安徽省六安市第二中学教育集团2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

班级__________ 姓名__________ 座位号__________ （在此卷上答题无效） 六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡上交，试卷自行保管． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．设，则（ ） A． B． C． D． 2．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 3．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（ ） A． B． C． D． 4．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的命题是（ ） A．在中，若，则 B．若，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，则角 7．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击．约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，，若，若，则的值为（ ） A．或 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于x的方程（p，）的一个根，则 10．如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A．异面直线与所成的角为 B．三棱锥的体积为 C．直线平面 D．二面角的大小为 11．数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A．外接圆的半径为 B．若的平分线与交于点D，则的长为 C．若D为的中点，则的长为 D．若O为的外心，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知非零向量，不共线，且，若，，则__________． 13．已知在三棱锥中，平面，且，，则三棱锥的外接球的体积为__________． 14．如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（本题13分）已知两个不共线的平面向量，，记，． （1）若，求k的值． （2）若时，，求，的夹角． 16．（本题15分）某高校承办了2026“长三角龙舟邀请赛”的志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求a、b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 17．（本题15分）D是斜边上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值． 18．（本题17分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为棱的中点，且，，直线与平面所成的角为． （1）证明：． （2）在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由． （3）求直线与平面所成角的正切值． 19．（本题17分）已知中，，，令，，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，，求的值； （3）若存在实数k，使得为常数，求k的值，并写出该常数． 学科网（北京）股份有限公司 $六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期期末考试 数学答案 题号 3 6 个 P 0 10 11 答案 C D C D B D ACD BC BD 12.3 13.4V3元 14.50V6 15.【详解】(1)因为ā，b不共线，所以万为非零向量， 所以由m∥i可得存在入，使得m=玩，即2ā+5=2(a-2)】 [2=λ 所以k=-2元.解得k=-2。 (2)当k=-l时，m=2a-b,又i=a-2b, 所uim=(2a-6)(a-25）=2a2-5a-6+2万2=10-5a6 ab-1-1 又mi=5,所以10-5ab=5,解得b=1,所以 12×12 2 又0s位列s元，斯位列-号.，6的陕知青 16.【详解】(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045+0.020+a×10=0.7,解得a=0.005, 所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3,所以b=0.025 65+75=70 (2)根据频率直方图可知，众数为2 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75. 65+0.6-0.3 ×10=71.7 所以60%分位数在第三组，且为0.45 (3)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为α，b,c,d, 第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d,(b,e),(c,d),(c,e,(d,e),共有1o种情况. 其中选出的两人来自不同组的有(a,e),(亿，e),(c,e),(d,e),共4种情况， 42 故选出的两人来自不同组的概率为105. 17.【详解】(1)由于AB=AD,可知∠B=∠ADB,即B=∠ADB, ∠CAD+∠C=∠ADB=B,即a=B-∠C, 又△ABC是直角三角形，所以 +2c-号.a=B-(经-月2a-月 in+cosimo+c0 故 ,证毕 AC CD 3DC DC (2)在△ACD中，sin∠4DC sin∠CAD,即sin(π-∠ADB)sina, 又因为AB=AD,可知∠B=∠ADB,即B=∠ADB」 3DC DC 所以sin(π-B)sina.化简可得V3sina以=sin B sina-V3。: 3 sinB sin B+cos2B=0V5、 由1)可得，sina+cos2p=0,所以3 sin B+1-2sin2B=0 ,即3 海sinB=3 sinp=-3 解得 2,或 3 又在Rt△ABC中， .- 3 18.【详解】(1)由PD⊥平面ABCD,AMc平面ABCD,所以PD⊥AM, 又PB⊥AM,PD∩PB=P、PD、PBc平面PBD,所以AM⊥平面PBD, 又BDC平面PBD,所以AM⊥BD PE 1 (2)存在点E为PD中点时，CE∥平面PAM,即PD2, 证明如下： 取PD的中点E,连接CE,取PA的中点为R,连接EF,FM, 所以EF∥AD, 又点M为BC中点所以MC/AD.MC=AD EF-24D 所以MC∥EF,MC=EF,所以四边形EFMC为平行四边形， 所以MF∥CE,又MFc平面PAM,CEt平面PAM,所以CE∥平面PAM. (3)连接DM,由PD⊥平面ABCD 所以∠PMD为直线PM与平面ABCD所成的角，所以∠PMD=45°， D C M 在Rt△PDM中，DM=PD=3. CD+ =9 所以 ,① CD 因为AM⊥BD,所以∠MAB=∠DBC,所以CDBC②， 由①②得CD=6,BC=25,所以BD=32,PB=3V5 设点B到平面PAM的距离为h, 在△PAM中，PA=VPD2+AD2=V2i,AM=3,PM=3W2, COS LPAM PA+AM:-PM21+9-18221 所以 2PA·AM 2×√21×321， 14357 因为∠PAM∈(0，).所以 sin∠PaM=V1-2=21 wP44Msn☑Pn-ix3xg-3 所以 21-2 5.mw-x3 , x35×3-x3hA=364 因为'pABM=':-APM,所以32 32“,得17， 3V34 in0=h17 √102 设直线PB与平面PAM所成角为B,则 PB3V351, √102 7W51 c0s0= 因为0 51 所以 57 V102 tan0= sin0 =51-2 cose 7V517 √2 所以 51 ,所以直线PB与平面PAM所成角的正切值为7· 19.【详11)设∠40B=0.ma6=同5cos0=2-8.cos0=1os0= 所以 B=vo+0B-2-0A0B-c0s日=2+3-2V25.6-5 6 (2)由己知 丽=46-d号丽 AP=BP=号 ,则 0s4=AB+0B2-0A。3+3-22 设∠OBA=a,则 2AB.OB 2x3×V53 Q.-BR-cosa 所以 3,则有 3 ，得 A B (3)由OB=AB=V3可得∠OAB=∠A0B=0, os0=V6 由(1)知 =6,AR=5,BR=V5-3, 照-5-og=5-5-)-925 ,)555 51 5_1 又识=V,所以5189，所以4+k 4+k 4+k )-9kk=-1 1 若为常数，则2，即4，此时该常数为9