第三章 位置与坐标 单元小测 2026-2027学年 北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第三章“位置与坐标”单元卷，含知识点总结、分层测试及解析，覆盖确定位置、坐标系、对称与坐标变化，适配新授课巩固基础与提升空间观念、应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|象限符号、坐标轴点特征、对称点坐标|基础辨析，如判断点所在象限，强化有序数对核心思想| |填空题|6/24|象限位置、坐标轴点坐标、角平分线点特征|易错点针对，如轴上点坐标含参计算，培养符号意识| |解答题|7/66|坐标读取、图形面积（割补法）、平移对称变换、实际位置确定|综合应用，如用“方位角+距离”描述位置（数学语言表达），结合平移对称求面积（几何直观与推理能力）|

北师大版数学　八年级上册 第三章　位置与坐标　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第三章「位置与坐标」编写，覆盖第 1 节「确定位置」、第 2 节「平面直角坐标系」、第 3 节「轴对称与坐标变化」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 第一部分　知识点总结 知识点 1　确定位置的方法 核心思想　在平面内确定一个物体的位置，一般需要两个数据，缺一不可。 1．有序数对（行、列）法　用「第几列，第几行」或「第几排，第几号」来表示。 图 3-1　用（列，行）表示位置：学校记作 2．方位角 ＋ 距离法　常用于航海、雷达、地图导航，格式为「北（南）偏东（西）多少度，距离多少」。 图 3-2　点 在点 的北偏东 、距离 km 处 3．区域定位法　如经纬度、教室座位、街区编号等。 注意：只说「距点 三千米」或只说「在北偏东 方向」都不能确定位置，必须两个数据同时给出。 知识点 2　平面直角坐标系 1．组成　在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。 水平的数轴叫做 轴（横轴），取向右为正方向； 竖直的数轴叫做 轴（纵轴），取向上为正方向； 两轴的交点 叫做原点。 2．点的坐标　对于平面内任意一点 ，过 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴上对应的数 叫做 的横坐标，在 轴上对应的数 叫做 的纵坐标，记作 顺序不能颠倒： 与 是两个不同的点。 3．四个象限　两条坐标轴把平面分成四个部分，按逆时针方向依次叫做第一、二、三、四象限。 坐标轴上的点不属于任何象限。 图 3-3　四个象限及各象限内点的坐标符号 4．各象限内点的坐标符号（重点记忆） 位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 横坐标 纵坐标 符号 知识点 3　特殊位置点的坐标特征 1．坐标轴上的点 （1） 轴上的点：纵坐标为 ，形如 ； （2） 轴上的点：横坐标为 ，形如 ； （3）原点：，它既在 轴上，也在 轴上。 2．平行于坐标轴的直线上的点 （1）平行于 轴的直线上，各点的纵坐标相同； （2）平行于 轴的直线上，各点的横坐标相同。 反过来：若两点的纵坐标相同，则连接它们的线段平行于 轴（或在 轴上）。 3．两条角平分线上的点 （1）第一、三象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标相等，即 ，形如 ； （2）第二、四象限角平分线上的点：横坐标与纵坐标互为相反数，即 ，形如 。 4．点到坐标轴的距离（重点，注意加绝对值） 设点 ，则 口诀：到 轴的距离看纵坐标，到 轴的距离看横坐标——「横看竖、竖看横」。 例如点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 。 5．两点间的特殊距离 （1）若 、（纵坐标相同），则 ； （2）若 、（横坐标相同），则 。 图 3-4　平面内点的坐标 知识点 4　坐标系中图形的面积 基本方法 （1）若三角形有一条边在坐标轴上（或平行于坐标轴），就以这条边为底，另一顶点到这条边的距离为高，直接用 （2）若三条边都不平行于坐标轴，就用割补法：作一个各边平行于坐标轴的长方形把三角形围住，用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积。 图 3-5　 在 轴上，高就是点 的纵坐标 知识点 5　图形的平移与坐标变化 规律（左减右加，下减上加）　把点 ： （1）向右平移 个单位，得 ；向左平移 个单位，得 ； （2）向上平移 个单位，得 ；向下平移 个单位，得 。 结论：左右平移只改变横坐标，上下平移只改变纵坐标。 图形平移时，每一个点都按同样的方式平移，平移前后的图形全等。 图 3-6　 向右平移 个单位、向下平移 个单位得 知识点 6　轴对称与坐标变化 三条对称规律（务必背熟） 设点 ，则 （1）关于 轴对称的点：——横坐标不变，纵坐标变相反数； （2）关于 轴对称的点：——纵坐标不变，横坐标变相反数； （3）关于原点对称的点：——横、纵坐标都变相反数。 记忆口诀：关于谁对称，谁就不变。（关于 轴对称， 不变；关于 轴对称， 不变。） 图 3-7　 关于 轴、 轴、原点的对称点 画对称图形的步骤 第一步　写出原图形各顶点的坐标； 第二步　按规律求出各对应点的坐标； 第三步　描出对应点并顺次连接。 知识点 7　易错警示 ① 横纵坐标写反。坐标是有序数对，先写横坐标再写纵坐标。 ② 误认为坐标轴上的点属于某个象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 ③ 求距离时忘记加绝对值。点 到 轴的距离是 ，不是 。距离一定是非负数。 ④ 把「到 轴的距离」与「横坐标」对应起来。正确的对应是：到 轴的距离 纵坐标。 ⑤ 平移方向与加减号搞反。向右、向上是加，向左、向下是减。 ⑥ 对称规律记混。关于 轴对称是纵坐标变号，关于 轴对称是横坐标变号。 ⑦ 求面积时找错底和高。底在 轴上时，高是另一顶点纵坐标的绝对值。 ⑧ 确定位置时只给一个数据。必须两个数据才能确定平面内的一个位置。 ⑨ 含字母的点的位置问题不分类讨论。如「点 在坐标轴上」，要分「在 轴上」和「在 轴上」两种情况。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 点 位于（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2． 点 位于（　　） A． 轴正半轴　　B． 轴负半轴　　C． 轴正半轴　　D． 轴负半轴 3． 若点 在第四象限，则（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 4． 点 到 轴的距离是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5． 点 关于 轴对称的点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6． 点 关于原点对称的点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7． 把点 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8． 若点 在 轴上，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9． 下列说法中，能确定平面内一个物体位置的是（　　） A．北偏东 　　　　　　　B．距离灯塔 海里 C．北偏东 ，距离 海里　　D．东经 10． 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ，，，则 的面积是（　　） 第 10 题图 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 点 在第＿＿＿＿象限，它到 轴的距离是＿＿＿＿。 12． 若点 在 轴上，则 ＿＿＿＿，点 的坐标是＿＿＿＿。 13． 点 关于 轴对称的点的坐标是＿＿＿＿。 14． 若点 与点 关于 轴对称，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 15． 已知点 ，过点 作直线 平行于 轴，则直线 上任意一点的纵坐标都是＿＿＿＿。 16． 若点 在第一、三象限的角平分线上，则 的值是＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（8 分）如图，在平面直角坐标系中标出了 、、、、、 六个点。 第 17 题图 （1）分别写出这六个点的坐标； （2）指出哪些点在坐标轴上，哪些点在象限内（并指出在第几象限）； （3）求点 到 轴的距离和到 轴的距离。 18．（10 分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ，，。 第 18 题图 （1）求线段 的长； （2）求点 到 轴的距离； （3）求 的面积； （4）把 向下平移 个单位，写出平移后三个顶点的坐标，并说明面积是否改变。 19．（10 分）如图， 的三个顶点分别是 ，，，平移后得到 ，其中点 的坐标是 。 第 19 题图 （1）说出这次平移的方向和距离； （2）写出点 、 的坐标； （3）若 内有一点 ，写出平移后对应点 的坐标； （4） 与 的面积相等吗？为什么？ 20．（10 分）如图，点 的坐标是 。 第 20 题图 （1）写出点 关于 轴对称的点 、关于 轴对称的点 、关于原点对称的点 的坐标； （2）已知 的三个顶点为 ，，，求它关于 轴对称的 三个顶点的坐标； （3）再求 关于 轴对称的 三个顶点的坐标； （4）观察（2）（3）的结果，说说关于 轴对称与关于 轴对称时坐标变化的区别。 21．（8 分）解决下面两个确定位置的问题。 （1）如图①， 是灯塔，圆的半径分别表示 km、 km、 km。请用「方位角 ＋ 距离」的方式描述点 相对于点 的位置； 图① （2）如图②是某小镇的示意图，用（列，行）表示位置，例如学校记作 。请分别写出医院、公园、车站的位置； 图② （3）小明说「我家在镇中心的正东方向」，能确定他家的位置吗？为什么？ 22．（10 分）已知点 。 （1）若点 在 轴上，求点 的坐标； （2）若点 在 轴上，求点 的坐标； （3）若点 到 轴的距离与到 轴的距离相等，求 的值； （4）若点 在第二象限，求 的取值范围。 23．（10 分）已知 的三个顶点坐标分别为 ，，。 （1）写出 关于 轴对称的 三个顶点的坐标； （2）把 向右平移 个单位、再向下平移 个单位，得到 ，写出三个顶点的坐标； （3）用割补法求 的面积； （4） 与 的面积分别是多少？说明理由。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．B 【解析】点 的横坐标 ，纵坐标 ，符号为 ，所以点 在第二象限。 2．D 【解析】横坐标为 ，说明点在 轴上；纵坐标 ，说明点在原点下方，所以点 在 轴的负半轴上。 3．D 【解析】第四象限内点的坐标符号是 ，即横坐标为正、纵坐标为负，所以 ，。 4．B 【解析】点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值： 【易错点】选项 A 是把「到 轴的距离」错当成了横坐标的绝对值。记住口诀：到 轴的距离看纵坐标。 5．A 【解析】关于 轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数： 6．C 【解析】关于原点对称，横、纵坐标都变成相反数： 7．B 【解析】向右平移 个单位，横坐标加 ：； 向下平移 个单位，纵坐标减 ：。 所以所得点的坐标是 。 8．B 【解析】 轴上的点纵坐标为 ，所以 此时横坐标 ，所以点 的坐标是 。 【易错点】误选 A 的同学把「在 轴上」当成了「横坐标为 」。 9．C 【解析】确定平面内一个位置需要两个数据。 A 只给了方向，B 只给了距离，D 只给了经度，都只有一个数据，不能确定位置； C 同时给出了方向和距离，可以确定位置。 10．B 【解析】、 都在 轴上，所以取 为底： 点 到 轴的距离就是高，等于 的纵坐标的绝对值 。所以 二、填空题 11． 四；　 【解析】，，符号为 ，在第四象限；到 轴的距离等于横坐标的绝对值 。 12． ；　 【解析】 轴上的点横坐标为 ，所以 ，点 的坐标是 。 13． 【解析】关于 轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数：。 14． ；　 【解析】关于 轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。 由横坐标相等得 ；由纵坐标互为相反数得 。 15． 【解析】平行于 轴的直线上，各点的纵坐标都相同。因为直线过点 ，所以纵坐标都是 。 16． 【解析】第一、三象限角平分线上的点满足横坐标与纵坐标相等，所以 移项得 ，即 ，解得 。 此时点 的坐标是 ，横、纵坐标相等，确实在第一、三象限的角平分线上。 【方法总结】两条角平分线上的点各有特征：第一、三象限角平分线上 ；第二、四象限角平分线上 。 三、解答题 17．（8 分） （1）六个点的坐标分别是 （2）在坐标轴上的点： 的横坐标为 ，在 轴上； 的纵坐标为 ，在 轴上。 在象限内的点： 符号为 ，在第一象限； 符号为 ，在第二象限； 符号为 ，在第三象限； 符号为 ，在第四象限。 （3）点 到 轴的距离等于纵坐标的绝对值：； 到 轴的距离等于横坐标的绝对值：。 18．（10 分） （1）、 两点的纵坐标都是 ，都在 轴上，所以 （2）点 到 轴的距离等于它的纵坐标的绝对值，即 （3）以 为底，点 到 （即到 轴）的距离为高，所以 （4）向下平移 个单位，横坐标不变，纵坐标减 ，所以 面积不改变，仍然是 。 理由：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，平移前后的两个图形全等，所以面积相等。 19．（10 分） （1）由 平移到 ： 横坐标由 变为 ，增加了 ，说明向右平移了 个单位； 纵坐标由 变为 ，减少了 ，说明向下平移了 个单位。 所以这次平移是：先向右平移 个单位，再向下平移 个单位。 （2）其余各点按同样的方式平移，即横坐标加 、纵坐标减 ： （3） （4）相等。 理由：平移是把图形上的每一个点都沿同一方向移动同样的距离，平移前后的图形形状、大小都不变，两个三角形全等，所以面积相等。 【方法总结】求平移规律时，只要用一组对应点的坐标作差即可：横坐标之差决定左右，纵坐标之差决定上下。 20．（10 分） （1）由三条对称规律得 关于 轴对称：（横坐标不变，纵坐标变相反数）； 关于 轴对称：（纵坐标不变，横坐标变相反数）； 关于原点对称：（横、纵坐标都变相反数）。 （2）关于 轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变： （3）关于 轴对称，纵坐标变相反数，横坐标不变： （4）区别： 关于 轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数； 关于 轴对称时，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数。 可以概括成一句话：关于哪条轴对称，哪个坐标就不变。 21．（8 分） （1）由图可知，射线 与正北方向所成的角是 ，且 在正北方向的东侧； 又因为点 落在半径为 km 的圆上，所以 km。 因此点 在点 的北偏东 方向，距离 点 km 处。 （2）按（列，行）的方式读出： 医院在第 列、第 行，记作 ； 公园在第 列、第 行，记作 ； 车站在第 列、第 行，记作 。 （3）不能确定。 理由：「正东方向」只说明了方向这一个数据，没有说明距离。正东方向上有无数个点，所以不能确定他家的位置。要确定平面内一个位置，必须给出两个数据。 22．（10 分） （1）点 在 轴上，则纵坐标为 ，即 此时横坐标为 所以点 的坐标是 。 （2）点 在 轴上，则横坐标为 ，即 此时纵坐标为 所以点 的坐标是 。 （3）点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 。由题意得 两个数的绝对值相等，说明这两个数相等或互为相反数，所以要分两种情况。 情况一：。 移项得 ，即 ，所以 。 情况二：。 去括号得 ，移项得 ，即 ，所以 所以 或 。 （4）点 在第二象限，则横坐标为负、纵坐标为正，即 由 得 ；由 得 。 两个条件同时满足，所以 【方法总结】含字母的点的位置问题，关键是把「位置条件」翻译成「坐标条件」： 在 轴上 纵坐标 ；在 轴上 横坐标 ； 在第二象限 横坐标 且纵坐标 ； 到两坐标轴距离相等 横、纵坐标的绝对值相等（要分两种情况）。 23．（10 分） （1）关于 轴对称，横坐标变相反数、纵坐标不变： （2）向右平移 个单位，横坐标加 ；向下平移 个单位，纵坐标减 ： （3）三个顶点的横坐标最小为 、最大为 ；纵坐标最小为 、最大为 。 作一个各边平行于坐标轴的长方形把 围住，它的两条边长分别是 所以 长方形内、三角形外有三个直角三角形，面积分别为 所以 （4） 与 的面积都等于 。 理由：轴对称和平移都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，变换前后的图形都与 全等，所以面积都与 相等。 【学后反思】本章可以概括为「位置——坐标——变换」三步： ① 位置到坐标——用两个数据确定平面内的位置，平面直角坐标系是最常用的工具； ② 坐标到图形——由坐标读出点的位置、算出距离和面积（记住「横看竖、竖看横」）； ③ 变换看坐标——平移是「左减右加、下减上加」，轴对称是「关于谁对称谁不变」。 图形经过平移和轴对称后全等，面积始终不变，这是解答最后一问的通用理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $