17.2 用公式法分解因式 同步分层训练 2026-2027学年 人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦公式法分解因式，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从单一公式到跨情境应用的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方差公式、完全平方公式等核心知识点|选择、填空题直接考查公式辨析（如第7题判断平方差公式适用范围），计算题训练基本分解步骤| |提升层|因式分解概念与公式综合应用|解答题设计错误分析情境（如第15题张明、李晓分解错误修正），强化推理意识| |拓展层|新定义与实际问题应用|结合“完全数”（第8题）、密码生成（第11题）等情境，培养应用意识与创新思维|

17.2　用公式法分解因式 同步分层训练 一、选择题 1．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各多项式的因式分解中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．分解因式：（　　） A． B． C． D． 4．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你 6．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．m2-4 B．-m2-4 C．m2+4 D．m2+m 8．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”.则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A．14个 B．15个 C．26个 D．60个 二、填空题 9．分解因式：=　 　. 10．分解因式的结果是　 　 11．在日常生活中常用到密码，如取款、上网等，有一种“因式分解”法产生密码，方便记忆.如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，.于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是　 　（写出一个即可） 12．因式分解　 　 三、计算题 13．分解因式： （1） （2） 14．. 四、解答题 15．张明和李晓一起将一个二次三项式分解因式，张明因看错了一次项系数而分解成，李明因看错了常数项而分解成，那么请你将原多项式写出来，并将因式分解正确的结果写出来． 16．某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下： 解：设． 原式第一步 第二步 第三步 第四步 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？____（填选项）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为　 　． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 17．（1）运用整式乘法公式简便计算：； （2）因式分解：． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵（x+2）2=x2+4x+4， ∴A、B、C选项都是错误的，不符合题意，只有D选项正确，符合题意. 故答案为：D. 【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，由于四个选项的右边都是一样的，故利用完全平方公式将几个选项的右边展开即可判断得出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、a2-6a+9=（a-3）2，故此选项错误，不符合题意； B、a2-4b2=（a-2b）（a+2b），故此选项正确，符合题意； C、8x2+12x=4x（2x+3），故此选项错误，不符合题意； D、x2+4y2不能进行因式分解，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，可判断A选项；根据a2-b2=(a-b)(a+b)可判断B、D选项；根据提取公因式法分解因式及因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，可判断C选项. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）. 故答案为：A. 【分析】直接利用平方差公式分解即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、x2-2x+1=（x-1）2，故A不符合题意； B、x+2y=（x+y）+y，不是因式分解，故B不符合题意； C、（x+2）2=x2+4x+4，不是因式分解，故C不符合题意； D、x2-1=（x+!）（x-1），是因式分解，故D符合题意； 故答案为：D 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断. 5．【答案】D 【解析】【解答】解： ， ， ， 对应的字为：中、爱、国、你， 故答案为：D. 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，然后找到对应的字得到密码信息. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A右边不是乘积的形式，故不是因式分解； B、3a+3b=3(a+b)，属于因式分解，且正确，符合题意； C、a2+4a+4=(a+2)2，故错误； D、a2-b2=(a+b)(a-b)，故错误. 故答案为：B. 【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：A、，属于用平方差公式进行因式分解，A正确； B、不能因式分解，B错误； C、不能因式分解，C错误； D、，属于提取公因式进行因式分解，D错误， 故答案为：A. 【分析】两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积； 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设两个自然数分别为、， 则， 小于200且不重复的''完全数 ''可以是： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196， 共15个， 故答案为：B. 【分析】根据新定义所给的计算公式可知，完全数等于某个自然数的平方. 9．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得， 故答案为： 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。 10．【答案】 【解析】【解答】解：m3-4m=m(m2-4)=m(m+2)(m-2). 故答案为：m(m+2)(m-2). 【分析】首先提取公因式m，然后利用平方差公式进行分解. 11．【答案】801030 【解析】【解答】解：， ，， ，，， 密码是 801030， 故答案为：801030. 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入x、y求每个因式的值，然后排列成密码. 12．【答案】 【解析】【解答】解： ， 故答案为：. 【分析】先提取公因式，再运用完全平方公式分解因式. 13．【答案】（1）解：=； （2）解： 【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：含有两项，都能化成平方形式，且符号相反，因此利用平方差公式分解因式. （2）观察此多项式的特点：含有三项，且含有公因数2，因此先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式. 14．【答案】解： ． 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【分析】将当作整体，利用完全平方公式因式分解即可。 15．【答案】解：∵ ， ， ∴原多项式为 ， ∴ 【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得2(x-9)(x-1)=2x2-20x+18，2(x-4)(x-2)=2x2-12x+16，据此可得多项式，然后分解即可. 16．【答案】（1）C （2） （3）解：设． 原式 ． 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：（1）分析可得：第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）(a2+4a+4)2=(a+2)4. 【分析】（1）分析第二步到第三步的过程即可判断； （2）对第四步括号中的式子利用完全平方公式分解即可； （3）设x2-6x=b，则原式=b(b+18)+81=b2+18b+81，再利用完全平方公式进行分解. 17．【答案】（1）解： ； （2）解： 【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式计算求解即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $