21.2 用公式法分解因式（分层作业）数学新教材人教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解公式法，通过基础判断、技能应用到综合拓展的三层设计，构建从概念识别到实际应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|公式适用性判断|选择题形式，强化平方差、完全平方公式的特征识别，培养抽象能力| |技能应用层|单一公式应用、综合提公因式与公式法|填空题与计算题结合，梯度设置从直接分解到含参数问题，提升运算能力| |综合拓展层|实际应用、分组分解法、新方法探究|结合简便运算、几何面积、阅读材料题，发展推理能力与模型意识|

21.2 用公式法分解因式 题型一 判断能否用公式法分解因式 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 用平方差公式分解因式 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）因式分解： ． 2．（2024·安徽·模拟预测）因式分解： ． 3．（2024·湖南·一模）因式分解： ． 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）若，则括号内应填入的代数式为 ． 题型三 用完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 2．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 3．（22-23八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 4．（2025·广东惠州·三模）因式分解： ． 题型四 用十字相乘法分解因式 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）因式分解： ． 2．（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）因式分解： ． 4．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）因式分解： ． 题型五 综合用提公因式法和公式法分解因式 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： ． 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）分解因式： ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）分解因式： ． 4．（2025·陕西·模拟预测）因式分解： ． 题型一 因式分解在有理数简便运算中的应用 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 题型二 因式分解的应用 1．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 题型三 分组分解法 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 4．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 2．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 4．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2 用公式法分解因式 题型一 判断能否用公式法分解因式 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 2．（21-22八年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，符合题意； ④，不能用完全平方公式分解，符合题意； ⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意． 综上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4个 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 题型二 用平方差公式分解因式 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2024·安徽·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024·湖南·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）若，则括号内应填入的代数式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴括号内填写的代数式为， 故答案为： ． 题型三 用完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【答案】11或/或11 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解：可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 2．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·广东惠州·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，原式可写成，据此可运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型四 用十字相乘法分解因式 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察与尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型五 综合用提公因式法和公式法分解因式 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与完全平方公式的应用，解题的关键是先提取多项式各项的公因式，再对剩余部分判断是否能利用公式进一步分解． 先观察多项式各项，提取公因式，得到；再发现括号内的二次三项式符合完全平方公式，将其分解为，最终得到因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式与平方差公式，熟练掌握公式并正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式m，再使用平方差公式求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 4．（2025·陕西·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式法分解即可． 【详解】原式； 故答案为：． 题型一 因式分解在有理数简便运算中的应用 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【分析】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型二 因式分解的应用 1．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)10 (2) (3)8或 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，因式分解的应用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据，整体代入，即可求解． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴； （3）当，时，， 当，时，， 综上可知，的值为8或． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； (3)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为：． （2）证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2． （3）解：是，理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方． 题型三 分组分解法 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 2．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 4．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知三个正数a，b，c满足（温馨提示：、 对于任意正数 x， 都有） (1)求证：； (2)a 是大于1的整数，且有，， ①若 ，求的值； ②当（，且n是整数）时，比较b与的大小，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，；当时，；当时，即． 【分析】本题考查的是应完全平方公式分解因式，算术平方根的含义，利用平方根的含义解方程； （1）利用完全平方公式把原式化为，进一步可得答案； （2）①由两式相加可得，再利用两式相减即可得到答案；②根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵三个正数a，b，c满足， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴两式相加得，， ∴； 两式相减得，． ②∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由①中，， 而，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴两式相加得， ∴， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 4．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $