9.3 公式法（题型专练，4基础&3提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

9.3 公式法 题型一 运用完全平方公式分解因式 1．把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．因式分解： ． 4．因式分解： ． 题型二 运用平方差公式分解因式 1．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．如果，，那么 ． 4．如果，那么括号内的整式是 ． 题型三 因式分解的综合运用 1．把（x﹣3y）2﹣6（x﹣3y）+9分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣3y+9）2 B．（x﹣3y﹣9）2 C．（x﹣3y+3）2 D．（x﹣3y﹣3）2 2．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+4 B．a2﹣8a+16 C．x3+x D．a2﹣9 3．因式分解：（y+1）2﹣9＝　 　 ． 4．因式分解：（x2+1）2﹣4x2＝ ． 题型四 利用因式分式求代数式的值 1．若a+b＝5，ab＝6，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．6 B．24 C．30 D．150 2．已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a2b+ab2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7 3．若2x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x4﹣6x3+4x2﹣x+1的值是　　 ． 4．已知一个长方形的长、宽分别为a、b，若它的周长为18，面积为20，则代数式a2b+ab2的值为　　 ． 题型一 因式分解在简便计算中的应用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．利用因式分解计算： ． 3．简便运算 (1)； (2) 4．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 题型二 利用因式分解解决整除问题 1．对于任意正整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能被（　　） A．8整除 B．m整除 C．（m+1）整除 D．（2m﹣1）整除 2．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 3．已知n为正整数，求证：（3n+2）2﹣（n+2）2能被16整除． 4．求解下列问题： （1）试确定a和b，使x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除； （2）已知x+y＝1，x2+y2＝2，求x7+y7的值． 题型三 利用几何图形探究因式分解 1．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 2．如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解： 　 ． 3．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： 请你解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：　 ． （2）利用图1中一种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽． 4．阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式． 例如：a2+a＝a（a+1），a2+2ab+b2＝（a+b）2，都把一个多项式进行了因式分解． 请回答下列问题： 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 　 ； （2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　　 张，3号卡片 　　 张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 　 ； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝　 　 ，并画出拼图． 1．已知a、b、c是△ABC的三边，a、b使等式a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0成立，且c是偶数，求△ABC的周长． 2．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣3）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣3）2＝0，∴n＝3，m＝3． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c可能是哪几个值？ 3．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　 ； （3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　 ． （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 9.3公式法 题型 题型二 基础达标题 题型三 题型四 题型一 公式法 题型二 能力提升题 题型三 拓展培优题 A 基础达标题 题型一运用完全平方公式分解因式 1.B 2.D 3.(x+)2 4.(m-2n)2 题型二运用平方差公式分解因式 1.D 2.(a+2b)(a-2b) 3.7 4.c-a-b 题型三因式分解的综合运用 1.D 1/3 上好每一堂课 运用完全平方公式分解因式 运用平方差公式分解因式 因式分解的综合运用 利用因式分式求代数式的值 因式分解在简便计算中的应用 利用因式分解解决整除问题 利用几何图形探究因式分解 学科网·上好课 2.D 3.(y+4)(y-2). 4.(x+1)2(x-1)2. 题型四利用因式分式求代数式的值 1.D 2.C 3. 4.180. B 题型一因式分解在简便计算中的应用 1.A 2.4051 3.(1)4000;(2)4 4.(1)-4051;(2)34 题型二利用因式分解解决整除问题 1.A 2.A 3.见解析 4.(1)a=-6b=3:(2)君， 题型三利用几何图形探究因式分解 1.B 2.x2+3x+2=(x+1)(x+2). www.zxx k.com 上好每一堂课 能力提升题 2/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 3.(1)2a243ab+b2;(2)这个长方形的长和宽分别为2a+b、a+2b. 4.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)2,3;(3)a2+3ab+2b2=(at2b) 解析. 拓展培优题 1.10. 2.(1)16:(2)c可能是8,9,10,11,12,13 3.(1)6(m+n);(2)(m+2n)(2+n);(3)49. 4.(1)(mt1)(m-5)(2)当a=2,b=-3时，多项式a2+b2- 3/3 上好每一堂课 (a+b);(4)(a+2b)(a+3b),图形见 4a+6b+18有最小值5；(3)17. 9.3 公式法 题型一 运用完全平方公式分解因式 1．把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：B． 2．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．通过观察其结构，符合完全平方公式的形式，可直接进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 题型二 运用平方差公式分解因式 1．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、，能用完全平方公式因式分解，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； C、，能用提公因式法因式分解，不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解．本题符合平方差公式，直接应用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 将 用平方差公式分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由平方差公式，得． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：7． 4．如果，那么括号内的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 题型三 因式分解的综合运用 1．把（x﹣3y）2﹣6（x﹣3y）+9分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣3y+9）2 B．（x﹣3y﹣9）2 C．（x﹣3y+3）2 D．（x﹣3y﹣3）2 【答案】D 【分析】利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（x﹣3y）2﹣6（x﹣3y）+9 ＝[（x﹣3y）﹣3]2 ＝（x﹣3y﹣3）2， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 2．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2+4 B．a2﹣8a+16 C．x3+x D．a2﹣9 【答案】D 【分析】根据题意逐项判断即可． 【解答】解：A．不能用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意； B．用完全平方公式进行因式分解，故本选项不符合题意； C．提取公因式进行因式分解，故本选项不符合题意； D．能用平方差公式进行因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查因式分解—运用公式法、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．因式分解：（y+1）2﹣9＝　 　 ． 【答案】（y+4）（y﹣2）． 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（y+1）2﹣9＝（y+1+3）（y+1﹣3）＝（y+4）（y﹣2）， 故答案为：（y+4）（y﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．因式分解：（x2+1）2﹣4x2＝ ． 【答案】（x+1）2（x﹣1）2． 【分析】先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】解：利用平方差公式法进行因式分解， （x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2； 故答案为：（x+1）2（x﹣1）2． 【点评】本题考查因式分解，正确进行计算是解题关键． 题型四 利用因式分式求代数式的值 1．若a+b＝5，ab＝6，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．6 B．24 C．30 D．150 【答案】D 【分析】先提取公因式ab，然后运用完全平方公式分解因式，将a+b＝5，ab＝6代入计算即可． 【解答】解：因为a+b＝5，ab＝6， a3b+2a2b2+ab3的 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝6×52 ＝150． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用提公因式法、完全平方公式分解因式． 2．已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a2b+ab2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7 【答案】C 【分析】先对a2b+ab2进行提公因式ab，再代入求值即可． 【解答】解：由条件可得： 原式＝ab（a+b） ＝﹣6×1 ＝﹣6， 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解的应用．熟练掌握该知识点是关键． 3．若2x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x4﹣6x3+4x2﹣x+1的值是　　 ． 【答案】． 【分析】由2x2﹣4x﹣1＝0可得：2x2﹣4x＝1，x2﹣2x，运用整体代入思想将这两个式子代入要求的式子中计算即可． 【解答】解：因为2x2﹣4x﹣1＝0， 所以2x2﹣4x＝1，x2﹣2x， 因为2x4﹣6x3+4x2﹣x+1 ＝2x4﹣4x3﹣2x3+4x2﹣x+1 ＝x2（2x2﹣4x）﹣x（2x2﹣4x）﹣x+1 ＝x2﹣x﹣x+1 ＝x2﹣2x+1 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将已知的式子进行变形，然后运用整体代入思想解决问题． 4．已知一个长方形的长、宽分别为a、b，若它的周长为18，面积为20，则代数式a2b+ab2的值为　　 ． 【答案】180． 【分析】根据长方形的周长和面积公式，得出a+b和ab的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【解答】解：根据长方形的周长和面积公式可得： 2（a+b）＝18，即a+b＝9，ab＝20． 则原式＝ab（a+b）＝20×9＝180． 故答案为：180． 【点评】本题考查了因式分解的应用．理解题意是关键． 题型一 因式分解在简便计算中的应用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 3．简便运算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 4．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 【答案】（1）-4051；（2）34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式变形为，再去括号后提取公因数4051，进而求解即可； （2）根据完全平方公式得到，则可求出的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴． 又∵． ∴， ∴． 题型二 利用因式分解解决整除问题 1．对于任意正整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能被（　　） A．8整除 B．m整除 C．（m+1）整除 D．（2m﹣1）整除 【答案】A 【分析】直接套用平方差公式因式分解，整理即可判断． 【解答】解：（4m+5）2﹣9， ＝（4m+5﹣3）（4m+5+3）， ＝（4m+2）（4m+8）， ＝2（2m+1）×4（m+2）， ＝8（2m+1）（m+2）． ∴原式可以被8整除． 故选：A． 【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，需要把（4m+5）看作一个整体． 2．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】A 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行运算是解题关键． 3．已知n为正整数，求证：（3n+2）2﹣（n+2）2能被16整除． 【答案】原式＝（3n+2+n+2）（3n+2﹣n﹣2） ＝（4n+4）•（2n） ＝8n（n+1）． ∴8n（n+1）是16的倍数， ∴原式能被16整除． 【分析】先根据平方差公式进行运算，然后进行判断即可． 【解答】证明：原式＝（3n+2+n+2）（3n+2﹣n﹣2） ＝（4n+4）•（2n） ＝8n（n+1）． ∵8n（n+1）是16的倍数， ∴原式能被16整除． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．求解下列问题： （1）试确定a和b，使x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除； （2）已知x+y＝1，x2+y2＝2，求x7+y7的值． 【答案】（1）a＝﹣6，b＝3； （2）． 【分析】（1）利用多项式整除性质，若x2+3x+2整除x4+ax2﹣bx+2，则x＝﹣1和x＝﹣2是前者的根，代入后者得方程组，解出a和b； （2）先由x+y和x2+y2求xy，再依次用立方和、平方和、递推公式求x3+y3、x4+y4、x5+y5、x6+y6，最后用递推公式求x7+y7． 【解答】解：（1）因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2）， 若x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除，则当x＝﹣1和x＝﹣2时，多项式值为0， 当x＝﹣1时，（﹣1）4+a（﹣1）2﹣b（﹣1）+2＝0， 即1+a+b+2＝0， 化简得a+b＝﹣3①， 当x＝﹣2时，（﹣2）4+a（﹣2）2﹣b（﹣2）+2＝0， 即16+4a+2b+2＝0， 化简得4a+2b＝﹣18， 进一步化简为2a+b＝﹣9②， ①﹣②得：a＝﹣6， 将a＝﹣6代入①式得：b＝3； （2）因为x+y＝1，x2+y2＝2， 由（x+y）2＝x2+2xy+y2，代入x+y＝1，x2+y2＝2， 得12＝2+2xy， 解得， 因为x3+y3＝（x+y）3﹣3xy（x+y）， 由（x2+y2）2＝x4+2x2y2+y4， 得， x5+y5＝（x+y）（x4+y4）﹣xy（x3+y3）， x6+y6＝（x2）3+（y2）3＝（x2+y2）3﹣3x2y2（x2+y2）， x7+y7＝（x+y）（x6+y6）﹣xy（x5+y5）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是根据多项式整除的条件及利用完全平方公式、立方和公式等进行代数式求值． 题型三 利用几何图形探究因式分解 1．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 【答案】B 【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2， 由图可知，大长方形的长为（a+2b），宽为（a+b）， ∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b）， ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 2．如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解： 　 ． 【答案】x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【分析】由图可知拼成的大长方形面积为x2+x+2x+2＝x2+3x+2，再进行因式分解即可． 【解答】解：由图可得： 大长方形的面积为x2+x+2x+2＝x2+3x+2， 还可以表示为：（x+2）（x+1）， ∴因式分解为：x2+3x+2＝（x+2）（x+1）， 故答案为：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【点评】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是先求出大长方形的面积． 3．在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： 请你解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：　 ． （2）利用图1中一种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽． 【答案】（1）2a2+3ab+b2； （2）这个长方形的长和宽分别为2a+b、a+2b． 【分析】（1）根据图形可以得到（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，从而可以写出表示的等式； （2）先将 题目中的式子因式分解，然后即可写出这个长方形的长和宽． 【解答】解：（1）由图可得， （2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2， 故答案为：2a2+3ab+b2； （2）∵2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）， ∴这个长方形的长和宽分别为2a+b、a+2b． 【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式． 例如：a2+a＝a（a+1），a2+2ab+b2＝（a+b）2，都把一个多项式进行了因式分解． 请回答下列问题： 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 　 ； （2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　　 张，3号卡片 　　 张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 　 ； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝　 　 ，并画出拼图． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）2，3；（3）a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）；（4）（a+2b）（a+3b），图形见解析． 【分析】（1）根据图形面积的求法整理算式即可； （2）化简整式乘法判断小图形面积即可； （3）根据图形面积的求法整理算式即可； （4）根据图形面积的求法整理算式并画出图形即可． 【解答】解：（1）由图得，正方形面积为（a+b）2，或为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， ∴需要2号卡2个，三号卡3个， 故答案为：2，3； （3）长方形面积为a2+3ab+2b2，或为（a+2b）（a+b）， ∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）， 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）； （4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）， 如图所示， 故答案为：（a+2b）（a+3b）． 【点评】本题考查了分解因式，数形结合及准确的计算化简是解题关键． 1．已知a、b、c是△ABC的三边，a、b使等式a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0成立，且c是偶数，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先利用完全平方公式分解因式，进而利用偶次方的性质得出a，b的值，再利用三角形三边关系得出答案． 【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0， 解得：a＝2，b＝4， ∵a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数， ∴c＝4． 故△ABC的周长长为：2+4+4＝10． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用以及三角形三边关系，正确得出a，b的值是解题关键． 2．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣3）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣3）2＝0，∴n＝3，m＝3． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c可能是哪几个值？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0变形为（x﹣y）2+（y+4）2＝0，再根据非负数的性质求出x＝﹣4，y＝﹣4，代入xy，计算即可； （2）将a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0变形为（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，根据非负数的性质求出a＝6，b＝8，再利用三角形三边关系求出最大边c的取值范围，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0， ∴（x﹣y）2＝0，（y+4）2＝0， ∴x＝﹣4，y＝﹣4， ∴xy＝﹣4×（﹣4）＝16； （2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， ∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）＝0， ∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0， ∴（a﹣6）2＝0，（b﹣8）2＝0， ∴a＝6，b＝8， ∵△ABC的最大边是c， ∴8≤c＜14， ∵c是正整数， ∴c可能是8，9，10，11，12，13． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边关系定理，熟记完全平方公式是解题的关键． 3．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　 ； （3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【解答】解：（1）图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：2（m+2n）+2（2m+n）＝6m+6n＝6（m+n）； （2）2m2+5mn+2n2可以因式分解为：（m+2n）（2m+n）， 故答案为：（m+2n）（2m+n）； （3）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∵（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴（m+n）2＝29+20＝49． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　 ． （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答； （3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）． 故答案为（m+1）（m﹣5）； （2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5， ∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5； （3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27 ＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17 ＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17， ∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $