， 则， 所以输出， 故答案为：． 15．(1)26 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．(1)14 (2)14或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算和乘法运算： （1）根据绝对值的意义，结合，，得到，再进行加法运算即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，得到同号，得到或，再进行加法运算即可． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）∵，，且， ∴或， ∴或． 17．2 【分析】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数混合运算、倒数等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．先根据倒数、相反数、最大负整数的定义得出对应结果，再根据有理数的乘方得，然后，代入含乘方的有理数的混合运算即可． 【详解】解：∵非零有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，． ∵， ∴或， ∴． ∵是最大的负整数， ∴， ∴原式． 18．(1)该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗 (2) 该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量．理由如下： （碗）． 因为， 所以该面店本星期的实际销售总量达到了计划销售总量； (3)该面店本星期的利润为14010元 【分析】（1）先求出前五天实际销售量和计划量的差值，再加上计划卖出的量即可； （2）先求出本星期实际销售量与计划量的差值，然后根据结果的正负进行判断即可； （3）先求出本星期销售面的数量，然后求出利润即可． 【详解】（1）解：（碗）． 答：该面店前五天海沙子面的实际销售总量为997碗； （2）略 （3）解：（元）． 答：该面店本星期的利润为14010元． 19． 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $